Hola.
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \);
Consideremos que \( (a+b)^n = (d-1)(d^n)(d+1) \) (iii);
\( (a+b)^n = d^{n+2} – d^n \);
\( (a+b)^n = (d^2 - 1) d^n \);
Vuelvo a la ecuación inicial:
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \);
\( (a+b)^{n+2} =(d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \); (iii).
Hacemos la suposición de que existe (iv) tal que:
\( d^{n+2} +c =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \); (iv).
Igualo (iii) y (iv) tal que:
\( (a+b)^{n+2} = d^{n+2} +c \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \). (*)
Recordemos que \( (a+b)^n = (d^2 - 1) d^n \).
De (*):
\( d^n = A^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+c = B^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) = C^x \).
Aunque:
\( d^n = A^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1) = B^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) + c = C^x \).
Aunque pueden adoptar más posibles distribuciones, pero, con la condición de que todas las variables tienen un factor común.
De:
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \). (*)
Las variables d, a+b, c todas ellas son múltiplos entre si. Por lo tanto, de (*), cualquier combinación de potencias a modo de conjetura de Beal, cumplirían la conjetura.
Lo que sabes es que a y b tienen factores comunes. Pero eso lo sabes desde el momento que supones que se cumple (ii).
\( (a+b)^3 =a^3+3ab(a+b) +b^3 \).
Centremonos en:
\( 3ab(a+b) +b^3 \) porque los demás miembros son potencias.
Si \( 3ab(a+b) +b^3 \) es potencia, entre los términos de su producto aparecerá b.
\( 3ab(a+b) ± c +b^3 ± c \);
Igualo con \( (b-1)b(b+1) + b^n \) (n ≥ 2). tal que;
\( 3ab(a+b) ± c = (b-1) b^n (b+1) \).(*) donde n ≥ 2.
\( b^3 ± c = b^n; ± c = b^n - b^3 \).(i*)
De (*) hacemos el despeje de c: (suposición n = 2) pude adoptar cualquier entero mayor.
\( ± c = b (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \);
\( ±c = b (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \). (ii*)
Igualo (i*) y (ii*);
\( b^n - b^3 = b (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \);
\( b^{n-1} - b^2 = (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \);
Entonces a y b son múltiplos.
Atentatmente.
