[dario_oasis]

Título cambiado:  limite --> límite

Hola como estan? disculpen  me ayudar a acotar esta función por definición de limite?

\( \left |{\displaystyle\frac{h^3k}{(h^2+k^2).\sqrt[ ]{h^2+k^2}}}\right |<\epsilon \)

yo lo acote así y mi profesora me dijo que esta mal
\( \left |{\displaystyle\frac{h^2}{h^2+k^2}}\right |\left |{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}}\right |\left |{k}\right |\left |{h}\right | \)

[Masacroso]

Supongo te refieres a la función \( f:\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to\Bbb R,\, (h,k)\mapsto\frac{h^3k}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}} \).

Como la función es continua entonces te bastaría comprobar que los límites

\( \displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}f(h,k),\quad\lim_{(h,k)\to (s,\infty)}f(h,k)\quad\text{ y }\quad\lim_{(h,k)\to(\infty,r)}f(h,k) \)

son todos finitos para cualquier elección que hagamos de \( r,s\in\Bbb R \).

[Juan Pablo Sancho]

Para el numerador:
\( |h^3 \cdot k| = h^2 \cdot |h| \cdot |k| \leq (h^2+k^2) \cdot |h| \cdot \sqrt{k^2} \leq  (h^2+k^2) \cdot |h| \cdot \sqrt{+h^2 + k^2}  \) 

[dario_oasis]

Tengo que acotar usando la definición:dado un Espolón >0 existe un delta ......

Como quedaría?

[Juan Pablo Sancho]

Por favor usa \( \LaTeX \) dario_oasis no es la primera vez que se menciona en tus hilos.
Te puse una acotación que resuelve directamente lo que preguntas.
\(  |h| = \sqrt{h^2} \leq \sqrt{h^2+k^2}  \)