Hola.
[texx] (a+p^3)^3=a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 = 3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 =p^3 (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx];
[texx]·w^3 = (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx];
Sea la entidad (para este caso concreto a, p y w son tres números impares coprimos):
[texx]· w^3 = (w-1)w(w+1)+w=(2y)(2y+1)(2(y+1))+(2y+1)= =(4y)(2y+1)((y+1))+(2y+1) [/texx].
Recordemos que en todos los productos de tres números consecutivos, [texx]· 2·3·4, 3·4·5, …, (w-1)w(w+1) [/texx] habrá entre sus factores un 6. Es decir:
[texx] (w-1)w(w+1) =(2y)(2y+1)(2(y+1))= 2·3·(y(2y+1)(2(y+1))/3) = 6·(y(2y+1)(2(y+1))/3) [/texx].
De [texx]·w^3 = (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx] (*) busquemos [texx]·(w-1)w(w+1), w [/texx].
[texx]·(w-1)w(w+1) =(2y)(2y+1)(2(y+1))= (3a·(a+p^3)+ 6·s; w= p^6-6s[/texx].
Entre los factores del producto de [texx] 3a·(a+p^3)[/texx] hay un 6 porque la suma de a y p (dos números impares coprimos es un número par), en consecuencia:
[texx]·(w-1)w(w+1) = (3a·(a+p^3)+ 6·s[/texx] si [texx]·(w-1)w(w+1) [/texx] entre sus factores hay un 6, si en [texx] 3a·(a+p^3)[/texx] hay un 6 entre sus factores, forzosamente lo que sumemos, en este caso 6s, forzosamente debe tener un 6. Entonces podemos rescribir:
[texx] (3a·(a+p^3)+ 6·s[/texx] tal que [texx] 6(a·((a+p^3)/2)+s) [/texx]. Esta última es más restrictiva, por ejemplo si [texx] a=3, p=8 [/texx] no cumpliría, no seria un número entero. Aunque con la primera ecuación si que cumpliría. Por lo tanto:
[texx] (w-1)·w·(w+1) = 6(a·((a+p^3)/2)+s)= 4y(2y+1)(y+1); w = p^6-6s[/texx].
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28w-1%29%C2%B7w%C2%B7%28w%2B1%29+%3D+6%28a%C2%B7%28%28a%2Bp%5E3%29%2F2%29%2Bs%29%3D+4y%282y%2B1%29%28y%2B1%29%3B+w+%3D+p%5E6-6s%3B+p%3E0%3B+y%3E0%3B+a%3E0%3B+w%3E0+for+yEntre las soluciones no hay solución entera. El rango de las variables no son enteras o hay raíces cuadradas de números negativos. Cierto??
Atentamente.