[Wolyo]

Muy buenas a todos, me he sentido perdido para demostrar lo siguiente:

Sea \( \displaystyle A =\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...\} \), necesito encontrar un elemento de \( a \in A \) tal que \( supA-\epsilon < a \), con \( \epsilon = 10^-6* \)
e de igual manera encontrar el ínfimo de A, ya demostré que 0 es una cota pero no se como demostrar que es la mayor cota inferior de todas.
Muchas gracias

[Juan Pablo Sancho]

Para el primero mira si \( 1 \) cumple lo pedido.

Para el siguiente tienes que ver que \( \dfrac{1}{2^n}  \) siempre es positivo luego cualquier número negativo es cota inferior del conjunto, y para todo \( x \) positivo existe \( n_x \in \mathbb{N} \) con \(  \dfrac{1}{2^{n_x}} < x \) luego ningún número positivo es cota inferior del conjunto \( A \)

[Wolyo]

para todo \( x \) positivo existe \( n_x \in \mathbb{N} \) con \(  \dfrac{1}{2^{n_x}} < x \)

eso lo puedo decir por la propiedad arquimedeana,no me queda muy claro como podría justificar eso.

[ani_pascual]

Hola:

...
eso lo puedo decir por la propiedad arquimedeana,no me queda muy claro como podría justificar eso.

La sucesión \( \{2^n\}_{n=1}^{\infty} \) tiende a infinito cuando \( n \) tiende a infinito. Así, dado \( x>0 \) se tiene que también  \( \dfrac{1}{x}>0 \) y podemos tomar \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( 0<\dfrac{1}{x}<2^n\Longrightarrow 0<\dfrac{1}{2^n}<x \)
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Lo mismo(Por si no dio sucesiones):
Por inducción se prueba que para todo natural n se tiene que \( 2^n > n \) luego dado \( x \in \mathbb{R}^+  \) tenemos que existe \( n_x \) con \( n_x > \frac{1}{x}  \) por la propiedad arquimediana, luego:
\( 2^{n_x} > n_x > \dfrac{1}{x} \)

[Wolyo]

Muchas gracias a Juan Pablo Sancho y ani_pascual me ha quedado claro, les agradezco muchísimo.