[Luis Fuentes]

Hola

[texx] 3·a(a+ d^4) + d^8= (x+d^2)^4; [/texx].

[texx] 3·a(a+ d^4) + d^8= x^4+4·x^3·d^2 + 6·x^2·d^4+ 4·x·d^6+ d^8 [/texx].

[texx] 3·a(a+ d^4) = x^4+4·x^3·d^2 + 6·x^2·d^4+ 4·x·d^6 [/texx].

[texx] 3·a(a+ d^4) = x(x^3+4·x^2·d^2 + 6·x·d^4+ 4·d^6 )[/texx].

Y de ahí no se deduce ninguna contradicción y relación de las variables, ¿cierto?

No al menos de manera obvia.

En las igualdades de ese tipo con enteros, decir que categóricamente que no llevan a contradicción, es decir, que son posibles, puede ser difícil. Por ejemplo sabemos que \( x^3+y^3=z^3 \) con \( x,y,z \) naturales lleva a contradicción, en cuanto que no existen naturales que verifiquen esa ecuación; pero probarlo es difícil.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Consideremos las siguientes igualdades.

[texx] (a+b-1)(a+b)(a+b+1)= a (a (a + 3 b) + 3 b^2 - 1) + b (b^2 - 1) = b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a (a^2 - 1) [/texx] (i)

[texx] b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) = a (3 a b + 3 b^2) + b (b^2 - 1) [/texx] (ii)

Si se considera que:

[texx] a^3+(a+b)^3=(a+c)^3 [/texx]

[texx] a^3+(a+b-1)(a+b)(a+b+1)+a+b = (a+c-1)(a+c)(a+c+1)+a+c [/texx] Sustituimos (i);

[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a (a^2 - 1)+a+b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) + a (a^2 - 1)+a+c [/texx];

[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a^3+b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) + a ^3+c [/texx] ;

[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) +b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) +c [/texx] Sustituimos (ii);

[texx] a^3+ a (3 a b + 3 b^2) + b (b^2 - 1) +b = a (3 a c + 3 c^2) + c (c^2 - 1)+c [/texx];

[texx] a^3+ a (3 a b + 3 b^2) + b^3 = a (3 a c + 3 c^2) + c^3[/texx];


Para conseguir la expresión deseada, [texx] a^3 + b^3 = c^3[/texx],  [texx] a (3 a b + 3 b^2) = a (3 a c + 3 c^2) [/texx], en consecuencia b=c. Aunque si es así, se llega a una contradicción, porque [texx] a^3+(a+b)^3=(a+c)^3 [/texx] nunca se cumplira para números enteros, si b=c.
 
¿Demuestra fermat para n=3?


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Consideremos las siguientes igualdades.

[texx] (a+b-1)(a+b)(a+b+1)= a (a (a + 3 b) + 3 b^2 - 1) + b (b^2 - 1) = b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a (a^2 - 1) [/texx] (i)

[texx] b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) = a (3 a b + 3 b^2) + b (b^2 - 1) [/texx] (ii)

Si se considera que:

[texx] a^3+(a+b)^3=(a+c)^3 [/texx]

[texx] a^3+(a+b-1)(a+b)(a+b+1)+a+b = (a+c-1)(a+c)(a+c+1)+a+c [/texx] Sustituimos (i);

[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a (a^2 - 1)+a+b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) + a (a^2 - 1)+a+c [/texx];

[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a^3+b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) + a ^3+c [/texx] ;

[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) +b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) +c [/texx] Sustituimos (ii);

[texx] a^3+ a (3 a b + 3 b^2) + b (b^2 - 1) +b = a (3 a c + 3 c^2) + c (c^2 - 1)+c [/texx];

[texx] a^3+ a (3 a b + 3 b^2) + b^3 = a (3 a c + 3 c^2) + c^3[/texx];


Para conseguir la expresión deseada, [texx] a^3 + b^3 = c^3[/texx],  [texx] a (3 a b + 3 b^2) = a (3 a c + 3 c^2) [/texx], en consecuencia b=c. Aunque si es así, se llega a una contradicción, porque [texx] a^3+(a+b)^3=(a+c)^3 [/texx] nunca se cumplira para números enteros, si b=c.
 
¿Demuestra fermat para n=3?

Pues no, no demuestra nada y es bastante difícil verle un sentido coherente. En primer lugar, ¿por qué supones al mismo tiempo que \( a^3+b^3=c^3 \) y que \( a^3+(a+b)^3=(a+c)^3 \)? Es una suposición que de partida ya no sirve para nada; porque en todo caso si llegas a una contradicción solo pruebas que no pueden darse ambas igualdades simultáneamente. Pero no dice nada sobre si puede darse por separado.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Cierto, simultáneamente no impide que pueden cumplirse por separado.

\( a^3+(a+b)^3=(a+b+c)^3  \);

\( a^3=(a+b+c)^3 - (a+b)^3  \);

\( a^3= c (3 a^2 + 6 a b + 3 a c + 3 b^2 + 3 b c + c^2)  \).

Si se considera que c=a, entonces, \( a^2= (3 a^2 + 6 a b + 3 a c + 3 b^2 + 3 b c + c^2)  \) y si es así \( b=-2a   Ʌ   b=-a  \). ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Cierto, simultáneamente no impide que pueden cumplirse por separado.

\( a^3+(a+b)^3=(a+b+c)^3  \);

\( a^3=(a+b+c)^3 - (a+b)^3  \);

\( a^3= c (3 a^2 + 6 a b + 3 a c + 3 b^2 + 3 b c + c^2)  \).

Si se considera que c=a, entonces, \( a^2= (3 a^2 + 6 a b + 3 a c + 3 b^2 + 3 b c + c^2)  \) y si es así \( b=-2a   Ʌ   b=-a  \). ¿Cierto?

Si llamas \( a+b=x \) y \( c=a \) entonces lo que tienes es:

\( a^3+x^3=(a+x)^3  \)

y simplificando:

3ax(a+x)=0

de donde o bien \( a=0 \) ó \( x=0 \) ó \( a+x=0 \). Es decir como \( x=a+b \).

O bien \( a=0 \) ó \( b=-a \) ó \( b=-2a \).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  a^3 + (a + b)^3 = (a + b + c^3)^3 \).

Dicha ecuación se puede reescribir tal que:

\(  c^9 = a^3 + c^3 (-3 a^2 - 6 a b - 3 b^2) + c^6 (-3 a - 3 b)  \).

(i) \(  c^3=a. \)
\(  c^3 (-3 a^2 - 6 a b - 3 b^2) + c^6 (-3 a - 3 b)=0;  \)
\(  a (-3 a^2 - 6 a b - 3 b^2) + a^2 (-3 a - 3 b)=0;  \)
\(  a=0, b=-2a, b=-a.  \)

(ii) \(  c=a \)
\(  a^9 = a^3 + a^3 (-3 a^2 - 6 a b - 3 b^2) + a^6 (-3 a - 3 b);  \)
\(  a^9 = a^3 (1 - 3 (a + b) (a^3 + a + b));  \)
\(  a^6 = (1 - 3 (a + b) (a^3 + a + b));  \)
\(  a^6 + 3 (a + b) (a^3 + a + b) = 1. \)
a ó b es negativo.

(iii) \(  a=c·p  \)
\(  (c p)^3 + (c p + b)^3 = (c p + b + c^3)^3; \)
\(  (c p)^3 = (c p + b + c^3)^3-(c p + b)^3; \)
\(  (c p + b + c^3)^3-(c p + b)^3=b (3 b c^3 + 3 c^6 + 6 c^4 p) + c^9 + p (3 c^7 + 3 c^5 p);  \)
\(  b (3 b c^3 + 3 c^6 + 6 c^4 p) + c^9 + p (3 c^7 + 3 c^5 p)= (c p)^3; \)
\(  c^3 (3 b^2 + 3 b c^3 + 6 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) = c^3 p^3; \)
\(  (3 b^2 + 3 b c^3 + 6 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) = p^3. \)
O todas las variables son cero o hay algún valor negativo en las variables.

¿Qué más valores puede adoptar a?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\(  a^3 + (a + b)^3 = (a + b + c^3)^3 \).

Si llamas \( a+b=y \) tienes que la expresión inicial equivale a:

\( a^3+y^3=(y+c^3)^3 \)

Simplificando:

\( a^3=c^3(3y^2+3yc^3+c^6) \)

eso quiere decir que \( a=cp \).

(iii) \(  a=c·p  \)
\(  (c p)^3 + (c p + b)^3 = (c p + b + c^3)^3; \)
\(  (c p)^3 = (c p + b + c^3)^3-(c p + b)^3; \)
\(  (c p + b + c^3)^3-(c p + b)^3=b (3 b c^3 + 3 c^6 + 6 c^4 p) + c^9 + p (3 c^7 + 3 c^5 p);  \)
\(  b (3 b c^3 + 3 c^6 + 6 c^4 p) + c^9 + p (3 c^7 + 3 c^5 p)= (c p)^3; \)
\(  c^3 (3 b^2 + 3 b c^3 + 6 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) = c^3 p^3; \)
\(  (3 b^2 + 3 b c^3 + 6 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) = p^3. \)
O todas las variables son cero o hay algún valor negativo en las variables.

No veo como deduces lo que he marcado en rojo.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

https://www.wolframalpha.com/input/?i2d=true&i=%5C%2840%293+Power%5Bb%2C2%5D+%2B+3+b+Power%5Bc%2C3%5D+%2B+6+b+c+p+%2B+Power%5Bc%2C6%5D+%2B+3+Power%5Bc%2C4%5D+p+%2B+3+Power%5Bc%2C2%5D+Power%5Bp%2C2%5D%5C%2841%29+%3D+Power%5Bp%2C3%5D

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero no vale como argumento lo que ponga el Wolfram. Si al Wolfram le metes la ecuación \( x^3+y^3=z^3 \) te devuelve que las únicas soluciones enteras son las triviales. Pero eso no indica el Wolfram (o tu) hayas demostrado el Teorema de Fermat; simplemente los desarrolladores del Software, gracias a que algún matemático desmostró que el Teorema de Fermat es cierto, han implementado esa información al Wolfram y por eso este software te devuelve ese resultado.

 De hecho la ecuación que pones:

\( (3 b^2 + 3 b c^3 + 6 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) = p^3. \)

 viene de:

\(  (cp)^3+(cp+b)^3=(cp+b+c^3)^3 \)

 Las soluciones enteras que te está devolviendo vienen de considerar las soluciones triviales de la ecuación (*), donde necesariamente alguna de los tres cubos es nulo.

 Por ejemplo te aparecen todas aquellas en las que:

\( cp+b=0 \)
\( cp+b+c^3=cp \)

 que equivalen a \( b=-cp \) y \( p=c^2 \).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  a^3 + (a + b)^3 = (a + b + c^3)^3 \).

Luis dices que “Las soluciones enteras que te está devolviendo vienen de considerar las soluciones triviales de la ecuación, donde necesariamente alguna de los tres cubos es nulo.”
Ese necesariamente, ¿en relación a las soluciones triviales o en general?

Plantearle otra cuestión.

\(  (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2)  \);
\(  (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)  \);

Es decir:

\(  (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·x^3=(c·p + b)^3 \) (*).

1. \(   3 c p (b + c^3)^2=(b + c^3)^3·z; z = (3 c p)/(b + c^3); p = (z (b + c^3))/(3 c)  \);
2. \(   3 c^2 p^2·(b + c^3) =(b + c^3)^3·y; y = (3 c^2 p^2)/(b + c^3)^2; p = ± (\sqrt[ ]{y}) (b + c^3))/(\sqrt[ ]{3}( c)  \);
3. \(   z+y+1=x^3 \).

De 1, para que z sea entero, se deduce que \(   z = (3 c p)/(b + c^3)  \) que b=c·n, ¿cierto?
De (*) en concreto \(  (b + c^3)^3·x^3=(c·p + b)^3 \), ¿ se deduce que \( c=p^2 \)?

Atentamente.