Autor Tema: Convexidad

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

05 Abril, 2021, 09:50 pm
Leído 160 veces

Quema

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,765
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea \( L_n(z,X)=\displaystyle\int_{a}^{z}(z-x)f(x)dx \) con \( X \) una variable aleatoria con soporte \( [a,b] \) y \( z>a \).
Para \( c\in{}(0,1),n\geq{}2 \) y \( X,Y \) dos variables aleatorias con soporte en \( [a,b] \):
¿Se cumple que  \( (L_n(z,cX+(1-c)Y))^{1/(n-1)}\leq{}c(L_n(z,X))^{1/(n-1)}+(1-c)(L_n(z,Y))^{1/(n-1)} \)? Creo que si usando la desigualdad de Minkowski, no?.

06 Abril, 2021, 09:30 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sea \( L_n(z,X)=\displaystyle\int_{a}^{z}(z-x)f(x)dx \) con \( X \) una variable aleatoria con soporte \( [a,b] \) y \( z>a \).
Para \( c\in{}(0,1),n\geq{}2 \) y \( X,Y \) dos variables aleatorias con soporte en \( [a,b] \):
¿Se cumple que  \( (L_n(z,cX+(1-c)Y))^{1/(n-1)}\leq{}c(L_n(z,X))^{1/(n-1)}+(1-c)(L_n(z,Y))^{1/(n-1)} \)? Creo que si usando la desigualdad de Minkowski, no?.

¿Estás seguro de que la expresión de \( L_n(z,X) \) es esa?.

No tengo 100% claro como gestionar \( L_n(z,cX+(1-c)Y)) \), porque la densidad de \( cX+(1-c)Y \) no es la combinación lineal de las densidades.

Por ejemplo si \( z=b \) te queda:

\( L_n(b,X)=\displaystyle\int_{a}^{b}(b-x)f(x)dx=b-E[X] \)

Entonces \( L_n(b,cX+(1-c)Y)=(b-cE[X]-(1-c)E[Y])=(c(b-E[X])+(1-c)(b-E[Y]) \). Si tomamos por comodidad \( [a,b]=[0,1] \) la desigualdad que indicas sería:

\( (c(1-E[X])+(1-c)(1-E[Y]))^{1/(n-1)}\leq c(1-E[X])^{1/(n-1)}+(1-c)(1-E[Y])^{1/(n-1)} \)

Es decir:

\( h(c(1-E[X])+(1-c)(1-E[Y]))\leq ch(1-E[X])+(1-c)h(1-E[Y]) \)

con \( h(x)=x^{1/(n-1)} \). Pero esta función es cóncava luego la desigualdad sería en sentido contrario.

Saludos.

06 Abril, 2021, 04:06 pm
Respuesta #2

Quema

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,765
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si tienes razón, lo puse mal.
\( L_n(z,X)=\displaystyle\int_{a}^{z}(z-x)^nf(x)dx \)

07 Abril, 2021, 11:19 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Si tienes razón, lo puse mal.
\( L_n(z,X)=\displaystyle\int_{a}^{z}(z-x)^nf(x)dx \)

Si; así tiene mejor aspecto.

No obstante aún no lo veo claro. El problema es el que te comentaba :

No tengo 100% claro como gestionar \( L_n(z,cX+(1-c)Y)) \), porque la densidad de \( cX+(1-c)Y \) no es la combinación lineal de las densidades.

Saludos.

07 Abril, 2021, 02:06 pm
Respuesta #4

Quema

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,765
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No sale por la desigualdad de Minkowski? Llamándo \( T=(z-cX-(1-c)Y) \) entonces (lo voy a hacer para \( 1/n \))

\( E(T)^{1/n}\leq{}cE(z-X)^{1/n}+(1-c)E(z-Y)^{1/n} \)

07 Abril, 2021, 07:06 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

No sale por la desigualdad de Minkowski? Llamándo \( T=(z-cX-(1-c)Y) \) entonces (lo voy a hacer para \( 1/n \))

\( E(T)^{1/n}\leq{}cE(z-X)^{1/n}+(1-c)E(z-Y)^{1/n} \)

Pero la definición que has dado \( L_n(z,X)=\displaystyle\int_{a}^{z}(z-x)^nf(x)dx \) no corresponde a ninguna esperanza, porque sólo integras hasta \( z \), no en todo el intervalo \( [a,b] \).

Saludos.

08 Abril, 2021, 08:59 pm
Respuesta #6

Quema

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,765
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si, tienes razón, la idea es encontrar una cota máxima de la combinación lineal por algún método y vincularlo con los de las variables individuales. Si suponemos que las variables aleatorias son normales, ayuda en algo?

09 Abril, 2021, 07:24 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Si, tienes razón, la idea es encontrar una cota máxima de la combinación lineal por algún método y vincularlo con los de las variables individuales. Si suponemos que las variables aleatorias son normales, ayuda en algo?

Otra cosa más. Es:

\( L_n(z,X)=\displaystyle\int_{a}^{z}(z-x)^nf(x)dx \)

y luego en la desigualdad elevado a \( 1/(n-1) \), ¿ese menos uno está bien?.

Saludos.