Autor Tema: Espacio vectorial L^1

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09 Abril, 2021, 11:12 pm
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mnrelk

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¿Cómo puedo probar que si \( (X,M,\mu) \) es un espacio de medida completo entonces \( (L^1(\mu),\left\|{·}\right\|_{1}) \) es un espacio de Banach?

Siendo \( L^1(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrales, se prueba fácilmente que es un espacio vectorial y que la expresión \( \left\|{f}\right\|_{1}=\displaystyle\int_{X}\left |{f}\right |d\mu \) define una norma en él.

Se me indica que puedo usar la siguiente proposición: ''Si \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v)_n \) en \( V \) con la propiedad de que \( \sum_{n=1}^\infty\left\|{v_n}\right\|<+\infty \), se cumple que \( \sum_{n=1}^\infty(v_n) \) converge. Entonces \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es completo".

He empezado tomando una sucesión \( \{f_n\} \) de Cauchy en \( L^1(\mu) \) y a continuación he considerado la sucesión \( \varphi_n =\sum_{i=1}^n\left |{f_i}\right | \). Se tiene que  \( \displaystyle\int\varphi_n =\sum _{i=1}^{n} \displaystyle\int\left |{f_i}\right |= \sum _{i=1}^{n} \left\|{f_i}\right\|_{1} \). Creo que la demostración va en este dirección, ¿pero cómo puedo seguir?

Gracias de antemano.

10 Abril, 2021, 12:10 am
Respuesta #1

Masacroso

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¿Cómo puedo probar que si \( (X,M,\mu) \) es un espacio de medida completo entonces \( (L^1(\mu),\left\|{·}\right\|_{1}) \) es un espacio de Banach?

Siendo \( L^1(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrales, se prueba fácilmente que es un espacio vectorial y que la expresión \( \left\|{f}\right\|_{1}=\displaystyle\int_{X}\left |{f}\right |d\mu \) define una norma en él.

Se me indica que puedo usar la siguiente proposición: ''Si \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v)_n \) en \( V \) con la propiedad de que \( \sum_{n=1}^\infty\left\|{v_n}\right\|<+\infty \), se cumple que \( \sum_{n=1}^\infty(v_n) \) converge. Entonces \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es completo".

He empezado tomando una sucesión \( \{f_n\} \) de Cauchy en \( L^1(\mu) \) y a continuación he considerado la sucesión \( \varphi_n =\sum_{i=1}^n\left |{f_i}\right | \). Se tiene que  \( \displaystyle\int\varphi_n =\sum _{i=1}^{n} \displaystyle\int\left |{f_i}\right |= \sum _{i=1}^{n} \left\|{f_i}\right\|_{1} \). Creo que la demostración va en este dirección, ¿pero cómo puedo seguir?

Gracias de antemano.

Curiosamente se preguntó lo mismo hace un par de días, es el punto tres del siguiente hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116404.msg465272

Básicamente se sigue que si \( \sum_{n\geqslant 1}\|f_n\|<\infty  \) entonces \( \sum_{n\geqslant 1}|f_n(x)|<\infty  \) casi en todas partes ya que \( \sum_{\geqslant 1}\|f_n\|=\lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{n=1}^m|f_n|\right\| \) (lo que se sigue del teorema de Tonelli o del de convergencia monótona), por tanto en los puntos en los que \( g:=\sum_{n\geqslant 1}f_n \) no converge se puede dar cualquier valor a \( g \) ya que en verdad cada \( f_n \) es una clase de equivalencia de funciones. La función (o clase de equivalencia) \( g \) resultante pertenece a \( L^1 \), para verlo puedes descomponer cada \( f_n \) en sus partes positivas y negativas.

Por cierto, para aclarar, ¿por espacio de medida completo te refieres a que cada subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula también?

10 Abril, 2021, 10:45 am
Respuesta #2

mnrelk

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¿Cómo puedo probar que si \( (X,M,\mu) \) es un espacio de medida completo entonces \( (L^1(\mu),\left\|{·}\right\|_{1}) \) es un espacio de Banach?

Siendo \( L^1(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrales, se prueba fácilmente que es un espacio vectorial y que la expresión \( \left\|{f}\right\|_{1}=\displaystyle\int_{X}\left |{f}\right |d\mu \) define una norma en él.

Se me indica que puedo usar la siguiente proposición: ''Si \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v)_n \) en \( V \) con la propiedad de que \( \sum_{n=1}^\infty\left\|{v_n}\right\|<+\infty \), se cumple que \( \sum_{n=1}^\infty(v_n) \) converge. Entonces \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es completo".

He empezado tomando una sucesión \( \{f_n\} \) de Cauchy en \( L^1(\mu) \) y a continuación he considerado la sucesión \( \varphi_n =\sum_{i=1}^n\left |{f_i}\right | \). Se tiene que  \( \displaystyle\int\varphi_n =\sum _{i=1}^{n} \displaystyle\int\left |{f_i}\right |= \sum _{i=1}^{n} \left\|{f_i}\right\|_{1} \). Creo que la demostración va en este dirección, ¿pero cómo puedo seguir?

Gracias de antemano.

Curiosamente se preguntó lo mismo hace un par de días, es el punto tres del siguiente hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116404.msg465272

Básicamente se sigue que si \( \sum_{n\geqslant 1}\|f_n\|<\infty  \) entonces \( \sum_{n\geqslant 1}|f_n(x)|<\infty  \) casi en todas partes ya que \( \sum_{\geqslant 1}\|f_n\|=\lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{n=1}^m|f_n|\right\| \) (lo que se sigue del teorema de Tonelli o del de convergencia monótona), por tanto en los puntos en los que \( g:=\sum_{n\geqslant 1}f_n \) no converge se puede dar cualquier valor a \( g \) ya que en verdad cada \( f_n \) es una clase de equivalencia de funciones. La función (o clase de equivalencia) \( g \) resultante pertenece a \( L^1 \), para verlo puedes descomponer cada \( f_n \) en sus partes positivas y negativas.

Por cierto, para aclarar, ¿por espacio de medida completo te refieres a que cada subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula también?

Sí, esa es la definición de espacio de medida completo con la que trabajo. Gracias por la ayuda.

10 Abril, 2021, 02:15 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Una cosa se me pasó ayer, y es que esta identidad \( \sum_{\geqslant 1}\|f_n\|=\lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{n=1}^m|f_n|\right\| \) no se puede justificar apelando al teorema de Tonelli para una medida \( \mu \) cualquiera, es necesario que \( \mu \) sea \( \sigma  \)-finita. Pero sí podemos utilizar el teorema de convergencia monótona.