Autor Tema: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda

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06 Abril, 2021, 11:35 am
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Marcos Castillo

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Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...

La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

06 Abril, 2021, 11:47 am
Respuesta #1

sugata

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No veo problemas en continuar por aquí poniendo el link a PF y mirando las dudas.
Aunque poner un problema de matemáticas en un foro de Física me parece un poco meh.....
 >:D >:D >:D

06 Abril, 2021, 11:56 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo.

Puedes preguntas cuantas veces sea necesario. En ningún caso resultarás pesado. Entre otras cosas, ¡para eso está el foro!. Tampoco te preocupes por si abrir un nuevo hilo o continuar en el mismo. Haz lo que te parezca más adecuado. En todo caso, nosotros nos encargaríamos de separarlo en dos hilos u unirlos si lo viésemos muy necesario.

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La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

Si puedes preguntar lo que quieras haciendo referencia a los enlaces externos que quieras. No somos celosos.

Saludos.

06 Abril, 2021, 11:58 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...

Hay un teorema que dice que un límite funcional existe si y solo si el mismo límite existe utilizando sucesiones. Es decir que

\( \displaystyle{
\lim_{x\to c}g(x)=L\iff \lim_{n\to\infty}g(x_n)=L\text{ para toda sucesión }\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\text{ tal que }\lim_{n\to\infty }x_n=c
} \)

Entonces, utilizando lo anterior, te basta con ver si el límite que define la derivada en un punto es el mismo y existe para cual sucesión de números racionales o de números irracionales \( \{h_n\}_{n\in \mathbb N} \) que converjan a cero, es decir, si el límite

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty }\frac{f(9+h_n)-f(9)}{h_n}
} \)

existe y es el mismo para toda sucesión nula de números racionales, y toda sucesión nula de números irracionales.

Eso es debido a que si tienes una sucesión arbitraria \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) que contenga infinitos números racionales e infinitos números irracionales entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) puede descomponerse en dos subsucesiones: una solamente de números racionales y otra solamente de números irracionales, y observar que la convergencia en ambas subsucesiones al mismo valor implica la convergencia en la sucesión original.

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La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.

¡Un saludo!

El problema es que para demostrar eso siguiendo ese camino, efectivamente, tendrías que tener un conocimiento teórico suficiente sobre sucesiones y los teoremas que se mencionen, de otro modo el hilo se haría demasiado extenso si tuviese que demostrarse cada teorema que se utiliza a cada paso.

Un buen libro para conocer y practicar todo esto es el de Understanding Analysis de Robert Abbott, del cual puedes encontrar una copia digital en PDF en internet sin mucho esfuerzo. El problema quizá es que el libro está en inglés, pero es que no puedo recomendarte algo en castellano porque no conozco casi nada de bibliografía en castellano.

06 Abril, 2021, 07:22 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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Hay un teorema que dice que un límite funcional existe si y solo si el mismo límite existe utilizando sucesiones. Es decir que

\( \displaystyle{
\lim_{x\to c}g(x)=L\iff \lim_{n\to\infty}g(x_n)=L\text{ para toda sucesión }\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\text{ tal que }\lim_{n\to\infty }x_n=c
} \)

Entonces, utilizando lo anterior, te basta con ver si el límite que define la derivada en un punto es el mismo y existe para cual sucesión de números racionales o de números irracionales \( \{h_n\}_{n\in \mathbb N} \) que converjan a cero, es decir, si el límite

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty }\frac{f(9+h_n)-f(9)}{h_n}
} \)

existe y es el mismo para toda sucesión nula de números racionales, y toda sucesión nula de números irracionales.

Eso es debido a que si tienes una sucesión arbitraria \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) que contenga infinitos números racionales e infinitos números irracionales entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) puede descomponerse en dos subsucesiones: una solamente de números racionales y otra solamente de números irracionales, y observar que la convergencia en ambas subsucesiones implica la convergencia en la sucesión original.

Este teorema, creo, está en el centro de la resolución que plantea PF. Y no lo tengo en el libro de texto "Cálculo", de Robert A. Adams. El libro de texto sólo afirma que "Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) converge, entonces \( \lim_{n \to \infty}{a_n}=0 \)". La demostración es un cuerpo de texto pequeño (dos líneas).


El problema es que para demostrar eso siguiendo ese camino, efectivamente, tendrías que tener un conocimiento teórico suficiente sobre sucesiones y los teoremas que se mencionen, de otro modo el hilo se haría demasiado extenso si tuviese que demostrarse cada teorema que se utiliza a cada paso.

Efectivamente.


Un buen libro para conocer y practicar todo esto es el de Understanding Analysis de Robert Abbott, del cual puedes encontrar una copia digital en PDF en internet sin mucho esfuerzo. El problema quizá es que el libro está en inglés, pero es que no puedo recomendarte algo en castellano porque no conozco casi nada de bibliografía en castellano.

Voy a publicar este fin de semana. Mi objetivo inicial es exploratorio, es decir, desconozco el desenlace, pero se ha despertado mi curiosidad.

¡Un saludo, y gracias, RM!
No man is an island (John Donne)

11 Abril, 2021, 06:32 am
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Hola, estimado RM

Bien, lo que he hecho es esto:

\( \{i_n\}_{n \in \mathbb N}=\dfrac{e}{n} \)

\( \{r_n\}_{n \in \mathbb N}=\dfrac{1}{n} \)

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\dfrac{f\left(9+\dfrac{e}{n}\right)-f(9)}{\dfrac{e}{n}}} \) si \( f=6(x-3)+9 \), y me da 6.

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\dfrac{f\left(9+\dfrac{1}{n}\right)-f(9)}{\dfrac{1}{n}}} \) si \( f=x^2 \), y me da 18.

Así que creo que bien: los límites funcionales son 6 y 18.

¿Correcto?.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

11 Abril, 2021, 10:35 am
Respuesta #6

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
¿Correcto?.

No, no es correcto. Has elegido dos sucesiones concretas, y el teorema de caracterización de límtes por sucesiones se refiere a toda sucesión. Una forma de resolver el problema de hallar \( f^\prime (3) \) para

        \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)

es la siguiente: las funciones \( G,H:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dadas por \( G(x)=x^2 \) y \( H(x)=6(x-3)+9 \) satisfacen 

        \( G^\prime (3)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{G(3+h)-G(3)}{h}=\ldots =6,\quad H^\prime (3)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{H(3+h)-H(3)}{h}\ldots =6. \)

Ahora usamos el conocido teorema:

Si \( F:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \) con \( a \) punto de acumulación de \( A \), \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in A}{F(x)}=L \) y \( B\subset A \) con \( a \) punto de acumulación de \( B \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in B}{F(x)}=L \).

Entonces, al ser \(  \mathbb Q\subset \mathbb{R} \), \(  (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\subset \mathbb{R} \) y \( a=3 \) punto de acumulación tanto de \( \mathbb{Q} \) como de \( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \), concluimos que \( f^\prime (3)=6. \)

11 Abril, 2021, 01:29 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Con sucesiones:
Sea \( \{a_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) una sucesión tal que todos sus elementos cumplen:
1.) \( a_n \) es irracional para todo natural.
2.)\( a_n \neq 3 \) para todo natural
3.)\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 3  \).

Sea \( \{b_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) una sucesión tal que todos sus elementos cumplen:
1.) \( b_n \) es racional para todo natural.
2.)\( b_n \neq 3 \) para todo natural
3.)\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n = 3  \).


\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{f(a_n) - f(3)}{a_n-3}  =\lim_{n \to +\infty} \dfrac{6\cdot(a_n-3) + 9 - 9}{a_n-3} = 6  \)

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{f(b_n)-f(3)}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{b_n^2 -9}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(b_n -3) \cdot (b_n +3)}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty}  b_n + 3 = 6 \)


12 Abril, 2021, 04:40 am
Respuesta #8

Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón

Fernando, tu resolución es meridiana, pero necesito un tiempo para familiarizarme con conceptos básicos de topología: por ejemplo el de espacio topológico. Tomemos como referencia http://fernandorevilla.es/blog/2018/05/04/punto-de-acumulacion/.

El enunciado 1 de los ejercicios resueltos sobre puntos de acumulación parte de un espacio topológico, y las definición que encuentro en Wikipedia es engorrosa para mí, o poco formal en YouTube. ¿Qué es un espacio topológico?; ¿por qué \( G \) debe ser abierto?

Juan Pablo:

\( a_n=\dfrac{1}{n}+3 \)

\( b_n=\dfrac{\pi}{n}+3 \)

¿O estoy de nuevo particularizando?.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

12 Abril, 2021, 06:53 am
Respuesta #9

Fernando Revilla

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Fernando, tu resolución es meridiana, pero necesito un tiempo para familiarizarme con conceptos básicos de topología

Entiendo, no sabía si habíais estudiado conceptos básicos de topología en \( \mathbb{R}. \)

Juan Pablo: \( a_n=\dfrac{1}{n}+3 \) \( b_n=\dfrac{\pi}{n}+3 \)  ¿O estoy de nuevo particularizando?.

Sí, estás particularizando y has de hacerlo para toda sucesión. Fíjate en que Juan Pablo lo hace para sucesiones genéricas en las condiciones del conocido teorema de caracterización del límite de una función por sucesiones.