Hola
Coleccionas ecuaciones sin explicar a que vienen:
\( a^3 + 3 a b (a + b) + b^3 \);
Esta no dice nada. Es el desarollo de \( (a+b)^3 \). No se que pinta ahí.
\( a^3 + 3 a b (a + b) =a^4·d^4 \);
Supongo que este es tu punto de partida, algo así como:
\( (a+b)^3-b^3=a^4d^4 \) (*)
\( a(a^2+3b(a+b))=a^4·d^4 \);
\( (a^2+3b(a+b))=a^3·d^4 \).
En consecuencia b y a tienen un factor común,¿ cierto?
Si, bajo el supuesto (*).
Aunque si a adopta el valor de \( a^4 \):
\( a^{12} + 3 a^4 b (a^4 + b) = (a^3 + a b x)^4=a^4·d^4 \);
Aquí parece que de repente trabajas con:
\( (a^4+b)^3-b^3=(a^3+abx)^4 \)
\( a^{12} + 3 a^8 b + 3 a^4 b^2 = a^{12} + 4 a^{10} b x + 6 a^8 b^2 x^2 + 4 a^6 b^3 x^3 + a^4 b^4 x^4 \);
\( 3 a^4 b (a^4 + b) = a^4 b x (4 a^6 + 6 a^4 b x + 4 a^2 b^2 x^2 + b^3 x^3) \);
\( 3 (a^4 + b) = x (4 a^6 + 6 a^4 b x + 4 a^2 b^2 x^2 + b^3 x^3) \).
Suponiendo que \( x =1 \) , valor mínimo que puede adoptar, aun en ese caso:
\( 3 (a^4 + b) < (4 a^6 + 6 a^4 b+ 4 a^2 b^2 + b^3) \).
Consecuentemente, \( a^{12} + 3 a^4 b (a^4 + b) \neq (a^3 + a b x)^4\neq a^4·d^4 \). ¿Cierto?
No. Es cierto que \( a^{12}+3a^4b(a^4+b)<(a^3 + a b x)^4 \), para cualquier \( x \).
Pero de ahí no se deduce que: \( a^{12} + 3 a^4 b (a^4 + b)\neq a^4·d^4 \); yo desde luego no veo como deducirlo.
Luis, preguntarle, porque la siguiente secuencia de ecuaciones no demuestra el UTF n=3.
La pregunta ya muestra bastante despiste por tu parte; porque deberías de ser tu el que explicase el porque se supone que una secuencia de ecuaciones sin mayor aclaración prueban nada.
\( a^3+(a+b)^3=(a+b+c)^3 \). Reescribiéndose, tal que:
\( c^3 = a^3 + c (-3 a^2 - 6 a b - 3 b^2) + c^2 (-3 a - 3 b) \);
Bien. Entiendo que dados \( x,y,z \) tal que \( x^3+y^3=z^3 \) siempre puede escogerse \( b=y-z \) y \( c=z-b \) de manera que puedes reescribirla como indicas arriba.
\( a=c \);
\( c^3 + (c + b)^3 = (c + b + c)^3 \);
Aquí empieza lo extraño. ¿A qué viene hacer \( a=c \) y que se supone que quieres demostrar con eso?.
Ahora ya trabajas con una ecuación que NO corresponde a cualquier posible igualdad \( x^3+y^3=z^3 \):
\( c^3 + (c + b)^3 = (b+2c)^3 \);
\( (b + 2 c) (b^2 + b c + c^2)= (b + 2 c)^3 \);
\( (b^2 + b c + c^2) = (b + 2 c)^2 \);
\( b^2 + b c + c^2 = b^2 + 4 b c + 4 c^2 \);
\( -3 b c - 3 c^2 = 0 \);
\( - b = c \).
Siendo una contradicción. Porque ambas variables deben ser positivas.
Lo único que pruebas ahí es que no es posible una igualdad con naturales de la forma:
\( c^3 + (c + b)^3 = (b+2c)^3 \)
Pero eso no corresponde al caso general \( x^3+y^3=z^3 \).
Saludos.
