Hola
Gracias a manooooh y a Luis.
Efectivamente es \( c^2(a^n-b^m) \).
Entonces sea \( a^n-b^m=c^f \).
Aunque es totalmente análogo, ahora pones \( a^n-b^m=c^f \) y antes habías puesto (cuando hiciste la pregunta) \( a^n+b^m=c^f \). Es mejor evitar estos cambios para no liarnos.
Intentemos igualar \( c^2(a^n-b^m) = c^{f+2} \) siendo inicialmente a y b coprimos.
Si; ahí comienzas multiplicando \( a^n-b^m=c^f \) a ambos lados por \( c^2 \); con esto introduces una posible solución adicional y trivial que es \( c=0 \).
\( c^2(a^n-b^m) = a^n-b^m +(((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^{1/f}))+1) \).
\( c^{f+2} = c^f + (c-1)c^f(c+1) \).
Igualo:
\( a^n-b^m +(((a^n-b^m)^{1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^{1/f})+1) = c^f + (c-1)c^f(c+1) \);
\( (((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^ {1/f})+1) = (c-1)c^f(c+1) \);
\( (((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^ {1/f})+1) = (c-1) (a^n-b^m) (c+1) \);
Hacemos el despeje en http://www.wolframalpha.com/calculators/equation-solver/
Lanza tres posibles soluciones:
\( a = (b^m)^{1/n} \).
\( a = (b^m + (-c)^f)^ {\color{red}1/f\color{black}} \).
\( a = (b^m + c^f)^ {\color{red}1/f\color{black}} \).
Has copiado mal las dos últimas soluciones; son:
\( a = (b^m + (-c)^f)^ {\color{red}1/n\color{black}} \).
\( a = (b^m + c^f)^ {\color{red}1/n\color{black}} \).
De la primera deducimos que a y b deben tener un factor común. Pero al mismo tiempo implicaría que \( c^f = 0 \). Por lo tanto, ¿podemos interpretar que siendo a y b primos relativos, en este caso concreto es imposible que \( c^2(a^n-b^m) = c^{f+2} \)?
Fíjate que que el Wolfram presente tres soluciones no quiere decir que se den las tres a la vez, sino que sea da una de las tres.
Spoiler
Si el pones al Wolfram que resuelva \( x^2-3x+2=0 \) te saldrá \( x=1 \) y \( x=2 \)pero no quiere decir que \( x \) al mismo tiempo valga \( 1 \) y \( 2 \) (lo cual sería imposible) sino que son dos valores distintos de \( x \) que resuelven la ecuación.
La primera efectivamente corresponde al caso \( c=0 \), solución que introdujimos artificialmente al multiplicar por \( c^2 \) ambos miembros de la ecuación original.
La segunda es consecuencia de que aparezca un \( c^2 \) al que Wolfram saca la raíz cuadrada y contemple la posibilidad de tomar la raíz negativa.
La tercera:
\( a = (b^m + c^f)^ {\color{red}1/n\color{black}} \).
es simplemente despejar \( a \) en la ecuación original: \( a^n-b^m=c^f \)... ¡para ese viaje no hacía falta alforjas!. Es decir para llegar a esa conclusión bastaba despejar directamente en la ecuación primitiva sin tanto rollo.
¿Conclusión de todo esto? Ninguna.
Saludos.
