Hola
Consideremos \( A \) una \( \sigma \)\( álgebra \) de conjuntos, \( \mu \) una medida definida en \( A \). Pruebe que si \( (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \) es una sucesión de elementos de \( A \) y existe un \( k \in \mathbb{N} \) tal que:
\( \mu \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}\right) A_n < \infty \)
entonces,
\( \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \mu (A_n) \leq \mu \left( \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{i=n}^{\infty} \color{red}A_i\color{black} \right) \)
Llama \( B_n=\bigcup\limits_{i=n}^{\infty} A_i \). Se tiene que \( B_1\supset B_2\supset B_3\ldots \) y además por hipótesis para algún \( k \), \( \mu(B_k)<+\infty \) entonces por la
continuidad superior de la medida:
\( \mu \left( \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{i=n}^{\infty} A_i\right) =\mu\left(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} B_n\right)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\mu(B_n) \) (*)
Ahora:
\( A_k\subset B_n\quad \Rightarrow \quad \mu(A_k)\leq \mu(B_n) \) para dodo \( k\geq n \)
Por tanto:
\( sup\{\mu(A_k)|k\geq n\}\leq \mu(B_n) \)
Tomando límite, aplicando (*) y teniendo en cuenta que:
\( \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \mu (A_n) =\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}sup\{\mu(A_k)|k\geq n\} \)
se concluye.
Saludos.
