[Soofiaa]

Sean \( G; L \) grupos, \( H \subset{G}  \) y  \( f :G\subset{L} \) una aplicación.

- \( H \) es un subgrupo de \( G \) si y sólo si \( H \) es no vacío y si para todo \( a, b  \in{H}  \)
se tiene \( ab^{-1} \in{H} \).

- \( f \) es un morfismo de grupos si y sólo si \( f(ab)=f(a)f(b) \) para todo \( a,b \in{G} \).


Hola, me podrían echar una mano para demostrar el punto 2? muchas gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( G; L \) grupos, \( H \subset{G}  \) y  \( f :G\subset{L} \) una aplicación.

Supongo que querías poner:

 \( f :G \color{red}\to \color{black} L \) una aplicación

- \( H \) es un subgrupo de \( G \) si y sólo si \( H \) es no vacío y si para todo \( a, b  \in{H}  \)
se tiene \( ab^{-1} \in{H} \).

- \( f \) es un morfismo de grupos si y sólo si \( f(ab)=f(a)f(b) \) para todo \( a,b \in{G} \).

Hola, me podrían echar una mano para demostrar el punto 2? muchas gracias de antemano.

 ¿Una mano para demostrar qué cosa? Lo que has escrito ahí son dos definiciones: la de subgrupo y la de morfismo de grupos. ¿Qué es lo qué tienes qué demostrar? ¿Acaso tienes una definición alternativa de morfismos de grupos y quieres comprobar que esa otra equivale? En ese caso, ¿cuál es esa definición alternativa?.

 En fin, revisa y aclara tu pregunta.

Saludos.

[Soofiaa]

Bueno, más concretamente de donde sale la segunda definición

[Masacroso]

Bueno, más concretamente de donde sale la segunda definición

Es sólo un nombre a una cosa, es decir, se les llama morfismo de grupo a las funciones entre dos grupos donde se cumple la propiedad mencionada. De la misma manera que llamamos mesa a los objetos que utilizamos como tales y tienen una determinada forma. Pues esto es lo mismo.

No tiene nada que ver con demostraciones ni nada semejante, es el nombre de una cosa. Se le dio nombre porque esos objetos (los morfismos de grupo) son cosas que aparecen comúnmente en el álgebra, por eso es práctico que se les identifique y se les dé un nombre, al igual que les dimos nombres a cosas como la integral de Riemann o al número pi. ¿De dónde sale el nombre de pi? De la historia, no conozco el origen concretamente, del término morfismo de grupo tampoco.