[Luis Fuentes]

Hola

[texx] (3 z(z+1)+1)(n^3) = n^3 x^3 [/texx];

[texx] 3 z(z+1)+1 [/texx] no cumple con los requisitos requeridos para ser potencia de grado 3, es decir, [texx] (z-1) z(z+1)+z [/texx]. Se necesitan un producto de tres números correlativos y además la suma del número central. Por ejemplo, si z es igual a 4, [texx] 3·4·(5)+1 [/texx] nos faltaría la suma del 4.

No. La afirmación en rojo está mal. Para que \( 3z(z+1)+1 \) sea un cubo tiene que ocurrir que:

\( 3z(z+1)+1=w^3=\color{blue}(w-1)w(w+1)+w\color{black} \)

(tu pones \( z=w \) pero eso no tiene porqué ser así). No has dado ningún argumento por el cuál a priori no pueda darse esa igualdad.

El añadido en azul, es decir, el usar que \( w^3=(w-1)w(w+1)+w \) te empeñas en meterlo con calzador una y otra vez como si aportase algo: pero es una identidad trivial que no aporta nada.

Entonces, ¿se puede afirmar que no existen soluciones enteras para [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]?

Se puede afirmar por el Teorema de Fermat (que sabemos que está demostrado), pero no por nada de lo que has aportado en tu mensaje.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx], extraemos [texx] a^3, (a+n)^3 [/texx] ;

[texx] 3na(a+n)+n^3 [/texx] (*).

Si [texx] 3 a n (a + n) + n^3 [/texx] es igual a [texx] n^3 x^3 [/texx] en la ecuación [texx] 3 a n (a + n) [/texx] debe haber un [texx] n^3 [/texx], es decir:

[texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (n=a).

[texx] 3 n^2 (2n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx];

[texx] 6n^3 + n^3 = n^3 x^3 [/texx];

[texx] 7 n^3 = n^3 x^3 [/texx].


Aunque [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (zn=a)). Porque de [texx] 3 a n (a + n) [/texx] hay que obtener un [texx] n^3 [/texx].

Insertemos la ecuación inicial:

[texx] (an)^3+3nan(an+n)+n^3 = (an+n)^3 [/texx].

[texx] (an)^3+3nan(an+n)+n^3[/texx]  es igual a una potencia con un factor común n, [texx]  (an+n)^3 [/texx]. Todas las potencias tienen el factor común n, cumpliéndose la conjetura. Cierto??

Si [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (zn=a));

[texx] 3 zn n (zn + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx];

[texx] 3 z·n^3 (z + 1) + n^3 = n^3 x^3 [/texx];

[texx] n^3(3 z (z + 1) + 1) = n^3 x^3 [/texx];

Si [texx] (3 z (z + 1) + 1) [/texx] es igual a un cubo será igual a;

[texx] (b-1)b(b+1)+b =(b-1)b(b+1)+b-1+1=(b-1)(b(b+1)+1)+1 [/texx];

[texx] (3 z (z + 1) + 1) =(b-1)(b(b+1)+1)+1 [/texx]. Despeje. Wolfram.

[texx] b = 1/2^{2/3 }, z = -1/2 [/texx]. Lo cual es imposible.


Si se considera que:

[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx];

[texx] a^3+n^3 = (a+n)^3 - 3na(a+n) [/texx] ;

[texx] a^3+n^3 = (a+n)((a+n)^2 - 3na)[/texx] ;

[texx] a^3+n^3 = (a+n)(a^2+n^2 - na)[/texx] ;

[texx] a^3+n^3 = (a+n)((a-1)a+a+(n-1)n +n - na)[/texx].


Si se supone que [texx] (a+n)=y^3[/texx];

[texx] a^3+n^3 = (y^3)(y^3+(a-1)a+(n-1)n - na)[/texx].

Y que [texx] (y^3+(a-1)a+(n-1)n - na)[/texx] es una potencia de grado tres:

\( (((a+n)+z)^3)=((a+n)^3+a(a-1)+n(n-1)-an) \);

Si hacemos el despeje de a y n, Wolfram, vemos que las dos variables tienen un factor común. Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx], extraemos [texx] a^3, (a+n)^3 [/texx] ;

Estás analizando esta ecuación:

\( a^3+w^3=(a+n)^3 \)

De donde:

\( w^3=3na(a+n)+n^3 \)

[texx] 3na(a+n)+n^3 [/texx] (*).

Si [texx] 3 a n (a + n) + n^3 [/texx] es igual a [texx] n^3 x^3 [/texx] en la ecuación [texx] 3 a n (a + n) [/texx] debe haber un [texx] n^3 [/texx], es decir:

[texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (n=a).

[texx] 3 n^2 (2n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx];

[texx] 6n^3 + n^3 = n^3 x^3 [/texx];

[texx] 7 n^3 = n^3 x^3 [/texx].


Aunque [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (zn=a)). Porque de [texx] 3 a n (a + n) [/texx] hay que obtener un [texx] n^3 [/texx].

Entonces esto es cierto que si tu supones que \( w \) es múltiplo de \( n \) (que es lo que dices, cuando afirmas que \( w^3=3an(a+n)+n^3=n^3x^3 \)) entonces \( a \) es múltiplo de \( n \). Y en ese caso y sin tanta historia a,w,a+n tendrían un factor en común.

Lo que pasa es que NO es cierto que \( w^3=3an(a+n)+n^3 \) implique que \( w \) sea múltiplo de \( n \). Por ejemplo podría ser \( n=p^3 \) y \( w \) múltiplo de \( p \).

[texx] (3 z (z + 1) + 1) =(b-1)(b(b+1)+1)+1 [/texx]. Despeje. Wolfram.

[texx] b = 1/2^{2/3 }, z = -1/2 [/texx]. Lo cual es imposible.

No se que has hecho en Wólfram. Pero esa ecuación es simplemente:

\( 3z(z+1)+1=b^3 \)

y es FALSO que las únicas soluciones sean las que has escrito.

Spoiler

Te empeñas en reescribir \( b^3 \) como \( (b-1)(b(b+1)+1)+1 \) y eso, hasta que se demuestre lo contrario, es una absoluta inutilidad que sólo te complica el aspecto de las ecuaciones.

[cerrar]

Si se supone que [texx] (a+n)=y^3[/texx];

¿A qué viene suponer eso?.

Y que [texx] (y^3+(a-1)a+(n-1)n - na)[/texx] es una potencia de grado tres:

¿A qué viene suponer eso?.

\( (((a+n)+z)^3)=((a+n)^3+a(a-1)+n(n-1)-an) \);

Si hacemos el despeje de a y n, Wolfram, vemos que las dos variables tienen un factor común. Cierto?

No lo veo. ¿Exactamente qué despeje has hecho y cómo ves que tienen factor común alguno?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Se trata de que haya un factor común, múltiplo o no. Tal que la conjetura.

Si [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (zn=a)). Porque de [texx] 3 a n (a + n) [/texx] hay que obtener un [texx] n^3 [/texx].

Insertemos la ecuación inicial:

[texx] (an)^3+3nan(an+n)+n^3 = (an+n)^3 [/texx].

[texx] (an)^3+ 3nan(an+n)+n^3[/texx]  es igual a una potencia con un factor común n, [texx]  (an+n)^3 [/texx]. Todas las potencias tienen el factor común n, cumpliéndose la conjetura. Cierto??

Intentar demostrar el UTF complica todo bastante más.

Si se supone que:

[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx];

[texx] a^3+n^3 = (a+n)^3 - 3na(a+n) [/texx] ;

[texx] a^3+n^3 = (a+n)((a+n)^2 - 3na)[/texx] ;

Y que;

[texx] a^3+n^3 = x^3·y^3[/texx] [texx] (x^3=a+n) [/texx];

[texx] a^3+n^3 = (x^3)(x^6 - 3na) [/texx].

x es par porque es la suma de dos números impares coprimos.

[texx] a^3+n^3 = (x^3)((x-1)x^4(x+1)+x^4 - 3na) [/texx];

[texx] ((x-1)x^4(x+1)+x^4 - 3na) [/texx].

La suma de [texx] x^4 - 3na [/texx] es un número impar. Se necesita un número par para que su suma con [texx] (x-1)x^4(x+1) [/texx] sea potencia. Es decir, que cumpla con [texx] ((x-1)x^n(x+1)+x^n ) [/texx]  Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Gonzo: en mi mensaje anterior fui citando fragmentos de tu mensaje (hasta seis) y comentándolos uno por uno. Respondes con un nuevo mensaje en el que pareciera que no has leído el mío, o como si no lo hubieras hecho. Repites algunas cosas sin explícitamente hacer una contraréplica o crítica a las objeciones que le puse.

Así no hay manera de debatir y avanzar.

Si [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (zn=a)). Porque de [texx] 3 a n (a + n) [/texx] hay que obtener un [texx] n^3 [/texx].

Ya te dije que del hecho de que \( 3an(a+n)+n^3 \) sea un un cubo no se deduce que \( 3an(a+n)+n^3 \)  tenga que ser múpltiplo de \( n^3 \); sólo que es múltiplo de \( n \). Te lo dije aquí:

Lo que pasa es que NO es cierto que \( w^3=3an(a+n)+n^3 \) implique que \( w \) sea múltiplo de \( n \). Por ejemplo podría ser \( n=p^3 \) y \( w \) múltiplo de \( p \).

Si no entiendes lo que digo, o crees que no es cierto o lo que sea indícalo. Pero si te limitas a repetir la misma afirmación que ya había hecho sin más... es desesperante.

x es par porque es la suma de dos números impares coprimos.

[texx] a^3+n^3 = (x^3)((x-1)x^4(x+1)+x^4 - 3na) [/texx];

[texx] ((x-1)x^4(x+1)+x^4 - 3na) [/texx].

La suma de [texx] x^4 - 3na [/texx] es un número impar. Se necesita un número par para que su suma con [texx] (x-1)x^4(x+1) [/texx] sea potencia. Es decir, que cumpla con [texx] ((x-1)x^n(x+1)+x^n ) [/texx]  Cierto?

No. No es cierto. Supuesto que \( x \) es par es falso que para que

\( ((x-1)x^4(x+1)+x^4 - 3na)  \)

sea una potencia se necesita que \( x^4-3na \) sea par.

Por ejemplo si \( x=8 \), \( n=189 \), \( a=373 \):

\( ((x-1)^4(x+1)+x^4-3na=x^6-3na=8^6-3\cdot 189\cdot 373=50653=37^3 \)

y \( x^4-3na \) es impar.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Luis: creo que entendí:

[texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx];

[texx] n(3a(a+n)+n^2) = p^3(3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx]; (a y n son dos coprimos impares).

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+2·3·s+p^6-2·3·s)) [/texx];

[texx] w^3 = ((w-1)w(w+1)+w)) [/texx];

[texx] 3a(a+p^3)+2·3·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-2·3·s=w [/texx];

UTF

[texx] s = 1/6 ((-3 a^2 - 3 a p^3 - p^6)^{1/3} + p^6), w = -(-3 a^2 - 3 a p^3 - p^6)^{1/3} [/texx].
w es una raíz con números negativos, eso implica que no hay soluciones con números naturales. Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx];

[texx] n(3a(a+n)+n^2) = p^3(3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx]; (a y n son dos coprimos impares).

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+2·3·s+p^6-2·3·s)) [/texx];

[texx] w^3 = ((w-1)w(w+1)+w)) [/texx];

¡Y dale con usar esa igualdad que marco en rojo, qué es verdadera pero TRIVIAL e INÚTIL para todo lo qué haces!.

[texx] 3a(a+p^3)+2·3·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-2·3·s=w [/texx];

UTF

[texx] s = 1/6 ((-3 a^2 - 3 a p^3 - p^6)^{1/3} + p^6), w = -(-3 a^2 - 3 a p^3 - p^6)^{1/3} [/texx].
w es una raíz con números negativos, eso implica que no hay soluciones con números naturales. Cierto?

FALSO. Lo que tienes ahí es que \( w \) es menos la raíz cúbica de un número negativo y eso puede ser perfectamente un número natural, p.ej: \( -(-27)^{1/3}=-(-3)=3 \).

Es más esa igualdad:

\( w = -(-3 a^2 - 3 a p^3 - p^6)^{1/3} \)

es la misma que esta:

\( w = (3 a^2 + 3 a p^3 + p^6)^{1/3} \)

que se deduce directamente de aquí:

\( w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) \)

sin tanta variable auxiliar, ni tanta identidad superflua y trivial que complica innecesariamente las cosas.

Saludos.

P.D. Constantemente te empeñas en usar identidades y variables auxiliares, para llegar a ecuaciones que trivialmente podrías haber obtenido desde el principio sin semejante palafernaria y de las cuales no se obtiene nada útil. El hecho de las compliques por en medio, parece que te hace pensar que avanzas o que haces maniobras que pueden llevar a algún sitio. Pero al único sitio que te han llevado continuamente es a tu propia confusión.

[Gonzo]

Hola.

[texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx];

[texx] n(3a(a+n)+n^2) = p^3(3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx]; (a y n son dos coprimos impares).

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+6·s+p^6-6·s)) [/texx];

[texx] w^3 = ((w-1)w(w+1)+w)) [/texx];

[texx] 3a(a+p^3)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];

[texx] 6·a((a+p^3)/2)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx] (t=(a+p^3)/2) [/texx];

[texx] 6·a(((a+p^3)/2)+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx]( t=(a+p^3)/2) [/texx];

[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];

[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1)[/texx];

Se divide todo entre w.

UTF

[texx] 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx]; (wolfram despeje de p)

[texx]  6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1)=(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx];

[texx] p = (6 s - w)^{1/6} ; a = -(6 s + w^3 - w)/(6 t) [/texx];



Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

[texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx];

[texx] n(3a(a+n)+n^2) = p^3(3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx]; (a y n son dos coprimos impares).

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];

[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+6·s+p^6-6·s)) [/texx];

[texx] w^3 = ((w-1)w(w+1)+w)) [/texx];

[texx] 3a(a+p^3)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];

[texx] 6·a((a+p^3)/2)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx] (t=(a+p^3)/2) [/texx];

[texx] 6·a(((a+p^3)/2)+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx]( t=(a+p^3)/2) [/texx];

[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];

[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1)[/texx];

Se divide todo entre w.

UTF

[texx] 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx]; (wolfram despeje de p)

[texx]  6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1)=(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx];

[texx] p = (6 s - w)^{1/6} ; a = -(6 s + w^3 - w)/(6 t) [/texx];

Sigues metiendo variables auxiliares e indentidades triviales para llegar a...nada.

No he comprobado al 100% todas las cuentas, pero antes de nada, suponiendo que todo esté bien y llegues a esas fórmulas en rojo. ¿Y bien?¿Qué conclusión pretendes sacar de ahí?¿Para qué sirven?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Si es cierto. ¿Demuestra para ese caso concreto el UTF? Que si, que Wiles ya lo demostro, pero si lo escrito es cierto, lo demuestra?

Mi intención es encontrar una ecuación tal que:

Bc

[texx] 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)^2=(w-1)(w+1)=(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1)  [/texx]; (wolfram despeje de p)

[texx] 6·(a·t+s)/( (2t-a)^3-6·s)^2=(w-1)(w+1)=((2t-a)^3-6·s+1)((2t-a)^3-6·s-1)  [/texx];

[texx] p = w^{1/6} (w^3 - w - 1)^{1/6} ; s = 1/6 w^2 (w^2 - 1)  [/texx].

Aunque para que esas condiciones, wolfran dice que t=0. Por tanto se complica, porque [texx]( t=(a+p^3)/2) [/texx].

Atentamente.