Hola.
Considera los puntos \( M \) y \( N \) situados respectivamente sobre \( AB \) y sobre \( AC \) tales que \( AM=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{AB} \) y \( AN=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{AC} \). Se tiene que:
\( Área(PMG)=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}PG\cdot{}GM\cdot{}\sin(\widehat{PGM})=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}PG\cdot{}GN\cdot{}\sin(\widehat{QGN})\leq{}\cdot{}QG\cdot{}GN\cdot{}\sin(\widehat{QGN})=Área(QNG) \)
Obteniéndose la igualdad en el caso del triángulo degenerado cuando \( P=M \). Por lo tanto, y considerando sin perder generalidad que \( BP\leq{BM} \):
\( Área(APQ)\geq{}Área(AMN)=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{AM}\cdot{AN}\cdot{}\sin(\widehat{A})=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{}{AB}\cdot{}\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{AC}\cdot{}\sin(\widehat{A})=\displaystyle\frac{4}{9}\cdot{}Área(ABC) \)
Por otro lado, considerando la figura simétrica con respecto al punto medio de \( AC \) se tiene que el triángulo \( APQ \) y el paralelogramo \( PQP'Q' \) comparten la base \( PQ \) y tienen la misma altura, ya que para el triángulo sería la distancia de \( A \) a \( PQ \) y para el paralelogramo la distancia de \( G' \) a \( PQ \), ambas iguales por ser \( G' \), a su vez, el simétrico de \( A \) con respecto a \( G \).
Con lo que se cumple que \( Área(PQP'Q')=2\cdot{}Área(APQ) \)
Y, por tanto, \( Área(PBQ')=Área(ABC)-2\cdot{}Área(APQ)\leq{}\displaystyle\frac{1}{9}Área(APC) \)
De aquí que \( \displaystyle\frac{Área(PBQ')}{Área(APQ)}\leq{}\displaystyle\frac{1}{4} \)
Y finalmente substituyendo:
\( Área(APQ)=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}AP\cdot{}AQ\cdot{}\sin(\widehat{A}) \)
\( Área(PBQ')=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}BP\cdot{}CQ\cdot{}\sin(\widehat{A}) \)
Se obtiene la relación pedida.
Un saludo.
