[Gonzo]

Hola.

\(  a(a+1)(a+2) + a(a+1)(a+2) = (2a+2)a(a+2)  \);
\(  a(a+1)(a+2) + (a+1)(a+2)(a+3) = (2a+3)(a (a + 3) + 2)  \);
\(  (a(a+1)(a+2) + (a+2)(a+3)(a+4))= (2a + 4) (a (a + 4) + 6)  \);
\(  a(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)(a+5)) =(2 a + 5) (a (a + 5) + 12)  \);
\(  a (a + 1) (a + 2) + (a + 4) (a + 5) (a + 6) = (2a +6) (a (a + 6) + 20)  \) (iii);
\(  (2a +6) (a (a + 6) + 20)  \) (i);

Mediante la secuencia de ecuaciones, se puede modelizar, estas por medio de:

\( (A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1))  \) (i);

Para modelizar hay que tener en cuenta que:

\(  a(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)(a+5) = (A-1)(A)(A+1) + (B-1)(B)(B+1)  \) en relación a la posición de los números del producto;

\(  (2a+5) (a (a + 5) + 12) = (A+B)((A-1)(B+1) +(A-1)(B-A)(B-A-1)) =(A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1))  \);

Esta es nuestra nueva identidad, \(  (A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1)) +A +B  \) que no es más que \(  A^3+B^3  \). En el marco de la conjetura de Beal, la ecuación es:

\(  A^3+B^3 = x^5 = (A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1) +A +B  \). Se introduce la expresión en https://www.wolframalpha.com. Obteniendo:

\(  {x^5 = A^3 + B^3, B = -A ∨ B = A ∨ (2 - A) B = A - A^2, x^5 = A^4 + (A - 1) B^3 + (A - A^2) B^2 + (2 A^2 - A^3) B}  \) (i).

Si estuviera bien, mediante sumas, creo, que se puede demostrar que la conjetura de Beal es cierta, porque en todas las formas que adopta la ecuación (i) (que puede adoptar la conjetura) está la restricción \(  B = -A ∨ B = A ∨ (2 - A) B = A - A^2  \).

Se sigue, se entiende, hay algún error grueso??

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

\(  a(a+1)(a+2) + a(a+1)(a+2) = (2a+2)a(a+2)  \);
\(  a(a+1)(a+2) + (a+1)(a+2)(a+3) = (2a+3)(a (a + 3) + 2)  \);
\(  (a(a+1)(a+2) + (a+2)(a+3)(a+4))= (2a + 4) (a (a + 4) + 6)  \);
\(  a(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)(a+5)) =(2 a + 5) (a (a + 5) + 12)  \);
\(  a (a + 1) (a + 2) + (a + 4) (a + 5) (a + 6) = (2a +6) (a (a + 6) + 20)  \) (iii);
\(  (2a +6) (a (a + 6) + 20)  \) (i);

Mediante la secuencia de ecuaciones, se puede modelizar, estas por medio de:

\( (A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1))  \) (i);

Para modelizar hay que tener en cuenta que:

\(  a(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)(a+5) = (A-1)(A)(A+1) + (B-1)(B)(B+1)  \) en relación a la posición de los números del producto;

\(  (2a+5) (a (a + 5) + 12) = (A+B)((A-1)(B+1) +(A-1)(B-A)(B-A-1)) =(A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1))  \);

Esta es nuestra nueva identidad, \(  (A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1)) +A +B  \) que no es más que \(  A^3+B^3  \). En el marco de la conjetura de Beal, la ecuación es:

No se de donde te sacas esa expresión; quizá tengas alguna errata. Tal como está NO es \( A^3+B^3 \). Todo lo que haces después por tanto ya no tiene sentido.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Luis, cierto, había una errata. Porque \(  a^3+b^3=(a+b)(a*b+(b-a-1)(b-a+1)+1)  \) (ii).

Aunque.

\( a^3+b^3+3ab=(a+b)^3  \);
\( a^3+b(b^2+3a)=(a+b)^3  \);
\( a^3+c^n(d^n)=(a+b)^3  \); (n es mayor que 3)
\( a^3+(cd)^n=(a+b)^3  \);
\( a^3+(cd)^n+cd^3=(a+b)^3+cd^3  \);
\( a^3+cd^3=(a+b)^3+cd^3-(cd)^n  \); (introducimos los valores \( a^3+cd^3  \) en (ii))
\(  (a+cd)(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \) (i);  (n es por ejemplo 7, cualquier valor entero mayor que 3)

Si introducimos (i) en https://www.wolframalpha.com y se escribe, solve (i) for a, lanza:

\(  a =\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{4 b c^7 d^7 - b^4}- 3 b^2}{6 b}  \).

Entonces a y b tienen un factor común??

Pues creo que no, porque si \( b=c^7  \), entonces:

\(  a = (\sqrt(3) \sqrt{4 b c^7 d^7 - b^4}- 3 b^2)/(((6 c^7))^2)^{1/2}  \);

\(  a = ((3)^{1/2}((4 c^7 c^7 d^7 - b^4)^{1/2}) - 3 b^2)/(6 c^{14})^{1/2}  \);

\(  a = ((3)^{1/2}(4 c^{14} d^7 - b^4)^{1/2}) - 3 b^2)/(6 c^{14})^{1/2}  \);

\(  a =((3)^{1/2}((4 c^{14} d^7)/((6 c^{14})) - b^4/((6 c^{14})))^{1/2}) - (3 b^2)/(6 c^7)  \);

\(  a = ((3)^{1/2}(((4 d^7)/((6)) - b^4/((6 c^{14})))^{1/2}) - (3 b^2)/(6 c^7)  \);

Por lo tanto a no tiene porque tener un factor común con b. Cierto??


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\( a^3+b^3+3ab=(a+b)^3  \);

Esa igualdad es falsa. Sería:

\( a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3  \)

\( a^3+b(b^2+3a)=(a+b)^3  \);
\( a^3+c^n(d^n)=(a+b)^3  \); (n es mayor que 3)
\( a^3+(cd)^n=(a+b)^3  \);
\( a^3+(cd)^n+cd^3=(a+b)^3+cd^3  \);
\( a^3+cd^3=(a+b)^3+cd^3-(cd)^n  \); (introducimos los valores \( a^3+cd^3  \) en (ii))
\(  (a+cd)(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \) (i);  (n es por ejemplo 7, cualquier valor entero mayor que 3)

Si introducimos (i) en https://www.wolframalpha.com y se escribe, solve (i) for a, lanza:

\(  a =\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{4 b c^7 d^7 - b^4}- 3 b^2}{6 b}  \).

Para llegar a esa expresión no hace falta semejante galimatías. Simplemente despejando aquí:

\( a^3+(cd)^n=(a+b)^3  \)   (*)

se obtiene esa fórmula para \( a \) en función de las otras variables.

Entonces a y b tienen un factor común??

No. ¿Por qué había de deducirse tal cosa?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  a^3+(cd)^3=(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \); (respuesta 332) (*)

De \(  a^3+b^3=(a+b)(a*b+(b-a-1)(b-a+1)+1)  \) (**) introducimos en (*) tal que:

\(  (a+cd)x =(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \);(despeje de x)

\(  c d!=0, a + c d!=0, x = (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + c d^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \)


Visto (**) y \(  (a+cd)x  \). En (**) introduzco los valores \(  a, cd  \) siendo;

\( x=(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + (c d)^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \).

Introducimos \( (acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + c d^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \). en wolfram.

En Alternate form assuming a, b, c, d, and n are positive, lanza la siguiente ecuación:

\( c (c^2 - 1) d^3 + (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2)  \). (***).

En el post, respuesta 332, \( d=(b^2+3a(a+b))= (3 a^2 + 3 a b + b^2)  \).

Dividimos (***) por \( d^3  \), \( c (c^2 - 1) + c^n d^{n-3} = b/d^2  \).

b y d deben tener un factor común??

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 Das vueltas en círculo. Complicas las ecuaciones para llegar a otras que son casi idénticas a las iniciales. Aun encima has cometido errores.

Hola.

\(  a^3+(cd)^3=(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \); (respuesta 332) (*)

De \(  a^3+b^3=(a+b)(a*b+(b-a-1)(b-a+1)+1)  \) (**) introducimos en (*) tal que:

\(  (a+cd)x =(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \);(despeje de x)

\(  c d!=0, a + c d!=0, x = (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + c d^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \)


Visto (**) y \(  (a+cd)x  \). En (**) introduzco los valores \(  a, cd  \) siendo;

\( x=(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + (c d)^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \).

Introducimos \( (acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + c d^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \). en wolfram.

En Alternate form assuming a, b, c, d, and n are positive, lanza la siguiente ecuación:

\( c (c^2 - 1) d^3 + (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2)  \). (***).

Revisa las cuentas; porque las dos fórmulas marcadas en rojo NO son equivalentes.

Directamente de:

\(  a^3+(cd)^3=(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \)

o mejor dicho de:

\(  a^3=(a+b)^3-(cd)^n  \)

tienes:

\(  (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2) \)  (#)

En el post, respuesta 332, \( d=(b^2+3a(a+b))= (3 a^2 + 3 a b + b^2)  \).

No sé de donde te sacas que \( d=b^2+3a(a+b). \) Si fuese cierto entonces en (#)

\( c^nd^{n-1}=b \)

y obviamente \( d \) y \( b \) tendrían un factor común (de hecho sería un divisor uno del otro).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)  \);

\(  (a+b)^3=a^3+b(b^2+3a(a+b))  \);

De esta expresión \(  (a+b)^3=a^3+b(b^2+3a(a+b))  \) en concreto de \( b(b^2+3a(a+b))   \) (Luis (\( d^n= b^2+3a(a+b)  \))) propuse que \( (b^2+3a(a+b)) = b^n \). Entonces a y b debería tener un factor común. Aunque Luis, sabiamente, decía que, existía la variante:

\(  (a+b)^3=a^3+b(b^2+3a(a+b)) = a^3+c^n(d^n)  \). Luis decia que en este caso concreto d no tendría por qué tener un factor común con a y b.

Con tiempo y mucha paciencia, encontré, \(  a^3+b^3=(a+b)(a*b+(b-a-1)(b-a+1)+1)  \)(ii).

Pues al lio:

\( a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3  \);
\( a^3+b(b^2+3a(a+b))=(a+b)^3  \);
\( a^3+c^n(d^n)=(a+b)^3  \); (n es mayor que 3)
\( a^3+(cd)^n=(a+b)^3  \);
\( a^3+(cd)^n+(cd)^3=(a+b)^3+(cd)^3  \);
\( a^3+(cd)^3=(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \); (introducimos las variables \( a^3+(cd)^3  \) en (ii)). Es decir, donde, \( a^3+(cd)^3 \)ponemos \(  (a+cd)x  \);
\(  (a+cd)x = (a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \) (i);  (n es cualquier valor entero mayor que 3)

\(  (a+cd)x =(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n  \);(despeje de x)

\(  x = (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + (cd)^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \)

x no es más que, \(  (a*cd+(cd-a-1)(cd-a+1)+1)  \). (En la ecuación (ii) introducimos las variables a, cd.)

Se igualan  las x. Es decir:

\( x=(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + (c d)^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \).


Luis, que no son equivalentes?? A que se refiere??

Introducimos \( (acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + c d^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \). en wolfram.

En Alternate form assuming a, b, c, d, and n are positive, lanza la siguiente ecuación:

\( c (c^2 - 1) d^3 + (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2)  \);

\( c (c^2 - 1) d^3 + (c d)^n = c^n d^n  \);

\( c (c^2 - 1) d^3 = 0  \);

\(  (d^3c^3 - d^3c)  = 0  \);

\(  d^3c^3  = d^3c   \).

Entonces, que interpretación se puede hacer??

Se alcanza una contradicción o es que hay algún error en la ejecución del calculo??

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Con tiempo y mucha paciencia, encontré, \(  a^3+b^3=(a+b)(a*b+(b-a-1)(b-a+1)+1)  \)(ii).

Con todos los respetos; esa es una identidad trivial que no aporta nada interesante. Te empeñas en usarla y lo único que haces es complicar unas cuentas, llegando a otras igualdades a las que podría haber llegado directamente y de manera mucho más rápida.

Se igualan  las x. Es decir:

\( x=(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + (c d)^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \).

Luis, que no son equivalentes?? A que se refiere??

A que tienes una errata y por eso te da un resultado incorrecto.

Introducimos \( (acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + \color{red}c d^3\color{black} - (c d)^n)/(a + c d)  \). en wolfram.

En Alternate form assuming a, b, c, d, and n are positive, lanza la siguiente ecuación:

\( c (c^2 - 1) d^3 + (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2) \)

Le término en rojo debería de ser \( (cd)^3. \)

\(  d^3c^3  = d^3c   \).

Entonces, que interpretación se puede hacer??

Se alcanza una contradicción o es que hay algún error en la ejecución del calculo??[/quote]

La interpretación más obvia: tienes errores (que ya te he indicado).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Cierto.

Si introduzco:

\(  (acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 +( c d)^3 - (c d)^n)/(a + c d)  \)

Lanza:

\(  (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2)  \);

\(  (c d)^n = c^nd^n  \).

No hay contradicción alguna.

Atentamente.

[Gonzo]

Hola.

\( a^3+b^3=(a+b)(ab+(b-a)^2) =(c^5)(ab+(b-a)^2)= (a+b)(d^5)  \);

\(  (ab+(b-a)^2)= (d^5); a^2+b^2-ab= (d^5); a^2+b^2-(d^5) = ab \);

\(  a^2+b^2-(d^5) = ab \);
Si a, b y d, no tienen factores comunes:

Restemos, \(  a^2-(d^5)  \), el resultado, es un número primo o un producto sin \(  a, d  \), entre sus factores, (aunque puede estar b, entre sus factores). Si no esta b, sumamos \(  b^2 \), la suma es un número primo, o un producto de factores, en el que factor b, no estará entre sus factores. Entonces, si a, b y d, no tienen un factor común, (y el resultado de \(  a^2-(d^5)  \), entre sus factores, no esta b) esta igualdad \(  a^2+b^2-(d^5) = ab \), no cumple, cierto??

Aunque si \(  a^2-(d^5)=-bx  \).entonces \( -bx+b^2 = ab \);

\( b(b-x) = ab \);
\( b(b-x) = ab \);
\( (b-x) = a \);
\( b=a+x \).
\( a^3+b^3= a^3+(a+x)^3=(a+a+x)(aax+(a+x-a)^2) = (2a+x)( x a^2+(x)^2)   \);
\( a^3+(a+x)^3 = x(2a+x)(a^2+x)   \);
\( a^3+a^3+3ax(a+x)+x^3= x(2a+x)(a^2+x)   \);
\( 2a^3+3ax(a+x)+x^3= x(2a+x)(a^2+x)   \);
\( 2a^3= x(2a+x)(a^2+x)-3ax(a+x)-x^3   \);
\(   x(2a+x)(a^2+x)-3ax(a+x)-x^3-2a^3=0   \);

Si se despeja x con wólfram, tiene un factor común con a. Cierto??

Atentamente.