Hola
\( A^x +B^y = C^z \). Siendo C un número natural par. A y B son impares.
\( A^x +B^y = (a+b)^z \). a y b son pares o impares los dos.
\( A^x = a^z \).
\( B^y = b^z + (a+b)^z –a^z –b^z \). Deducimos que \( B^y \) es múltiplo de \( b \).(i) Recordemos que \( B^y \) es impar. Entonces \( b \) también es impar.
\( B^y \) es una potencia tal que:
\( B^y = B^{y-2} + (B-1) B^{y-2} (B+1) \). (ii) Por tanto igualo (i) y (ii) tal que:
\( B^{y-2} = b^z - c \) (iii) y \( (B-1) B^{y-2} (B+1) = (a+b)^z –a^z –b^z + c \) (iv).
Observemos la siguiente secuencia (*):
\( (a+b)^3-a^3-b^3 = 3 a b (a + b) \).
\( (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( (a+b)^5-a^5-b^5 = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) \).
\( (a+b)^7-a^7-b^7 = 7 a b (a^5 + 3 a^4 b + 5 a^3 b^2 + 5 a^2 b^3 + 3 a b^4 + b^5) \).
Introduzco \( (B-1) B^{y-2} (B+1) = (a+b)^z –a^z –b^z + c \) (v). Sustituyo la secuencia (*). Consideremos por ejemplo \( (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) + c \). Sustituyo c.
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) + b^z - B^{y-2} \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) + B^{y-2} - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) - B^{y-2}+ b^z \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) + B^{y-2} - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( B^y - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
Hasta aquí nada demasiado importante que objetar, sólo que si \( z=4 \), te queda en realidad:
\( B^y - b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \)
Además que para que llegar a esa ecuación no hacía falta dar tantas vueltas.
Si tienes desde el principio:
\( B^y=(a+b)^4-a^4 \)
Operando:
\( B^y=a^4+2ab(2a^2+3ab+2b^2)+b^4-a^4 \)
\( B^y-b^4=2ab(2a^2+3ab+2b^2) \)
¿Es incorrecto considerar que \( B^y= b^j·m^t \)?
\( b^j·m^t - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \) donde j y t es igual o mayor que y.
Si, es incorrecto. Lo único que sabemos es que \( B^y \) es múltiplo de \( b \), pero no tiene porque ser múltiplo de \( b^j \) con \( j \) mayor o igual que \( y. \)
Esto ya te lo expliqué aquí:
Spoiler
Bien. Partimos de que:
\( A^x+B^y=C^z \)
y con tus restricciones y notación:
\( A^x=a^z,\qquad C^z=(a+b)^z \)
De ahí lo que sabemos es que:
\( B^y=C^z-A^x=(a+b)^z-a^z \)
y que tu escribes sumando y estando un término como:
\( B^y=b^z+(a+b)^z-a^z-b^z \)
Pero de ahí NO se deduce que \( b^z \) es múltiplo de \( B^y \). Lo que se deduce es que \( b \) es un divisor de \( B^y \) o equivalentemente que \( B^y \) es un múltiplo de \( b \), dado que \( (a+b)^z-a^z \) es múltiplo de \( b \):
y otra vez aquí:
De acuedo con Luis, \( B^y \) es múltiplo de \( b \).
Si es múltiplo entonces \( B^y = (b·k·g·…)^y \). ¿Cierto?
FALSO en general.
Por ejemplo \( 6^3 \) es múltiplo de \( 27 \), pero \( 6^3 \) no es igual a \( (27\cdot k)^3 \).
y otra vez más aquí:
Hola
Luis decía que \( B^y \) es múltiplo de b. Pues entonces existirá:
\( B^y = k^yb^y \).
Te acabo de decir que NO es así en mi mensaje anterior y te he puesto un ejemplo:
FALSO en general.
Por ejemplo \( 6^3 \) es múltiplo de \( 27 \), pero \( 6^3 \) no es igual a \( (27\cdot k)^3 \).
Es decir \( B=6 \), \( y=3 \), \( b=27 \) se cumple que \( B^3=6^3=216=27\cdot 8 \) es múltiplo de \( b=27 \), pero no es cierto que \( 6^3=(k^3\cdot 27^3) \) para ningún valor entero de \( k \).
Es decir te he indicado tres veces el error...¡inlcuso con un ejemplo donde falla tu afirmación! y vuelves a insistir una cuarta vez.
Te voy a hacer una serie de preguntar para aclararnos; no son retóricas; eres libre de responder o no a ellas, obviamente. Ahora si no respondes a todas y cada una de ellas de manera los más detallada posible, por mi parte me retiro del debate. Te desearé suerte y hasta otra. Las numero para facilitar que contestes de manera precisa a cada una de ellas.1) ¿Entiendes las objecciones que hago a tus intentos de demostración?.
2) ¿Cuándo no entiendes alguna objección concreta vuelves a preguntarme sobre ella para contraargumentarla o intentar que te la explique mejor?.
3) ¿Has entendido que \( B^y \) múltiplo de \( b \), NO implica que \( B^y \) sea múltiplo de \( b^j \) con \( j>1 \)?.
4) Si no lo has entendio, ¿por qué no me has preguntado de nuevo sobre ese punto o lo has contraargumentado? (me refiero sobre ese punto concreto, no volver a escribir otras cosas).
5) Si lo habías entendido, ¿cómo es posible entonces que reincidas en el error tres veces más?.
Insisto, si pones otra cosa que no sea responder a las preguntas y
nada más, me retiraré del debate.
Saludos.
