\( d(x_{n},0)\leq d(x_n,x)+d(x,0)\quad \Rightarrow{}\quad d(x,x_n)\geq d(x_n,0)-d(x,0)>n-n_0\geq 1 \)
 Por tanto \( B(x,1)\cap \{x_n\}\subset \{x_1,x_2,\ldots,x_{n_0}\} \) finito y así \( x \) NO es un punto de acumulación de \( \{x_n\} \): contradicción.
-\(  B(x,\color{red}{x} \color{black}(x,y)/2)\cap \{x_n\} \)

Muchas gracias por tu respuesta, y perdón por mi demora en contestar hasta el momento me pude sentar a detallar la prueba, ya logro entender la idea de mostrar que el conjunto de \(  B(x,1)\cap \{x_n\} \) sea finito para llegar a una contradicción, pero no logro visualizar muy bien como llegas a que esta contendido en \(  \{x_1,x_2,\ldots,x_{n_0}\} \),en ambos casos.
 y también no se si en esta parte de que marque en rojo en vez de una \( x \) es \( d \), de la distancia.

Muchas  gracias por tu ayuda.

\( \dfrac{x+4}{x} = 1+ \dfrac{4}{x} > 1  \)

Ósea solo vasta con decir eso para demostrar que es ínfimo?

Muchas gracias a Juan Pablo Sancho y ani_pascual me ha quedado claro, les agradezco muchísimo.

Muy buenas a todos, me he sentido perdido para demostrar lo siguiente:

Sea \( \displaystyle A =\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...\} \), necesito encontrar un elemento de \( a \in A \) tal que \( supA-\epsilon < a \), con \( \epsilon = 10^-6* \)
e de igual manera encontrar el ínfimo de A, ya demostré que 0 es una cota pero no se como demostrar que es la mayor cota inferior de todas.
Muchas gracias

Espero y les este yendo bien

El motivo de mi post es debido a que no se como demostrar que la cardinalidad del conjunto de Cantor y que además es compacto (\( C = \bigcap_{n \in \mathbb{R}} (C_i) \) tal que \( C_i = (\frac{1}{3} \cdot C_{i-1}) \cup ( \{ \frac{2}{3} \} +\frac{1}{3} \cdot C_i-1) \) y \(  C_0 = [ 0,1]  \))

Lo de compacidad ya lo he hecho, de igual manera comparto para ver si esta bien, primero demostré que estaba acotado y luego que es cerrado usando contradicción de tal manera que si no es cerrado no tiene a sus puntos de acumulación \(  C' \not\subset C  \) y dando el hecho que si no los contiene significa que es abierto por lo tanto  tomaba el cero y no había bola que este completamente contenida

Ya para la cardinalidad trate de hacer una función biyectiva entre los \(  C_i  \) y (0,1) pero no se me ocurrió nada la verdad, si alguien pudiera ayudarme con eso se lo agradecería mucho.