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Análisis Matemático / Re: Me pueden ayudar con estos problemas
« Último mensaje por delmar en Hoy a las 03:09 am »
Hola

Es conveniente que muestres que has hecho por resolver el problema.

Hay 2 curvas hay que hallar \( \vec{T}, \ \vec{N} \) para cada una de ellas.

Para la primera y segunda aplica las fórmulas :

\( \vec{T}=\displaystyle\frac{\vec{r'(t)}}{\left\|{\vec{r'(t)}}\right\|} \)

\( \vec{N}=\displaystyle\frac{\vec{T'(t)}}{\left\|{\vec{T'(t)}}\right\|} \)




Saludos
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Análisis Matemático / Me pueden ayudar con estos problemas
« Último mensaje por Berner en Hoy a las 02:41 am »
determinar los vectores unitarios tangente y normal T (t) y N (t) a la curva C de

$$\vec{r}=t \mathrm{i}-\frac{1}{2} t^{2} j$$ y $$\vec{r}=-t^{2} \mathrm{i}+t j$$
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Matemáticas Generales / Re: Derivadas direccionales y parciales
« Último mensaje por delmar en Hoy a las 02:36 am »
Hola

Es correcto.

Saludos
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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Inducción (inecuación)
« Último mensaje por franma en Hoy a las 01:57 am »
Buenas,

Hola Luis!

En general:

\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)

porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.

Muchas gracias! No conocía la fórmula \( b-a+1 \). ¿Tienes alguna demostración simple de ese resultado?

Por otro lado, no entiendo cuando pones \( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \), en especial qué significa esa \( k \) del miembro derecho. Si por ejemplo \( a=1,b=3,k=i^2 \) se tiene \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{}i^2=14 \), ¿pero qué sentido tiene \( (3-1+1)\cdot i^2 \) dado que \( k=i^2 \) no es un número? ???

Gracias y saludos

A lo que refiere Luis con \( k \) es una constante no dependiente de la sumatoria (del índice) , en tu ejemplo \( i^2 \) si depende de la sumatoria por lo que la formula no aplica.

Un ejemplo:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{10}{5} = (10-1)+1 \cdot 5 = 50 \)

La cantidad de veces que sumamos es \( b-a \) pero debemos de sumarle el \( +1 \) ya que incluimos también el mismo \( a \) (lo que dijo Luis).

Saludos,
Franco.
5
Esquemas de demostración - Inducción / Re: Inducción (inecuación)
« Último mensaje por manooooh en Hoy a las 01:48 am »
Hola Luis!

En general:

\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)

porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.

Muchas gracias! No conocía la fórmula \( b-a+1 \). ¿Tienes alguna demostración simple de ese resultado?

Por otro lado, no entiendo cuando pones \( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \), en especial qué significa esa \( k \) del miembro derecho. Si por ejemplo \( a=1,b=3,k=i^2 \) se tiene \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{}i^2=14 \), ¿pero qué sentido tiene \( (3-1+1)\cdot i^2 \) dado que \( k=i^2 \) no es un número? ??? Ah, creo que ya lo veo. Le estabas indicando a nktclau que como su sumatorio(*) no dependía del índice entonces se interpretaba como una expresión. Creo que si lo aclarases mejor en el mensaje no tendría dudas ::)

Gracias y saludos

(*) Por ejemplo a esto: \( \sum_{i=2}^{3n^2}1/i \), ¿se le dice sumatorio o sumatoria? Siempre creí que era lo primero.

AGREGADO
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Matemáticas Generales / Derivadas direccionales y parciales
« Último mensaje por mgranadosgg en Hoy a las 01:03 am »
Hola y gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el siguiente ejercicio.

ENUNCIADO
-------------
Un topógrafo que se encuentra en un punto de una montaña mira al este y observa que la pendiente es horizontal. Mide la pendiente en la dirección norte, y comprueba que es -3. Entonces, ¿puede concluir que la máxima pendiente en ese punto es 3, en la dirección sur?

Solución
---------

Que el topógrafo mire al este y que la pendiente sea horizontal, significa que la pendiente en ese punto vale cero.
Que la pendiente en la dirección norte sea -3, significa que esa es la pendiente mínima.
Eso significa que en la dirección sur, la pendiente máxima es 3, ya que según las propiedades del vector gradiente, el valor mínimo tiene sentido contrario al gradiente y como el gradiente es el valor máximo de la derivada direccional de la función en el punto, alcanza la misma dirección y sentido de dicho gradiente.

Saludos.



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Buenas,

Gracias a todos por sus aportes.
Si no me equivoque con ninguna cuenta (poco probable  :laugh:) mi resultado es:
\( \displaystyle ||v||=\frac{1}{2}||u||\cdot cos(\pi /4) \)

No entiendo bien que significan \( u_1,v_1, etc \) pero llegas a un resultado correcto

Mira por ej el vector \( v \) lo interpreto como \( (v_1,v_2,v_3) \) y en clase definimos \( <u,v> \) como \( u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \) de ahí salen mis operaciones.

¿Te suena de algo lo de la aditividad de los ángulos?

La verdad que para nada, ¿Tal vez es algo que se ve mas adelante en álgebra lineal?

La verdad que para interpretaciones geométricas de álgebra estoy bastante mal  :-[.

Gracias a todos por la ayuda y espero mis resultados sean correctos (revisare las cuentas de nuevo para asegurarme).

Saludos,
Franco.
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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Inducción (inecuación)
« Último mensaje por nktclau en Ayer a las 11:03 pm »
Muchas Gracias Luis Fuentes no sabía esto MIL GRACIAS!!!! :aplauso: :aplauso: :)
9
Hola

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sean \( u \) y \( v \) dos vectores de \( R^3 \)
Hallar \( ‖v‖ \) y \( ‖u+v‖ \) sabiendo que el angulo entre \( u \) y \( v \) es \( \frac{\pi}{4} \), que \( ‖u‖ = 3 \) y que el angulo entre \( u+v \) y \( u \) es igual a \( \frac{\pi}{6} \).

Hasta el momento hice lo siguiente:
\( <u+v,u>=(u_1+v_1)u_1+(u_2+v_2)u_2+(u_3+v_3)u_3=‖u‖^2 + <u,v> \)

\(  cos(\frac{\pi}{4})=\frac{<u,v>}{‖u‖\cdot‖v‖} \rightarrow <u,v>=cos(\frac{\pi}{4})\cdot ‖u‖\cdot‖v‖ \)

Luego aqui he intentado despejar en:
\( \displaystyle cos(\frac{\pi}{6})=\frac{<u,v> + ‖u‖^2 }{‖u+v‖\cdot‖u‖} = cos(\frac{\pi}{6})=\frac{cos(\frac{\pi}{4})\cdot ‖u‖\cdot‖v‖ + ‖u‖^2 }{‖u+v‖\cdot‖u‖} \)

Pero no logro llegar a nada.

Espero alguien me pueda ayudar.

Saludos,
Franco.

No entiendo bien que significan \( u_1,v_1, etc \) pero llegas a un resultado correcto :

\( cos(\displaystyle\frac{\pi}{6})=\displaystyle\frac{cos(\displaystyle\frac{\pi}{4}) \ \left\|{u}\right\| \ \left\|{v}\right\|+\left\|{u}\right\|^2}{\left\|{u+v}\right\| \ \left\|{u}\right\|} \)

Y si has llegado a algo una relación entre la \( \left\|{v}\right\| \) y \( \left\|{u+v}\right\| \)

Es necesario otra relación más entre las dos incógnitas para resolver el problema. Lo más intuitivo es seguir el consejo de Luis Fuentes que pone en P.D. los 3 vectores \( u,v,u+v \) forman un triángulo, cuyos lados respectivos son \( \left\|{u}\right\|, \left\|{v}\right\|, \left\|{u+v}\right\| \) y teniendo en cuenta que el ángulo entre u+v y u es \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \) y el ángulo entre u y v como lados del triángulo (croquis) es \( \pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{4} \) se aplica el teorema de senos :

\( \displaystyle\frac{sen(\displaystyle\frac{3\pi}{4})}{\left\|{u+v}\right\|}=\displaystyle\frac{sen(\displaystyle\frac{\pi}{6})}{\left\|{v}\right\|} \) ahí esta la segunda relación

Saludos
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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Inducción (inecuación)
« Último mensaje por Luis Fuentes en Ayer a las 10:48 pm »
Hola

Lo veo de todas formas y veo que "sale" de la expresión \( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}} \) lo que entiendo que ademas por propiedad de sumatoria se puede escribir \( \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)

Pero no logro por decirlo así entender por que esto es \( 1 \) lo que claro, multiplicado  por \( \displaystyle\frac{1}{4} \) da lo que pregunto

Aquí estas sumando un término constante que no depende del índice \( i \):

\( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)

En general:

\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)

porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.

Saludos.
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