[geómetracat]

Pero es que la prolongación analítica no sería de la hiperfunción como tal sino la de sus argumentos como funciones test analíticas, ¿no? Al menos en el caso de los propagadores de Feynman en teoría de campos cuánticos libres yo entiendo que la integral 4 dimensional integra contra estas funciones test para cada instante temporal en el plano complejo de momentos, estas funciones test son las que admiten prolongación analítica, y son los inputs de la hiperfunción.

Eso tiene más sentido, pero la verdad es que ahora mismo no tengo claro cómo justificar rigurosamente la derivación de los físicos de los propagadores. Tendría que mirarlo con calma.

[Restituto]

Pero es que la prolongación analítica no sería de la hiperfunción como tal sino la de sus argumentos como funciones test analíticas, ¿no? Al menos en el caso de los propagadores de Feynman en teoría de campos cuánticos libres yo entiendo que la integral 4 dimensional integra contra estas funciones test para cada instante temporal en el plano complejo de momentos, estas funciones test son las que admiten prolongación analítica, y son los inputs de la hiperfunción.

Eso tiene más sentido, pero la verdad es que ahora mismo no tengo claro cómo justificar rigurosamente la derivación de los físicos de los propagadores. Tendría que mirarlo con calma.

No, tranquilo, jaja, ni tú ni nadie. No lo ha estado desde 1948 en que se formuló por Feynman et al. Es uno de los premios del milenio del Clay Institute el justificarlo.(Me refiero a la parte física, lo de las hiperfunciones de Sato y Grothendiek sí es riguroso).

[geómetracat]

Mmm, pero lo de los propagadores es probable que sí tenga una justificación rigurosa. Sé que hay construcciones totalmente rigurosas de teorías cuánticas de campos en 2 (¿y 3?) dimensiones. El problema del milenio es construir teorías cuánticas de campos no triviales (con interacciones y tal) en 4 (3+1) dimensiones, si no recuerdo mal.

Pero el propagador libre, sin interacción, sí debería ser justificable.

[Restituto]

Mmm, pero lo de los propagadores es probable que sí tenga una justificación rigurosa. Sé que hay construcciones totalmente rigurosas de teorías cuánticas de campos en 2 (¿y 3?) dimensiones. El problema del milenio es construir teorías cuánticas de campos no triviales (con interacciones y tal) en 4 (3+1) dimensiones, si no recuerdo mal.

Eso es, el problema mayor es en 4 dimensiones.

Pero el propagador libre, sin interacción, sí debería ser justificable.

Bueno, lo que pasa es que en teoría el propagador libre sin interacción no es físico, ni siquiera es siempre necesario que cumpla un gauge local(por ejemplo para campos escalares reales, claro que entonces creo que tampoco surge necesidad de hiperfunción ).
Pero tienes razón, no sé si hay mucho más que justificar además del propio uso de hiperfunciones pero estaría encantado de leer lo que pienses sobre eso.

 

[Restituto]

De hecho, me parece que para el propagador libre simplemente para los polos en el eje real no es necesario generalizar a hiperfunción y basta con el caso especial de la distribución de Schwartz. Cuando hay interacción ya hay punto de rama logarítmico y ahí si creo que es donde entra la hiperfunción. Al menos si he entendido bien esto:"Distributions are “functions that are meromorphic on the real line”, while hyperfunctions are allowed to have essential singularities." de esta referencia: https://ncatlab.org/nlab/show/hyperfunction#Hyerfunction_Not_Distribution
No, creo que por lo que comentabas antes del soporte compacto han de ser hiperfunciones para tener prolongación analítica. No entiendo bien a qué se refiere la frase de nLab

Perdón, todo el enfoque que le estaba dando al tema partiendo desde el lado de pensar que las funciones test debían ser anlíticas es erróneo. De hecho bastan las distribuciones de Schwarz y funciones suaves como se puede comprobar en la literatura sobre propagadores en teoría cuántica de campos, la clave está en que se trabaja en espacios cuánticos de momento o de posición(o de tiempo y de energía) y se relacionan mediante sus transformaciones de Fourier que implican en uno de los espacios un contorno analítico, y la particular forma única causal usada que debe anularse en regiones compactas requiere el uso de las distribuciones.

[Restituto]

geómetracat, como sugerías en tus respuestas 10,12,14,18... lo que yo planteaba estaba confundido. Gracias por ayudarme a verlo.

[Restituto]

supongo que te refieres a las distintas prescripciones para la función de Green (la prescripción de Feynman, etc.). Por lo que veo, ahí lo que pasa es que se tiene la función de Green como una integral a \[ \Bbb R \] de una función (usual) con dos polos en \[ \Bbb R \], y para darle sentido se extiende la función que integras al plano complejo (pero insisto, esta es una función normal) y se integra rodeando los polos.

Se me pasó preguntarte esto. Esta función real que se integra, tal como la planteas en este ejemplo ¿sería una función suave o se le exige ser analítica? Quiero decir, ¿el hecho de que para tener sentido como integral haya que usar un contorno complejo implica que como función real en la integral impropia sea más que una función suave?

[geómetracat]

Tiene que ser analítica (fuera de las singularidades), pues para aplicar el teorema de los residuos para calcular la integral la extensión a \[ \Bbb C \] tiene que ser meromorfa. Pero si restringes una función meromorfa en \[ \Bbb C \] a \[ \Bbb R \] obtienes una función analítica en \[ \Bbb R \] (fuera de los posibles polos).

[Restituto]

Tiene que ser analítica (fuera de las singularidades), pues para aplicar el teorema de los residuos para calcular la integral la extensión a \[ \Bbb C \] tiene que ser meromorfa. Pero si restringes una función meromorfa en \[ \Bbb C \] a \[ \Bbb R \] obtienes una función analítica en \[ \Bbb R \] (fuera de los posibles polos).

Eso lo entiendo si esto fuera una función normal, pero al definir con la integral una distribución de Schwarz parece que hay más cosas detrás y que es posible utilizar la equivalencia de Sokhotski-Plemelj : \( {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\mp i\pi \delta (x)+{\mathcal {P}}{{\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}}} \) que parece permite construir la distribución sin usar analiticidad en el límite cuando se ha elegido una prescripción de contorno. Parece asumir esto que una vez se tiene que la analiticidad es posible mediante la "excursión" al plano complejo, cuando \( \epsilon \) se hace cero y la integral de valor principal de Cauchy está definida, se "olvida" uno de ello. Al menos eso interpreto yo cuando se dice "Note that this version makes no use of analyticity".

https://en.wikipedia.org/wiki/Propagator#Position_space
https://en.wikipedia.org/wiki/Sokhotski%E2%80%93Plemelj_theorem#Version_for_the_real_line

[geómetracat]

Pues yo también entiendo que la fórmula que pones vale aunque \[ f \] no sea analítica, sí.

Lo que pasa es que si pretendes usar el teorema de los residuos para calcular la integral a lo largo del contorno necesitarás que la función que integras sea analítica. En cualquier caso, el integrando en el caso del propagador ya es analítico, así que tampoco hay problema.