[Gonzo]

Hola.


De la entidad (i) a la conjetura de beal, tal que:


\(  a^n + (a-1)a^n(a+1) = a^{n+2}  \) (i);


\(  a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n +a·a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n +(1+a-1)·a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n+1} + a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n+1} = a^{n+2} - a^{n+2} + a^{n+1} +a^n  \);


\(  a^n + a^{n+1} = a^{n+1} +a^n  \);


\(  a^n + a^{n+1} = a^n·(a+1)  \);


\(  a=15; n=8  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 15^8·(15+1)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 15^8·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 15^8·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = (15·15)^4·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 225^4·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 450^4  \);


\(  a^x + b^{y} = c^z  \);


Aunque si hay una potencia de grado 2:


\(  2^7 + 17^3 = 71^2  \) ;


\(  2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 71^{2}  \) ;


\(  2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 70·72+1  \) ;


\(  2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 70·72+1  \) ;


Observemos \(  71^2 = 70·72+1  \) Ecuación (i). 71 y 70, 72 no tienen ningún factor común. En las potencias de 3, 4, 5… no ocurre. De ahí la conjetura de Beal.


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 Nada. Sin sentidos de nuevo.

\(  a^n + (a-1)a^n(a+1) = a^{n+2}  \) (i);


\(  a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n +a·a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n +(1+a-1)·a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n+1} + a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n+1} = a^{n+2} - a^{n+2} + a^{n+1} +a^n  \);


\(  a^n + a^{n+1} = a^{n+1} +a^n  \);


\(  a^n + a^{n+1} = a^n·(a+1)  \);

 Tanto "rollo" para escribir una igualdad obvia que no aporta nada.

\(  a=15; n=8  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 15^8·(15+1)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 15^8·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 15^8·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = (15·15)^4·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 225^4·(2^4)  \);


\(  15^8 + 15^{9} = 450^4  \);

Si; la igualdad obvia se cumple para un ejemplo concreto. 

\(  a^x + b^{y} = c^z  \);

Aunque si hay una potencia de grado 2:

\(  2^7 + 17^3 = 71^2  \) ;

\(  2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 71^{2}  \) ;


\(  2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 70·72+1  \) ;


\(  2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 70·72+1  \) ;


Observemos \(  71^2 = 70·72+1  \) Ecuación (i). 71 y 70, 72 no tienen ningún factor común. En las potencias de 3, 4, 5… no ocurre. De ahí la conjetura de Beal.

Pones un ejemplo de igualdad, bien. Y sacas una afirmación gratuita, en el mejor de los casos una especulación: "de ahí la conjetura de Beal". De hecho con cualquier potencia par puedes escribirse \( a^{2n}=(a^{n}-1)(a^n+1)+1 \).

Nada útil.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  a^{2·n} = (a^n+1)(a^n-1)+1= a^{2·n} – 1+1 = a^{2·n} ; \)


\(  a^{2·n} = a·a^{2·n-1} =(1+a-1) a^{2·n-1} = a^{2·n-1} + a^{2·n} - a^{2·n-1} ;  \)


\(  a^{2·n} = a·a^{2·n-1} =(1+a-1) a^{2·n-1} = a^{2·n-1} + (a - 1) a^{2·n-1} ;  \)


\(  a=2, n=2 \); \(  2^4 = 2^3 + 2^3 \).


\(  a=33, n=3 \); \(  33^6 = 33^5+ 32·33^5= 33^5 + 66^5  \).


Quizas hayan más ejemplos con \(  a^{2·n} = a^{2·n-1} + (a - 1) a^{2·n-1} ;  \). Es obvio que en este caso concreto todas las bases tendrán un número entero en común.

Que si que \(  a^{2·n} = (a^n+1)(a^n-1)+1= a^{2·n} – 1+1 = a^{2·n} ; \) pero también puede expresarse:

\(  a^{2·n} = a^{2n-2} + (a-1)a^{2n-2}(a+1) ; \)


\(  a^{2·n} = a^{2(n-1)} + (a-1)a^{2(n-1)}(a+1).  \)


Por lo tanto, si existe potencia tal que (arriba he indicado dos ejemplos):


 \(  a^{2·n} = (a^n+1)(a^n-1)+1 (ii)= a^{2n-2} + (a-1)a^{2n-2}(a+1) (iii), \) las 3 potencias tienen en sus bases un entero en común. Porque si es potencia y cumple conjetura, entonces cumplen con (ii) y (iii).

Aunque:

\(  a^2 = (a+1)(a-1)+1= a^2-1+1 = a^2 \)

En este caso concreto, puede o no tener factor común.


Excluimos, en principio el grado 2 y centrémonos en 3, 4, 5…

\(  a^n + (a-1)a^n(a+1) = a^{n+2}  \) (i);


\(  a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n +a·a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n +(1+a-1)·a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n+1} +a·a^{n+1} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n+1} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \) (iv);


Juguemos con todas las potencias de (iv) para obtener la ecuación de la conjetura. Las tres bases tendrán el factor común a. De (iv) podemos obtener todos los ejemplos que econtramos en el enlace:


http://durangobill.com/Beals24simple.txt


Atentamente.

[Gonzo]

Hola.


¿Que ocurre si intento obtener el UTF?


\(  a^n + a^{n+1} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + (1+a-1) a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n} + a^{n+1} - a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + a^{n} = a^{n+2} - a^{n+1} + a^{n} - a^{n+2} + a^{n+1} + a^n  \);


\(  a^n + a^{n} = + a^{n} + a^n  \);


\(  a^n + a^{n} = 2a^{n}  \).


Reafirma lo dicho por Fermat, Wiles, Mente Oscura y demás matemáticos.


Aunque \(  a^n + a^{n} = 2a^{n}; 2^3+2^3=2^4  \). No coincidiendo los exponentes por lo tanto no es un contraejemplo al UTF.


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sobre los dos últimos mensajes poco que decir; en el mejor de los casos se puede interpretar como situaciones particulares triviales, que poco o nada aportan a un estudio general de la conjetura de Beal o del Teorema de Fermat.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Sobre los dos últimos mensajes poco que decir; en el mejor de los casos se puede interpretar como situaciones particulares triviales, que poco o nada aportan a un estudio general de la conjetura de Beal o del Teorema de Fermat.

¿Por qué dice que poco o nada aportan a un estudio general?


Toda potencia esta incluida en la ecuación (i).


 \(  a^n + a^{n+1} +a·a^{n+1} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \) (i);


No conozco ningun ejemplo de los indicados en el txt de Durango Bill que no cumplan con:


\(  a^n + a^{n} + a^{n+1} - a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \) (i);


Luis hay infinitas soluciones, con infinitas disposiciones, siendo n variable infinita, pero todas las soluciones se agrupan en (i).


\(  a^n + a^{n}, a^n + a^{n+2}, a^{n+1} + a^{n+2} …   \)


Ademas si todas se agrupan en (i) las tres variables de la conjetura poseen la variable a.


Haber, ¿en que me equivoco esta vez?


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Por qué dice que poco o nada aportan a un estudio general?

Es que eres tu quien debe de responder a la pregunta opuesta. ¿Por qué dices que aportan algo a un estudio general? Y responderla equivale a explicar claramente como relacionas lo que escribes con una ecuación general de la forma \( a^x + b^{y} = c^z \). Hasta ahora al respecto sólo has puesto trivialidades o sin sentidos.

Toda potencia esta incluida en la ecuación (i).

 \(  a^n + a^{n+1} +a·a^{n+1} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \) (i);

La ecuación (i) es una identidad: eso quieres decir que es una ecuación que se cumple siempre, para cualquier valor de \( a \). Es correcta, pero inutil.

No conozco ningún ejemplo de los indicados en el txt de Durango Bill que no cumplan con:

\(  a^n + a^{n} + a^{n+1} - a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \) (i);

1) No sé que quiere decir que un tal ejemplo cumpla con esa ecuación. Por ejemplo, ¿qué quiere decir que:

\( 762^3+127^4 =889^3 \)

cumpla la ecuación (i)?

2) En el supuesto de que fueses capaz de encajar una lista de ejemplos en un cierto formato, exactamente ¿cómo ayuda eso a probar la imposibilidad de \( a^x + b^{y} = c^z \) con las variables coprimas?.

Luis hay infinitas soluciones, con infinitas disposiciones, siendo n variable infinita, pero todas las soluciones se agrupan en (i).

No sé que significa "variable infinita". No sé que quiere decir que una solución (o todas) se agrupan en (i).

\(  a^n + a^{n}, a^n + a^{n+2}, a^{n+1} + a^{n+2} …   \)

Ademas si todas se agrupan en (i) las tres variables de la conjetura poseen la variable a.

No sé que significa que una variable posea otra.

Haber, ¿en que me equivoco esta vez?

No es tanto que te equivoques, sino que pones ecuaciones triviales cuya utilidad para ayudar resolver la conjetura de Beal está a una distancia casi infinita de ser justificada. Y también: "A ver,...."

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  a^n + (a-1)a^n(a+1) = a^{n+2}  \) (i);


\(  a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + (a^2 - 1) a^n = a^{n+2}  \);


Añado d natural cooprimo con a.


\(  a^n + (a^2 - 1) a^n +d = a^{n+2}+d  \);


I) \(  a^n = a^x.  \)


II). \(  (a^2 - 1) a^n +d = b^y  \)


III). \(  a^{n+2} +d = z^y  \)


Toda potencia por ser potencia cumple con (i). Por tanto:


III). \(  a^{n+2} + d = z^y; a^{n+2} +(a-1)·a^{n+2} (a+1) = a^{n+4}  \).


No cumple, porque para cumplirse implicaría que d y a tienen un factor común que se contradice con que d sea coprimo con a.


Veamos con.


\(  a^n+d + (a^2 - 1) a^n -d = a^{n+2}  \);


I) \(  a^n +d = k^x.  \)


II). \(  (a^2 - 1) a^n -d = b^y  \)


III). \(  a^{n+2} = z^y  \)


I) \(  a^n +d = k^x.  \)


Toda potencia por ser potencia cumple con (i). Por tanto:


III). \(  a^n +d = k^x; a^{n} +(a-1)·a^{n} (a+1) = a^{n+2}  \).


No cumple, porque para cumplirse implicaría que d y a tienen un factor común que se contradice con que d sea coprimo con a.
 

Para que cumple la conjetura d tiene un factor común con a que se contradice con que sean coprimos.


Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

\(  a^n + (a-1)a^n(a+1) = a^{n+2}  \) (i);


\(  a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2}  \);


\(  a^n + (a^2 - 1) a^n = a^{n+2}  \);


Añado d natural cooprimo con a.


\(  a^n + (a^2 - 1) a^n +d = a^{n+2}+d  \);


I) \(  a^n = a^x.  \)


II). \(  (a^2 - 1) a^n +d = b^y  \)


III). \(  a^{n+2} +d = z^y  \)

Hasta aquí una serie de identidades triviales y de ecuaciones que escoges. Nada que decir.

Toda potencia por ser potencia cumple con (i). Por tanto:


III). \( \color{blue} a^{n+2} + d = z^y\color{black}; \color{red}a^{n+2} +(a-1)·a^{n+2} (a+1) = a^{n+4}\color{black}  \).

Aquí ya no se entiende que quieres decir. Se intuye que tratas de establecer alguna relación entre la ecuación azul y la roja. Uno sospecha (y mal síntoma que uno tenga que adivinar lo que quieres decir) que pretendes afirmar que de todo lo dicho puedes afirmar que:

\( d=(a-1)·a^{n+2} (a+1) \) y \( z^y=a^{n+4} \)

Pero no hay ningún motivo que justifique que necesariamente se den esas relaciones. De hecho no se darán en general.

Por ejemplo \( a=3 \), \( n=4 \), \( d=2396 \), \( z=y=5 \):

\( 3^{4+2}+2396=5^5 \)

Y si por el contrario quieres decir que precisamente no tienen porque relacionarse en nada ambas ecuaciones, entonces tampoco estamos obteniendo ninguna conclusión útil.

No cumple, porque para cumplirse implicaría que d y a tienen un factor común que se contradice con que d sea coprimo con a.

¿No cumple, el qué? ¿Qué la ecuación azul no se ajusta a la roja? Desde luego. ¿Y qué se supone que se concluye de ahí?..¡Nada!.

Veamos con.


\(  a^n+d + (a^2 - 1) a^n -d = a^{n+2}  \);


I) \(  a^n +d = k^x.  \)


II). \(  (a^2 - 1) a^n -d = b^y  \)


III). \(  a^{n+2} = z^y  \)


I) \(  a^n +d = k^x.  \)


Toda potencia por ser potencia cumple con (i). Por tanto:


III). \(  a^n +d = k^x; a^{n} +(a-1)·a^{n} (a+1) = a^{n+2}  \).


No cumple, porque para cumplirse implicaría que d y a tienen un factor común que se contradice con que d sea coprimo con a.
 

Para que cumple la conjetura d tiene un factor común con a que se contradice con que sean coprimos.

Exactamente la misma crítica del primer caso.

Saludos.

P.D. Sigues ignorando mis respuestas. Tu reacción más común a ellas es reescribir las cosas cometiendo los mismos errores. Pero apenas alusiones o contrareplicas a nada de lo que te indico. Por ejemplo no has respondido a esto:

No conozco ningún ejemplo de los indicados en el txt de Durango Bill que no cumplan con:

\(  a^n + a^{n} + a^{n+1} - a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2}  \) (i);

1) No sé que quiere decir que un tal ejemplo cumpla con esa ecuación. Por ejemplo, ¿qué quiere decir que:

\( 762^3+127^4 =889^3 \)

cumpla la ecuación (i)?

[Gonzo]

Hola.


\(  762^3 + 127^4 = 889^3  \); \(  (2·3·127)^3 + 127^4 = (7·127)^3  \); \(  (2·3·127)^3 + 127^4 = (762+127)^3  \).


Por lo tanto:


\(  a^3 + b^4 = (a+b)^3  \);


\(  (a+b)^3 = a^3+3ab(a+b)+b^3 \);


\(  a^3 \) es potencia, pues veamos que ocurre con \(  3ab(a+b)+b^3 \).


En este caso concreto \(  3ab(a+b)+b^3 =b^4 \).


Recordemos:


\(  α^{n+2} = α^n+ (α-1)·α^n·(α+1);  \)


\(  α^{n+2} = α^{n+1}- α^{n+1}+α^n+ (α-1)·α^n·(α+1);  \)


\(  α^{n+2} = α^{n+1}- α^{n+1}+α^n+ (α-1)·α^n·(α+1);  \)


\(  α^{n+2} = α^{n+1}+α^n(-α+1+(α-1)·(α+1);  \)


En este caso concreto:


\(  b^4 = b^3+(b^2)(-b+1+(b-1)·(b+1);  \)


Igualamos con \(  3ab(a+b)+b^3 =b^4 \).


\(  3ab(a+b)+b^3 = b^3+(b^2)(-b+1+(b-1)·(b+1);  \)


\(  3ab(a+b) = (b^2)(-b+1+(b-1)·(b+1));  \)


\(  a = 1/6 (sqrt(3) sqrt(b^2 (4 b - 1)) - 3 b)  \) (i)


Valores que cumplen con (i), \(  (a, b), (7, 7), (38, 19), (111, 37), (244, 61), …  \).


Que si que no demuestra que a y b deben tener un factor común. Aunque:


\(  3ab(a+b) = (b^2)(-b+1+(b-1)·(b+1));  \) (ii)


\(  3ab(a+b) = (b^2)(-b+b^2);  \) (ii)


Observemos (ii) si a y b no tienen un factor común entonces el 3 estará multiplicado por 3, 2 ó 1 número/os  coprimo/os entre ellos, es decir:


\(  3ab(a+b)   \)


\(  3·2·5·(7)   \); \(  3·3·5·(8)   \); \(  3·2·7·(9) = 3^3(14)  \).
 

Este caso concreto \(  3·2·7·(9) = 3^3(14)  \) es muy parecido a (ii) con la diferencia que el 14 debería un múltiplo de 3, es decir:
 

\(  3ab(a+b) = (b^2)(-b+b^2);  \) (ii)


Es decir, la suma de \( a+b  \) tiene que tener un factor común con \(  3ab \). Recordemos que la suma de dos números primos relativos es un tercero sin ningún factor común con los dos iniciales.

Por lo tanto a y b deben tener un factor común. ¿Cierto?


Atentamente.