Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - argentinator

Páginas: [1] 2 3 4 ... 304
1
y por \(\mu\)-completitud, converge en medida a una función \(f\).
Habrá una subsucesión \(f_{n_k}\) que converge a \(f\) en \(\mu\)-casi todo punto.

¿Qué es la \( \mu \)-completitud? ¿La completitud en el sentido de la extensión de Carathéodory, que cada subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula también? Si es así me sorprende un poco, nunca he leído nada al respecto (aclaro que yo entendí que por completitud se refería en el sentido métrico, pero tiene más sentido que fuese en el sentido de la medida claro).

Añado: he mirado varios libros de análisis y en ninguno se menciona la necesidad de que \( \mu \) tenga que ser completa para que \( L_p(\mu) \) sea un espacio de Banach. Las demostraciones transcurren todas sin que se utilice ese dato ni se presuponga tal completitud.

Una medida es completa en sentido de Cauchy si toda sucesión de Cauchy en medida es también convergente en medida.

Sin embargo, toda sucesión de funciones de Cauchy en medida converge en medida a alguna función, y todas las funciones a las que converge la sucesión difieren en un conjunto de medida 0.

Me dejé confundir por el enunciado.
Creo que, como vos decís, no hace falta pasar por la convergencia en medida para probar el resultado.
Basta aplicar el criterio de convergencia absoluta de series, y las propiedades típicas de las integrales (Lema de Fatou, etc.).

2
Si ya se ha probado antes que el espacio de las funciones medibles es un espacio vectorial, entonces es suficiente probar que el conjunto de funciones integrables es un subespacio, con lo cual  sólo hay que verificar que si \(\alpha,\beta\), escalares y \(f,g\), integrables, entonces \(h=\alpha f + \beta g\) es integrable.

Para las propiedades de norma,
usar que la integral es monótona.
Digamos que si \(0\leq F \leq G\),
entonces
\[0\leq \int F \leq \int G.\]
¿Cómo elegir adecuadamente las funciones \(F\) y \(G\) para comprobar la desigualdad triangular deseada?

Para la completitud, comprobar que si \(f_n\) es una sucesión de funciones integrables, de Cauchy en norma \(\|\|_1\), entonces es de Cauchy en medida,
y por \(\mu\)-completitud, converge en medida a una función \(f\).
Habrá una subsucesión \(f_{n_k}\) que converge a \(f\) en \(\mu\)-casi todo punto.

Acá hay que investigar en los apuntes de teoría las propiedades ya demostradas de la integral, cuál es la que sirve para probar que \(|f_{n_k}-f|\) converge a 0 en integral.  8^)

Ahora bien, ¿es cierto que si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, la sucesión original converge?

3
Foro general / Re: carrera de programación
« en: 23 Marzo, 2021, 04:12 pm »
Seguro depende del país, pero si es como lo que yo conozco, los cursos universitarios son autocontenidos. La prueba para entrar determina si se tienen los conocimientos y capacidades mínimas, y adentro se enseña el resto. Así que con las ganas debiera bastar. Y con ganas, me refiero a ganas de entrar a la universidad a aprender. Los cursos de matemática de carreras no científicas son abordables por cualquiera.

Estoy de acuerdo con mathtruco.

La matemática de Universidad no es fácil,
pero los cursos de matemática, así como cualquier otra materia,
están diseñados para que los entienda cualquier persona
que inicia una carrera.
Millones de personas en el mundo realizan tales cursos, y obtienen sus títulos.
Así que me parece que, antes que un problema de contenidos,
es una cuestión de actitud, de echarse pa'elante.

El método científico soluciona muchos problemas en la vida:
hay que experimentar primero, y pensar después a ver qué como es el asunto.

Si le gusta la informática, tendrá que saber matemática.
Es cuestión de aceptar que eso es así,
y arrancar la carrera sin tantas prevenciones, con los ojos cerrados.
Si hay ganas, se resuelve todo en el camino.

¡Mucha suerte!  ;D

4
Si vas a usar la densidad de \[ \Bbb Q \] en \[ \Bbb R \], ¿no es más fácil decir directamente que si \[ q \] es un racional con \[ q^2<2 \] (luego \[ q<\sqrt{2} \]), entonces por densidad existe \[ q' \] racional con \[ q<q'<\sqrt{2} \] (y \[ q' \] claramente cumple \[ q'^2<2 \])?

Técnicamente lo que haces está bien, pero es dar mucha vuelta, creo yo.
Aunque la existencia de un \[ n \] tal que \[ r^2<2-\frac{1}{n}<2 \] no se sigue de que \[ 2-\frac{1}{n} \] es irracional, como parece que digas.

Eso también es verdad.

Muchas gracias, Geómetracat.

Saludos.

Me engancho en esta última parte de la discusión, espero no meter nada confuso.

Para probar que existe \(n\) tal que \(r^2 < 2-\frac1n < 2\) en \(\mathbb Q\),
se aprovecha la propiedad arquimediana, que vale en \(\mathbb Q\),
así como en todo conjunto de números que se pueda ordenar en la recta numérica.

La propiedad arquimediana (en \(\mathbb Q\)) dice que para todo número racional, existe un entero positivo \(n\) que es más grande. En símbolos:

\[\forall q\in\mathbb Q\,:\, \exists n\in\mathbb Z^+\,:\, n > q. \]

Esta propiedad se puede demostrar fácilmente en \(\mathbb Q\).
Primeramente, es obvio que se cumple si el número \(q<1\),
pues tomando \(n=1\) vemos que \(q<n\) siendo \(n\) entero positivo.
Si ahora asumimos que \(q\geq 1\), procedemos así:
recordemos que un número racional positivo (como lo es \(q\))
se puede escribir como fracción de dos enteros positivos \(a,b\): \(q=\dfrac ab\).
Como hemos asumido que \(q\geq 1\), el numerador es más grande (o igual) que el denominador, y además siendo ambos positivos podemos anotar:
\(0<b\leq a\).
Si ahora multiplicamos por un entero positivo mayor que el denominador,
y que además sea múltiplo de dicho denominador (por ejemplo \(2b\),
vamos a obtener un número entero positivo mayor que \(q\).
Para comprobarlo, notemos que \(q\geq 1\) porque es un entero positivo.
Entonces:

\[2b \cdot q = 2b\dfrac ab \geq 2\cdot 1 \cdot \dfrac ab > \dfrac ab = q. \]

Por otro lado, el número \(n=2b\cdot q \) es entero positivo,
ya que lo hemos elegido estratégicamente para que \(2b\) se cancele con el denominador de \(q=\dfrac ab\), con lo cual:

\[n=2b\cdot q = 2b\dfrac ab = 2\cdot a.\]

Hemos demostrado que \(n>q\).

_________________________________

Esta propiedad puede usarse no sólo para buscar números grandes,
sino también números pequeños, de la forma \(1/n\), con \(n\) entero positivo,
de manera que \(1/n\) sea tan pequeño como nos haga falta.

Supongamos que ahora tenemos un número racional positivo \(u\).
Entonces \(q=1/u\) también es un racional positivo,
y la propiedad arquimediana nos dice que existe \(n\in\mathbb Z^+\)
tal que \(n>q\).
Usando que los recíprocos invierten las desigualdades, obtenemos que:

\[\dfrac1n<\dfrac 1q = u.\]

Pero además tenemos que \(1/n\) es positivo, así que podemos escribir algo más preciso:

\[0<\dfrac1n <u.\]

_______________________

Ahora lo que conviene hacer es "correr todo al 0".

Tu problema es encontrar un número \(n\) tal que
\[r^2 < 2-\frac 1n< 2.\]
siendo \(r^2\) racional (sin importar que \(q\) sea o no racional).
Primero hemos de transformar el problema para
que podamos aprovechar la propiedad del recíproco de la arquimediana,
"llevando todo al 0".
Primero restamos 2 en todos los miembros, lo cual mantiene las desigualdades:
\[r^2 {\color{red}- 2} <  2 {\color{red}-2} - \frac 1n < 2{\color{red}-2} .\]
Simplificando, queda:

\[r^2 -2 <   - \frac 1n < 0 .\]

Resolver el problema de hallar un \(n\in\mathbb Z^+\) que cumpla esa desigualdad
es un problema equivalente al original.
 
Ahora seguimos transformando el problema para obtener
otro problema equivalente.
Multplicamos todos los miembros por \((-1)\),
lo cual es un mero cambio de signo,
que a su vez nos obliga a invertir el sentido de todas las desigualdades, y nos queda:

\[2-r^2 > \frac1n > 0.\]

Entonces preguntamos: ¿existe un número entero positivo \(n\) que cumpla esa desigualdad?

Podemos responder que sí, ya que ahora basta tomar como \(u\)
al primero miembro: \(u=2-r^2\).
Como habíamos supuesto que \(r^2 < 2\),
esto es lo mismo que decir que \(u>0\).
Todo esto que digo está guiado por la idea de "correr todo al 0",
lo cual ayuda a que uno se dé cuenta de qué detalles tiene que mirar.

Por la propiedad que vimos más arriba, del caso del recíproco arquimediano (por llamarla de algún modo),
vemos que existe \(n\) entero positivo tal que \(0 < \frac1n < u\),
lo cual equivale a escribir \(0<\frac1n < 2-q^2\).

Pero habíamos dicho que esto era equivalente a tener \(q^2<2-\dfrac1n<2\).



5
Foro general / Re: Matemáticas anti-racistas
« en: 23 Febrero, 2021, 01:12 am »
Resuelve la ecuación siguiente: \( x+5 = 7 \). Por imperativo legal, para aprobar el examen deberás dar al menos dos respuestas válidas.

\(x=2\)

\(x=-(\cos\pi)+\lim_{t\to0} t^t\).

¿Ves que la metodología funciona?

El tipo del video, digamos, T, defiende que:
"El punto de vista de cada persona es válido".
Si el punto de vista de una persona X es que:
"El punto de vista de T no es válido".
¿Qué resulta de eso?

6
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 04:12 am »
lo que pretendías con este hilo era mostrar un error patente, obvio, sin discusión;

Pues entonces vos también estás siendo radical, y encima me das la razón.
Doble pecado.  >:D

7
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:48 am »
A ti y a mi un numero de telefono no nos dice gran cosa pero a un técnico de la compañía telefónica le da mucha informacion.

El problema no es quien tiene más información, sino que con la información que tenemos de ellos, es suficiente para entender que los números teléfonicos no son números desde un punto de vista matemático.

8
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:47 am »
Bueno, hay muchos tipos de números y no todos sirven para comparar conjuntos, los primos, los complejos, los quebrados, los pares, etc así que esa definición no me vale, al menos en principio. Si pudiéramos establecer un isomorfismo entre los números de telefono y algún conjunto de números conocido pues quizás avanzaramos algo.
Desde luego los dígitos de los números de telefono tienen un signficado preciso en el que intervienen el digito y la posición (igual que ocurre con los naturales). Dicho significado permite establecer la conexión así que desde luego no son números naturales pero no es lo mismo decir que no son números naturales a decir que no son números, esa afirmación tiene un significado mucho mas amplio y no es tan claro que sea cierta. Si el numero telefónico permite establcer una conexión entonces identifica con precision una de las múltiples conexiones posibles de la red telefonica y eso es lo mismo que establecer un elemento de un conjunto (todas las conexiones posibles) y eso se parece bastante a las propiedades de los números.

Pues en ese caso habría que decir a qué tipo o clase de números te estás refiriendo.
Yo tengo un candidato.

9
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:42 am »
Tampoco me hace falta definir lo que es un número en general.
Apenas definí un tipo de números, que son los cardinales (o también llamados "naturales").
Con esos es suficiente para concluir que un número telefónico no es un número.

Porque una secuencia como 15 o como 0000015 se usa para representar un número natural.
Y con eso es suficiente para establecer mi punto en la discusión del presente hilo.

10
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:36 am »
Bueno, hay muchos tipos de números y no todos sirven para comparar conjuntos, los primos, los complejos, los quebrados, los pares, etc así que esa definición no me vale, al menos en principio. Si pudiéramos establecer un isomorfismo entre los números de telefono y algún conjunto de números conocido pues quizás avanzaramos algo.

Yo no necesito establecer un isomorfismo entre cosas que considero diferentes.
Quien diga que los números de teléfono son números, que diga qué clase de números, y cuál es el isomorfismo.

11
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:25 am »
Pongo otro ejemplo, para revolver más el mismo asunto.

Los dígitos significan lo que a uno se le canta que signifiquen.

Supongamos que Pascal nos da una de sus máquinas de calcular, con 4 dígitos decimales.
Con esa máquina se podían hacer sumas como:

2678 + 1234 = 3912.

Para ello, Pascal solamenet trabajó en el mecanismo interno de la máquina,
colocando muy cuidadosamente un sistema de engranajes.
Era una máquina de sumar, solamente.

Pero se las ingenió para convertirla en una máquina que también podía restar.
Para ello hizo lo siguiente: NADA.

En efecto, tan sólo enlazó los engranajes a unos rodillos que mostraban el valor de un dígito en un visor.
Cuando quería hacer una resta, bajaba una palanca que corría un poquito hacia abajo el visor, para que se descubra otros dígitos que él había pintado en los rodillos, que eran el complemento a 9 del dígito anterior.

El complemento a 9 de un dígito D se calcula simplemente como 9 - D.
Así que si el visor tenía un 2, el complemento a 9 era un 7,
si el visor tenía un 4, el complemento a 9 era un 5, etc.

Si quería calcular la resta: 7321 - 1234 = 6087,
hacía lo siguiente:

* Colocaba el número 7321 en el primer sumando, y el 1234 en el segundo sumando.
* Luego bajaba la palanca para que se vierra el complemento a 9 del primer sumando, que en el ejemplo es 2678.
* Efectuaba la suma normalmente, y le daba el resultado: 2678 + 1234 = 3912.
* Como la palanca está puesta para mostrar complemento a 9, el visor del resultado muestra en realidad el complemento a 9 de 3912, que es 6087.

La operación realizada para la suma y para la resta fue exactamente la misma.
Lo único que cambió fue lo que "elegimos ver como resultado", mediante el truco del complemento a 9.
En un caso dio una suma, y en otro dio una resta.


12
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:11 am »


En ese otro hilo coloqué una cuestión que no fué atendida: se trata de algo así como que los distintos números (el 122, el 14.641, etc.) serían entes propios, diversos entre ellos como diversos son los seres humanos, y que existía una especie de "presión física de ordenación" (relacionada al parecer con los Primos).
 

Pues la "presión física de ordenación" (lo que fuera que eso signifique) de los números es un tema que no tiene que ver con el tema de este hilo.

Aquí sólo estoy distinguiendo entre "sintaxis" y "semántica".
Se suele decir "número" a los dígitos o a las secuencias de dígitos,
pero no siempre es correcto tomarlo tan literal.

Una secuencia de dígitos es una información de algún tipo.
Cómo se los interprete depende de la semántica elegida para ellos.
Las secuencias de dígitos 15 y 015 son siempre distintas entre sí.
Sólo se vuelven "equivalentes" cuando por alguna regla les hemos asociado el mismo número cardinal.

13
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 02:05 am »
Vamos por partes, ¿cual es la definición matemática del concepto numero? Yo diría que tal cosa no existe, asi que no será facil demostrar si los numeros que aparecen en las guias telefónicas son "numeros en el mas estricto sentido matematico" o no.

No sé si todo en la vida es "definible".

Pero para el asunto éste ni siquiera hace falta una definición.
Reconocemos un número porque nos permite comparar el tamaño de conjuntos.
Si empezáramos a decir que 15 y 015 son números distintos, estaríamos diciendo que hay conjuntos A y B, tal que A tiene 15 elementos, que B tiene 015 elementos, y que A y B no pueden ponerse en correspondencia biunínoca entre sí.

Ninguna persona en el mundo nos aceptaría que 15 y 015 representan cantidades o cardinales distintos.

En todo caso, estoy diciendo que la definición de número es la de un cardinal finito.

Pero entonces, si 15 y 015 van a representar el mismo número (cardinal),
pero al marcar un teléfono, el 15 y el 015 producen efectos distintos, claramente no es el número "quince" lo que influye en dicho efecto, sino las meras secuencias de dígitos que se han tecleado.
Y entonces esas secuencias de dígitos no pueden representar números, porque son distinguibles entre sí.

Así que no es correcto llamarles "números telefónicos" a las secuencias de dígitos que marcamos en el teléfono.

14
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 10 Febrero, 2021, 01:07 am »
No sé si me convence mucho. Por el mismo motivo se podría argumentar que los números con los que trabaja un ordenador no son realmente números sino "secuencias de dígitos binarios" ya que se almacenan en bytes y por ejemplo el 2 se guarda como "00000010". O que cuando escribimos cualquier número, como "157", no se trata de un número sino de una secuencia de dígitos decimales que representan a un número. La cuestión es que un número es un concepto abstracto, de forma que de cualquier representación concreta suya puedes decir que no es un número, sino una secuencia de símbolos.

Pues sí, son todas secuencias de dígitos.
Se les asigna un significado numérico abstracto, que es distinto.

Citar
PS: Releyendo el hilo he visto que hablas de que si marcas al "15" llamas a una persona distinta que si llamas al "00015". En este caso sí considero que tendrías razón. Esto no pasa en España, donde los números de teléfono tienen una longitud fija, de manera que si llamas al "15" te da error.

En Argentina el 107 marca una llamada a ambulancia.
Si uno marca 00000107, no sé qué pasa, pero te conecta con la operadora,
o quizá intenta comunicarse con un número del extranjero.
En todo caso, no llama a una ambulancia, y por lo tanto no equivale a 107.

En cuanto a que en los ordenadores hay representaciones de tamaño fijo...,
pues es cierto, pero no toda representación es un número.
Por ejemplo, en el formato binary32, una sucesión de 32 bits iguales a 1 representa algo que por su mero nombre se sabe que no es un número: es un NAN, que significa "not a number".

15
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 09 Febrero, 2021, 11:57 pm »
-
Mmm ... pensaba que pretendías caminar por una vía más profunda. Lo que dices parece obvio ... aunque se le puede sacar punta.


Pues no quería establecer nada realmente profundo,
sino ese hecho simple y fácil.

Lo que pasa es que mucha gente parece haber aprendido en la vida que los números son la misma cosa que los dígitos...  :banghead: :banghead: :banghead: :banghead:

Y eso me exaspera bastante.

16
Foro general / Re: Los números telefónicos no son números
« en: 09 Febrero, 2021, 11:17 pm »
Pues sólo me estoy refiriendo a los dígitos, y no a si están escritos con píxeles o tinta.

Supongamos la cantidad de palitos que pongo acá:

||||| ||||| |||||

En castellano son: quince.
Usando dígitos decimales, todas las representaciones siguientes son válidas para decir "quince":

15, 015, 0015, 00015, 000015, etc.

Pero si en el teléfono marco "15" no es lo mismo que si marco "0000015".
Estaríamos llamando a distintas personas.
Esto muestra que los llamados "números" telefónicos son sólo "secuencias de dígitos decimales", pero que no representan una cantidad numérica, sino sólo una secuencia de signos.

17
Foro general / Los números telefónicos no son números
« en: 09 Febrero, 2021, 10:18 pm »
Afirmo eso, tal cual dice el título:

Los números telefónicos no son números.

Tampoco son números los números de las tarjetas de crédito.

A ver quien se anima a contradecirme.

18
Foro general / Re: En busca de mentoría.
« en: 07 Febrero, 2021, 12:34 pm »
Hola Jesús.
Coincido bastante con las respuestas que te ha dado geómetracat.

He visto en algunos casos tu problema más agravado aún: físicos que diseñan planes de estudio de tal suerte que intentan meter en primer año de la carrera un montón de cursos de matemática. Terminan queriendo darles media licenciatura de Matemática en primer año a los pobres estudiantes de Física.

Desde mi punto de visto eso es una pérdida de tiempo.
La Física es, primero que nada, una ciencia experimental, y a los alumnos que ingresan en la Universidad se les debe inculcar ese tipo de razonamiento.
Luego viene la especulación matemática como una forma de intentar expresar con mayor precisión, o de establecer con modelos matemáticos, una teoría física que explique los eventos experimentales.

Allí lo ideal es entender la idea física que motivó tal o cual fórmula matemática,
ya que el modelo matemático que uses puede variar en el futuro, pero los hechos físicos y las ideas físicas no.

En cuanto a la fórmula para \(e^{i\theta}\), es una definición.
Lo único que único demuestra es que coincide luego con las series formales de potencias del seno y del coseno con argumento imaginario..
Esto permitirá extender las definiciones de seno, coseno y exponencial a funciones de variable compleja.
Pero en un curso inicial de números complejos es suficiente trabajar con la mera definición.

La fórmula \(e^{i\theta}\) es una abreviatura del simbolo
\(\hbox{cis}(\theta)=\cos\theta + i\sin \theta\),
que aparece en algunos textos.
La ventaja de \(e^{i\theta}\) es que es más fácil recordar las reglas de los exponentes, y que luego, al realizar un curso de variable compleja, es más fácil también la transición.

En cuanto al formalismo matemático, Gödel demostró que es incompleto, así que nunca vas a encontrar satisfacción alguna en la vida.
Ni siquiera se puede probar la consistencia de la Teoría de Conjuntos.
Así que no sé para qué sufrir.

19
Teoría de Conjuntos / Re: Cortaduras de Dedekind
« en: 03 Febrero, 2021, 06:08 pm »
A mí me llama la atención la estructura de las cortaduras de Dedekind, que pueden verse como los abiertos no triviales de una topología sobre \(\mathbb Q\).
Sin necesidad de hablar de topología,
se podría hablar de cortaduras en estos términos:

Llamemos rayo izquierdo a un conjunto de la forma:

\((-\infty,q)_{\mathbb Q} = (-\infty,q)\cap \mathbb Q = \{x\in \mathbb Q\,:\,x<q\}\),
para cada \(q\in\mathbb Q\).

Decimos que un conjunto \(A\subset \mathbb Q\) es abierto (respecto rayos izquierdos) si puede escribirse como unión (finita o infinita o incluso vacía) de rayos izquierdos.

Una propiedad bastante obvia de estos conjuntos que llamamos abiertos es que
si un número \(a\) pertenece a un abierto \(A\),
entonces \((-\infty,a)\) es subconjunto de \(A\).

En efecto, si \(a\in A\), entonces existe \(q\in\mathbb Q\) tal que \(a\in (-\infty,q)\subset A\). En particular \(a<q\), y por lo tanto
\((-\infty,a)\subset (-\infty,q)\subset A\).

Es fácil demostrar que la familia \(\mathcal O\) de todos los conjuntos abiertos forma una topología sobre \(\mathbb Q\), vale decir:

(T0) Los conjuntos \(\emptyset\) y \(\mathbb Q\) son abiertos.
El vacío se obtiene uniendo la familia vacía, y \(\mathbb Q\) se obtiene uniendo todos los rayos izquierdos.

(T1) La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un abierto.
La prueba de este hecho es trivial.

(T2) La intersección de exactamente 2 abiertos \(A,B\), es también un abierto:
Los casos triviales suceden cuando \(A\) ó \(B\) es vacío, o todo \(\mathbb Q\), o cualdo \(A\) y \(B\) son iguales.
Así que supongamos que \(A\) y \(B\) son diferentes,
y sea \(b\in B\setminus A\).
Tenemos que \((-\infty,b)\subset B\).
Si \(a\in A\), entonces \((-\infty,a)\subset A\):
Como \(b\not \in A\), necesariamente \(a<b\).
Esto en particular implica que \(a\in(-\infty,b)\subset \subset B\).
O sea, \(a\in B\).
Hemos probado que \(A\subset B\).
Por lo tanto \(A\cap B = A\),
y así la intersección de \(A\) y \(B\) es un conjunto abierto.

Se puede demostrar que todo abierto así definido tiene propiedades útiles para entender la estructura de las cortaduras, que son todas fáciles de comprobar:

Sea \(A\) un conjunto abierto:
(1) Si \(a,b\in A,a<b\), entonces \((a,b)\subset A\).
(2) Si \(a\in A\), entonces \((-\infty,a)\subset A\).
(3) Si \(b\in\mathbb Q,b\not\in A\), entonces \([b,\infty)\cap A = \emptyset\).

La última propiedad dice que todo abierto no trivial (distinto de \(\emptyset,\mathbb Q\)) está acotado superiormente.

Definimos una cortadura de Dedekind como un conjunto abierto no trivial,
vale decir, un abierto distinto de \(\emptyset,\mathbb Q\).

Una propiedad adicional interesante sería la siguiente:

Quité una propiedad adicional que había puesto originalmente.


La intención era pegar un rayo izquierdo con el dominio de una función creciente.
Para hacerlo de manera adecuada habría que imponer varias condiciones,
con lo cual para mí pierde un poco de interés.
Así que retiré esa propiedad del post.  :'(

20
Para estudiar matemática conviene arrancar con los libros de cada tema.
Si alguna cosa no aparece en los libros, entonces tiene sentido buscarlo en los papers.
En ese caso yo comenzaría buscando preprints en ArXiv, tal como aconseja geometracat, por la sencilla razón de que es gratuito.
También se puede buscar los preprints en las páginas personales de cada autor, o en libros dedicados a coleccionar artículos destacados.

Muchas revistas permiten su acceso a través de JSTOR.
Allí se pueden ver los artículos de forma gratuita, pero sólo un máximo de 3 al mismo tiempo.

Páginas: [1] 2 3 4 ... 304