Hola
\( k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 \). Suponiendo que la expresión es igual a:
\( (k + b)^{2n} \).
\( k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 = (k + b)^{2n} \). Para \( n = 2 \);
\( k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = (k + b)^{4} \);
\( k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = k^4 + \color{red}4\color{black}kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 \). Simplifico y agrupo:
Ese \( 4 \) debe de ser un \( 2 \).
\( 3ak^2 + 3a^2 = 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 \);
\( 3ak^2 - 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) = + b^4 - 3a^2 \);
\( k( 3ak - 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) = + b^4 - 3a^2 \); Introduzco dos condiciones.
\( ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) \) y \( b^4 > 3a^2 \). ¿Cierto?
¿Estas dos condiciones son necesarias?
No, no lo son en absoluto. Lo único que sabemos es que:
\( 3ak - 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2) \) y \( + b^4 - 3a^2 \)
tienen el mismo signo: en principio pueden ser ambos negativos o ambos positivos. (*)
\( ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) \) despejo a:
\( a> \displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k } \)
Dicha a si la introduzco en \( b^4 > 3a^2 \). Recordemos segunda condición.
\( b^4 > 3(\displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k })^2 \). Opero:
\( 3b^2k^2 > 16(2b^2+3bk+2k^2)^2 \). Dicha afirmación, ¿es una contradicción?
Puede verse y aun corrigiendo el coeficiente que te dije al principio que esa desigualdad es imposible; pero con eso sólo se deduce que en (*) son ambos negativos.
Saludos.
