Autor Tema: Maximización - Aplicación económica

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09 Marzo, 2021, 01:33 am
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nktclau

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Buenas noches FORO!!  Necesito , por favor, de su gran ayuda con el siguiente problema

Una empresa fabrica dos artículos en cantidades \( x \) e \( y \). Su función de costos viene dada por \( C(x,y)=x^2+2y^2+xy+20 \). Se solicita, calcular la máxima cantidad de artículos que fabricará cuando el costo total son  \( \$ 8770 \)

Entiendo yo que la función a maximizar sería costo total y que  \( C(x,y)=x^2+2y^2+xy+20 \) es el costo variable y por lo tanto el costo total es \( C_{Total}(x,y)=x^2+2y^2+xy+20+8770 \)

¿Es así?

Gracias! ;) :)

09 Marzo, 2021, 01:54 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola nktclau.

El Costo Total es la función \( C(x,y) \) que te dan, donde

    - el Costo Fijo es 20 (porque es independiente de producir cualquier cantidad de artículos),
    - y el Costo Variable es \( x^2+2y^2+xy \).


Lo que buscas el maximizar \( x+y \) (la suma de artículos producido) sujeto a  \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \) (el costo total sea 8770). Normalmente este tipo de problemas no requiere una solución entera, bastará una solución con decimales.

¿Puedes continuar?



P.D. Añadí la última línea y dejé en spoiler mi primer mensaje porque estaba malo.

Spoiler
Lo que escribí a continuación está malo, pero lo dejo por si alguien ya lo había leído:

Entonces, estás buscando los números naturales \( x \) e \( y \) tales que

    \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \).

Al menos yo lo veo raro, o quizás tiene una lectura distinta.
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09 Marzo, 2021, 02:02 am
Respuesta #2

nktclau

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Hola mathtruco Que gusto y agradable sorpresa!! ;)

Hola nktclau. Está raro el enunciado, ¿Está completo?

El Costo Total es la función \( C(x,y) \) que te dan, donde

    - el Costo Fijo es 20 (porque es independiente de producir cualquier cantidad de artículos),
    - y el Costo variable es \( x^2+2y^2+xy \).

Entonces, estás buscando los números naturales \( x \) e \( y \) tales que

    \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \).

Al menos yo lo veo raro, o quizás tiene una lectura distinta.

Igual pensé pero como no tenía sentido la expresión  \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \) entonces supuse la que postee  :banghead: :banghead: pero me pareció rarísimo el inciso como que le faltaban datos o estaba mal enunciado.
Si. Lo copié completo es un final, esta transcripto tal cual.

Bueno en caso a alguien más se le ocurra algo, esperaré un poco más quizas es algo que no esté teniendo en cuenta, pero la verdad me mareó.  :-\ :-\

Gracias mathtruco  ;)

Saludos

09 Marzo, 2021, 02:04 am
Respuesta #3

mathtruco

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Luego de enviar mi mensaje leí nuevamente la pregunta y entendí qué se pedía. No está mal planteado, sólo que no lo leí bien la primera vez.

Modifiqué mi mensaje anterior, cuéntame si te aclara el problema.

09 Marzo, 2021, 02:05 am
Respuesta #4

nktclau

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Hola nktclau.

El Costo Total es la función \( C(x,y) \) que te dan, donde

    - el Costo Fijo es 20 (porque es independiente de producir cualquier cantidad de artículos),
    - y el Costo Variable es \( x^2+2y^2+xy \).


Lo que buscas el maximizar \( x+y \) (la suma de artículos producido) sujeto a  \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \) (el costo total sea 8770). Normalmente este tipo de problemas no requiere una solución entera, bastará una solución con decimales.

¿Puedes continuar?



P.D. Añadí la última línea y dejé en spoiler mi primer mensaje porque estaba malo.

Spoiler
Lo que escribí a continuación está malo, pero lo dejo por si alguien ya lo había leído:

Entonces, estás buscando los números naturales \( x \) e \( y \) tales que

    \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \).

Al menos yo lo veo raro, o quizás tiene una lectura distinta.
[cerrar]

 :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: genial !!!! ahora si!!! tiene sentido MUCHAS GRACIAS!! ya puedo continuar, me habia mareado!!

mil gracias!!! ;)

09 Abril, 2021, 10:21 pm
Respuesta #5

NoelAlmunia

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Buscar el punto máximo de la función \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \). Es una elipse girada.
Si \( F(x,y) \), \( F'_x \), y \( F'_y \) son funciones contínuas, se resuelve el sistema \( F(x,y)=0 \) y \( F'_x(x,y)=0 \) y las soluciones (puntos coordenados) se reemplazan en \( F'y \) y \( F''xx \)
Si en el punto \( (x_i;y_i) \), \( F'_y \) y \( F''_{xx} \) tienen signos diferentes, entonces la función tiene un mínimo.
Si \( F'_y \) y \( F''_{xx} \) son de un mismo signo, en \( (x_i;y_i) \) existe un máximo. Si una de las anteriores funciones es igual a cero en el punto considerado, entonces los métodos analíticos posteriores se hacen más comlpicados.
Analicemos el sistema: \( F(x,y)=0 \) y \( F'_x(x,y)=0 \)

\( x^2+2y^2+xy-8750=0 \)
\( 2x+y=0 \)

\( x^2+8x^2-2x^2-8750=0 \)
\( x_1=25\sqrt{2} \) y \( x_2=-25\sqrt{2} \)

Si sustituyes el punto \( (-25\sqrt{2};50\sqrt{2}) \) en \( F'_y=4y+x \) y \( F''_{xx}=2 \) verás que los resultados son del mismo signo, por lo que en este punto exíste un máximo

Mensaje corregido desde la administración.

09 Abril, 2021, 10:46 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Intenta usar el LaTeX. ¡Es sencillo! En Spoiler puedes ver como lo he corregido:

Spoiler
Buscar el punto máximo de la función [tex]x^2+2y^2+xy+20=8770[/tex]. Es una elipse girada.
Si [tex]F(x,y)[/tex], [tex]F'_x[/tex], y [tex]F'_y[/tex] son funciones contínuas, se resuelve el sistema [tex]F(x,y)=0[/tex] y [tex]F'_x(x,y)=0[/tex] y las soluciones (puntos coordenados) se reemplazan en [tex]F'y[/tex] y [tex]F''xx[/tex]
Si en el punto [tex](x_i;y_i)[/tex], [tex]F'_y[/tex] y [tex]F''_{xx}[/tex] tienen signos diferentes, entonces la función tiene un mínimo.
Si [tex]F'_y[/tex] y [tex]F''_{xx}[/tex] son de un mismo signo, en [tex](x_i;y_i)[/tex] existe un máximo. Si una de las anteriores funciones es igual a cero en el punto considerado, entonces los métodos analíticos posteriores se hacen más comlpicados.
Analicemos el sistema: [tex]F(x,y)=0[/tex] y [tex]F'_x(x,y)=0[/tex]

[tex]x^2+2y^2+xy-8750=0[/tex]
[tex]2x+y=0[/tex]

[tex]x^2+8x^2-2x^2-8750=0[/tex]
[tex]x_1=25\sqrt{2}[/tex] y [tex]x_2=-25\sqrt{2}[/tex]

Si sustituyes el punto [tex](-25\sqrt{2};50\sqrt{2})[/tex] en [tex]F'_y=4y+x[/tex] y [tex]F''_{xx}=2[/tex] verás que los resultados son del mismo signo, por lo que en este punto exíste un máximo
[cerrar]

Buscar el punto máximo de la función \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \). Es una elipse girada.
Si \( F(x,y) \), \( F'_x \), y \( F'_y \) son funciones contínuas, se resuelve el sistema \( F(x,y)=0 \) y \( F'_x(x,y)=0 \) y las soluciones (puntos coordenados) se reemplazan en \( F'y \) y \( F''xx \)
Si en el punto \( (x_i;y_i) \), \( F'_y \) y \( F''_{xx} \) tienen signos diferentes, entonces la función tiene un mínimo.
Si \( F'_y \) y \( F''_{xx} \) son de un mismo signo, en \( (x_i;y_i) \) existe un máximo. Si una de las anteriores funciones es igual a cero en el punto considerado, entonces los métodos analíticos posteriores se hacen más comlpicados.
Analicemos el sistema: \( F(x,y)=0 \) y \( F'_x(x,y)=0 \)

\( x^2+2y^2+xy-8750=0 \)
\( 2x+y=0 \)

\( x^2+8x^2-2x^2-8750=0 \)
\( x_1=25\sqrt{2} \) y \( x_2=-25\sqrt{2} \)

Si sustituyes el punto \( (-25\sqrt{2};50\sqrt{2}) \) en \( F'_y=4y+x \) y \( F''_{xx}=2 \) verás que los resultados son del mismo signo, por lo que en este punto exíste un máximo

Pero ahí estás maximizando el valor de \( y \) sobre la elipse \( x^2+2y^2+xy+20=8770 \). Pero eso NO es lo que pide el ejercicio.

Lo que pide el ejercicio es maximizar \( x+y \).

Esto puede calcularse mediante la función de Lagrange:

\( F(x,y,\lambda)=x+y+\lambda(x^2+2y^2+xy-\color{red}8750\color{black}) \)

Igualando sus tres parciales a cero para hallar los puntos críticos.

Geométricamente equivale a hallar las rectas \( x+y=c \) tangentes a la elipse.

Spoiler
Resulta que el máximo se alcanza en:

\( x=3\sqrt{\color{red}8750\color{black}/14}=75 \)
\( y=\sqrt{\color{red}8750\color{black}/14}=25 \)
[cerrar]

Saludos.

CORREGIDO (había un error de cuentas por haber escrito \( 8850 \) en lugar de \( 8750 \)).

10 Abril, 2021, 03:34 am
Respuesta #7

delmar

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Hola

Otra forma :

Se tiene el campo escalar :

\( C:(R_0^+)^2\rightarrow{R} \)

\(  \ \ \ \ \ (x,y)\rightarrow{C(x,y)=x^2+2y^2+xy+20} \)

Cuando \( C(x,y)=x^2+2y^2+xy+20=8770 \)

Existe una línea \( \alpha \) tal que C en ella es 8770:

\( \alpha : J \rightarrow{R^2} \)

\(  \ \ \ \ x\rightarrow{(x,y(x))} \)

Se esta tomando como parámetro a x

En esas circunstancias el campo escalar \( h=C\circ{\alpha} \) es decir la compuesta de C y \( \alpha \) es una función constante igual a 8770

\( h:J\rightarrow{R} \)

\(  \ \ x\rightarrow{h(x)=C(\alpha(x))=8770} \)

Por ser funciones diferenciables se tiene una relación entre los jacobianos :

\( J(h)=J(C) \ J(\alpha) \)


\( (0)=\begin{pmatrix}{2x+y}&{4y+x}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}{1}\\{y'(x)}\end{pmatrix} \)

Esto implica : \( 0=2x+y+(4x+y)y'(x)\rightarrow{y'(x)=\displaystyle\frac{-(2x+y)}{x+4y}} \)

Se tiene el campo escalar F:

\( F:(R_0^+)^2\rightarrow{R} \)

\( (x,y)\rightarrow{F(x,y)=x+y} \)

Y lo que se ha de maximizar es la compuesta de F y \( \alpha \) denominando G:

\( G:J\rightarrow{R} \)

\( x\rightarrow{G(x)=F(\alpha(x))=x+y(x)} \)

Es una función real entonces se hallan los puntos críticos \( G'(x)=1+y'(x)=1-\displaystyle\frac{2x+y}{x+4y}=0 \)

Se obtiene la relación \( x=3y \) y por la condición \( c(x,y)=8770 \) se obtiene las cantidades x e y críticos \( y=25, \ x=75 \) se puede demostrar que es un máximo.

Saludos

12 Abril, 2021, 03:15 pm
Respuesta #8

NoelAlmunia

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Ha!, cierto no me percaté de que hay que analizarlo desde el punto de vista de la restricción que sería la función del costo y se pide la máxima cantidad de artículos.
Entonces:
El gradiente de ambas funciones es:

\( \vec{\nabla}f_{(x,y)}=i+j \)
\( \vec{\nabla}g_{(x,y)}=(2x+y)i+(4y+x)j \)

Aplicando el multiplicador de Lagrange tendremos:

\( i+j=\lambda [(2x+y)i+(4y+x)j] \)
\( 1=(2x+y)\lambda \)
\( 1=(4y+x)\lambda \)

Por tanto, de este sistema se desprende que:
\( 2x+y=4y+x \)
\( y=\dfrac{x}{3} \)

Si sustituimos en la restricción \( g_{(x,y)} \):
\( x^2+2/9 x^2+x^2/3=8750 \)
\( x^2=5625 \)
\( x_1=75 \)  y \(  x_2=-75 \)

Por tanto ya estamos en condiciones de obtener los valores de \( y \) y los puntos coordenados extremos.
\( y_1=x_1/3=\dfrac{75}{3}=25 \)
\( y_2=x_2/3=\dfrac{-75}{3}=-25 \)

\( P_1=(75,25) \)  y  \( P_2=(-75,-25) \)
Si evaluamos estos puntos en nuestra función \( f_{(x,y)} \) obtenemos:
\( f(75,25)=100 \)  y  \( f(-75,-25)=-100 \)

El valor máximo es \( 100 \) y se alcanza en \( P_1=(75,25) \)
Espero haber rectificado correctamente… Gracias.

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