Entonces todas las potencias deben tener conforme la Ecuación 8 un factor común (potencias mayores que tres). Si igualamos A^y +(A^y+y·A^(y-1)·b+…+y·A·b^(y-1)+b^y) a cualquier potencia mayor que dos (se sobre. Esto es Equación 6, 7 o 8. Entonces despejamos b^y y obtendremos que b necesariamente debe tener un factor común.
Para empezar indicar que (A+b)^3=A^3+3A^2b+3Ab^2+b^3 y de forma general (A+b)^n=A^n+nA^(n-1)b+\ldots+nAb^(n-1)+b^n . Esto no es más que el desarrollo de potencias mediante el Triángulo de Pascal. Si vemos la última expresión, todos los sumandos tienen un factor común, excepto b^n.
En este ejemplo 70^3 + 105^3 = 35^4 ...
Dicho eso, llega el punto crítico. En toda igualdad se puede añadir o extraer todo factor no nulo que se desee manteniendo la veracidad de la igualdad. ¿En que se traduce eso? En que si querías extraer un factor diferente a \( (A+b)^{y-2} \), podías. Desde el principio podías. Ilustro el caso
\( p \left( \frac{A^{y}}{p} + \frac{B^{y}}{p} \right) = A^{y} + B^{y} = C^{y} = \frac{C^{y}}{p} \cdot p \)
Chicos mil gracias. De acuerdo con todo lo dicho.
Imaginemos que la base de II es A* n, [A,n]\in{}N.
Y que la expression I tiene que alcanzar ser potencia. La unica forma es que b tenga un factor comun con A. Cierto?
Hola voy a lanzar un argumento para demostrar que si existiera un contraejemplo (que no lo hay) del último teorema de Fermat (UTF) las tres bases deberian tener un factor común. Básicamente es lo que establece la Conjetura de Beal.
Los números primos son muy interesantes, al igual que la Conjetura de Riemman. Cierto que el 2 y el 3 son los únicos primos que les separa el 1. Pero es lógico, todos los primos son impares, excepto el 2, (si no serian divisibles de dos) por lo tanto no les queda más remedio que crecer a base de números pares. Porque si a un número impar le sumamos 1, automáticamente se convierte en par y ya no es primo.
Expresión I \( A^x +(A^y+yA^{y-1}b+\ldots+yAb^{y-1}+b^y) \)
Expresión II \( (nA)^z = ((nA-1)(nA+1)+1)(nA)^(z-2) \) donde n pertenece a los números enteros positivos.
Si igualamos I y II ...
Dicho Triángulo, muestra de forma fácil, que ningún desarrollo de ninguna potencia, sus coeficientes, mantienen por ellos mismos un factor común.
¿Qué ocurriría si b de la Expresión I adoptara el valor de un número primo. Es decir \( 2^x+(2+5)^y=2^x+(2^y+y2^(y-1)5+\ldots+2\cdot{}5^(y-1)+5^y) \) . Creo que nunca alcanzaría ser una potencia de ningún número entero, no creéis?
En otras palabras, para que I, sea potencia de números enteros mayores que dos, debería ser igual a II. La variable b, conforme Conjetura de Beal, tiene que ser integra. Por lo tanto si b es un número integro, este deberá tener un factor común con A. Oberservemos Expresión III.
Ambas expresiones I y II. Las obtengo al intentar modelizar los valores que cumplen la Conjetura. (http://durangobill.com/Beals22simple.txt). Peter Norving, supongo que tendrá más. Pero sus resultados no son públicos.
La ecuación general es \( A^x+(A+b)^y=(A±c)^z \). Dicha expresión la cumplen todos los valores nombrados. Obviamente A, b y c, tienen un factor común.
La expression III, \( b=((An)^z-A^x)^(1/y)-A \), ¿no demuestra que I y II debén tener un factor común?. Porque cualquier número que obtengamos de dicha expresión que sea entero o integro, tendrá que tener un factor común con A. ¿Cierto? ¿Este razonamiento no demuestra que I y II deben tener un factor común, todos sus sumandos?
Ambas expresiones I y II. Las obtengo al intentar modelizar los valores que cumplen la Conjetura. (http://durangobill.com/Beals22simple.txt). Peter Norving, supongo que tendrá más. Pero sus resultados no son públicos.
La ecuación general es \( A^x+(A+b)^y=(A\pm c)^z \) . Dicha expresión la cumplen todos los valores nombrados. Obviamente A, b y c, tienen un factor común.Efectivamente todos los ejemplos conocidos cumplen la conjetura de Beal sobre el factor primo, si no estaría ya desechada; pero por obvio que parezca estamos en una conjetura.
La expresión III \( b=\big((An)^{z}-A^{x}\big)^{\frac{1}{y}} - A \) ¿no demuestra que I y II deben tener un factor común?. Porque cualquier número que obtengamos de dicha expresión que sea entero o integro, tendrá que tener un factor común con A. ¿Cierto? ¿Este razonamiento no demuestra que I y II deben tener un factor común, todos sus sumandos?
Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.
No sentencié en ningún momento que lo que dije que debería probar (siguiendo su línea de razonamiento) fuera verdad, robinlambadaCreo que no me has entendido. No se trata de sentenciar nada.
Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.
Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.sea correcto.
No sentencié en ningún momento que lo que dije que debería probar (siguiendo su línea de razonamiento) fuera verdad, robinlambada.
Cita de: Gonzo en Hoy a las 20:45:39CitarLa expresión III \( b=\big((An)^{z}-A^{x}\big)^{\frac{1}{y}} - A \) ¿no demuestra que I y II deben tener un factor común?. Porque cualquier número que obtengamos de dicha expresión que sea entero o integro, tendrá que tener un factor común con A. ¿Cierto? ¿Este razonamiento no demuestra que I y II deben tener un factor común, todos sus sumandos?
Por desgracia no. El problema reside en que no hay nada (que no sean ejemplos) que haga de II una ley para la conjetura. Es un poco cíclico: de una conjetura conjeturo algo que confirma la conjetura. En este caso de la conjetura de Beal conjeturas que el cómputo es de la forma \( (nA)^{z} \) para obtener un factor común. Habría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.
No he dicho en mi respuesta de hoy queCitarHabría que probar que para cualquier A,b,x,y se pueden escoger algún n y algún z que forma que I=II.sea correcto.
Verás, robinlambada, la frase que dije es la que dije y la dije avisando de que podía haber fallos porque no daba más de mi. Si de ahí sacas una presunción de mala fe o no es un asunto tuyo que eres el moderador, decidirás en consecuencia y yo no lo rebatiré porque no puedo añadir nada nuevo salvo que lo interpretas como que sabía que era mentira y lo puse en lugar de que no estaba seguro y a pesar de ello lo puse.
Cierto no has dicho que tu afirmación sea cierta, que no lo es, pero das a entender a la gente de buena fe que cuando la dices es por que crees que es cierta, si a sabiendas de que una frase es falsa la pones como afirmación, estás mintiendo deliberadamente, que sinceramente NO creo que sea tu caso, pienso que la creías , por ello la pusiste.
Si consideramos la Conjetura con \( A^x+(A+b)^y \). E8. Dicha expresión y el tercer término de la Conjetura deben cumplir con E4, E5 y E6. Recordemos que todas estas expresiones crecen con E7. Por lo tanto, no es razonable, que el tercer término de la ecuación no este compuesto por A. ¿no creéis? Entonces supongo, que el tercer término es \( (A+c)^z=(Ad)^z \).
Es decir que E8, su suma, tendriamos que obtener un algo que cumpla con la estructura de E4, E5 y E6. De este razonamiento, igualo I y II.
Por lo tanto, no es razonable, que el tercer término de la ecuación no este compuesto por A. ¿no creéis? Entonces supongo, que el tercer término es \( (A+c)^z=(Ad)^z \).
Si consideramos la Conjetura del siguiente modo, \( A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^(y-1)n+\ldots+yAn^(y-1)+n^y \), observamos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común. Por la propiedad distributiva de la multiplicación sabemos que para que todos los sumandos nombrados se unifiquen en un solo producto \( \color{red} (A+c)^z=(Ad)^z\color{black} \) el sumando \( n^y \) debe tener un factor común con todos los demás. Es decir que si no tiene el factor común de A, factor que comparte con todos los demás factores, nunca se podrán agrupar para formar potencia.
Lo dicho solo lo incumplen las potencias de grado dos.
Yo no igualo. Solo digo que la expresión \( A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y \) para que se agrupe en potencia, es necesario que \( n^y \) tenga un factor común con el resto de los sumandos. Propiedad distributiva de la multiplicación.
En referencia a la propiedad distributiva. La Conjetura indica que las tres potencias deben tener un exponente mayor que dos. Por lo tanto \( (A^{z-2}A^2; (A^{z-2}(((A-1)*(A+1)+1)) \). En el caso de que podamos expresar la potencia en forma de dos sumandos, estos sumandos deben tener un factor común.
Porque su suma debe expresarse en una sola potencia \( (A^{z-2}A^2) \). El factor común no necesariamente debe ser A. Pero esta expresión, \( A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y \) (I) tiene que reducirse a un producto de números enteros, es decir a una potencia. Todos los sumandos tienen un factor común que es A o A=factor común (Fc)*número entero.
Dicho de otro modo:
\( Fc^x+Fc^y+y\cdot{}Fc^{y-1}n+\ldots +yFcn^{y-1}+n^y = Fc(Fc^{x-1}+yFc^{y-1}+\ldots +yFcn^{y-1}+yn^{y-1})+n^y \).
Si n no tiene un factor común con Fc, la expresión I no alcanzara ser un producto tal que Fc·número entero y por consecuente una potencia. Recordemos que n^y es el único sumando que puede no tener un factor común con todos los demás sumandos.
Hola
Expresemos la Conjetura con \( A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y \) (I). Entonces \( A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y \) . El sumando \( n^y \) es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto \( n^y \) tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir \( A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) \). Si \( ((n^y)/A) \) (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.
Hola
Expresemos la Conjetura con \( A^x+(A+b)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y \) (I). Entonces \( A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1})+n^y \) . El sumando \( n^y \) es el único que puede no tener un factor común. Recordemos que toda la expresión (I) tiene que representarse mediante un producto, en el caso de que sea potencia. Por lo tanto si la expresamos a modo de producto \( n^y \) tiene un factor común con A. Si n^y no tiene un factor común con los demás sumandos no la podemos expresar en modo de producto y entonces nunca alcanzara ser potencia. Es decir \( A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) \). Si \( ((n^y)/A) \) (II) es un número entero la expresión podrá alcanzar ser un producto de números y por lo tanto puede ser potencia. Veamos que si (I) es potencia (II) tiene que ser igual a un número entero. Recordemos que todos los demás sumandos tienen un factor común. Si (II) no es igual a un número entero. (I) no alcanzara ser potencia. En otras palabras para que se cumpla la Conjetura (II) debe tener un factor común con los demás sumandos de (I) es condición necesaria que no suficiente.
Hola. Pero no veo que aquí \( A(A^{x-1}+A^{y-1}+yA^{y-2}n+\ldots+yn^{y-1}+((n^y)/A)) \), "A" tenga que dividir a \( n^y \) ni nada así, ese sumando será un entero al multiplicar por la distributiva porque "A" se cancela, es como si tienes \( 3(\dfrac{7}{3}) \), tres no tiene ningún factor común con 7, pero esa expresión da un entero al multiplicar. Vamos, si te estoy entendiendo, que no sé.
Saludos.
Efectivamente al dividir el n^y entre A y al mismo tiempo incluirlo en el parentesis multiplicado por A, la resultante es n^y. La cuestión es que si n^y tiene un factor común con los demás sumandos, entonces pudede cumplir conjetura. En caso contrario no la cumplira.
Esto no implica que los fres factores compartan ffactor comun si la conjetura cumple?
\( A^x+(A+n)^y \).
Dicha expresion ha de alcanzar ser un producto, condicion necesaria para llegar a ser potencia.
De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicacion, si solo uno de los sumandos no comparte factor comun, la expresion, toda eĺla no la podremos agrupar en un producto, por lo tanto, la conjetura no cumple.
El argumento es que toda potencia la podemos expresar mediante \( A^n = A^{n-1}(A-1) +\ldots+A^4(A-1)+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A \). Y que con la expresión que mencionamos \( A^x+(A+n)^y= A^x+A^y+yA^{y-1}n+\ldots+yAn^{y-1}+n^y \) observamos que n^y no está multiplicado por A. Por lo tanto podemos deducir que si la expresión alcanza ser potencia n^y comparte factor común.
Y que \( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \) E1 y \( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \) E2. E1 indica que podemos obtener potencias de grado 2, mediante la suma de dos números con o sin factor común. Pero E2 nos indica que la potencias de grado tres (y mayores), si la expresamos en suma de dos números, comparten factor común.
Es lo único que puedo decir.
No. Podemos decirlo, pero no hay ninguna base que sostenga esa afirmación.
No. Lo que llamas E2 no indica que las potencias de grado tres y mayores si la expresamos en suma de dos número compartan factor común.
La base es que todas las potencias son suma de un mismo número.
Por lo tanto no es lógico que todas los sumandos tengan un factor comun menos uno.
CitarNo. Lo que llamas E2 no indica que las potencias de grado tres y mayores si la expresamos en suma de dos número compartan factor común.
Me refiero a suma de potencias.
La base es que todas las potencias son suma de un mismo número. Por lo tanto no es lógico que todas los sumandos tengan un factor comun menos uno.
Sean las siguientes expresiones:
\( A^z=A^{z-n}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=A\cdot{}m \) [1]
donde A, z y m son números enteros. \( A^z=((A-1)(A+1)+1)A^{z-2}=((A-1)(A+1)A^{z-2}+A^{z-2}) \) ahora sumamos y restamos b en los dos sumandos \( ((A-1)(A+1)A^{z-2}+b+A^{z-2}-b) \). Consideremos las dos potencias de forma separada. \( ((A-1)(A+1)A^{z-2}+b) \) simplificamos \( ((A^{z}-A^{z-2}+b) \) [2] recordemos la expresión [1]. Por lo tanto solo consideramos los casos en que [2] es potencia es decir \( ((A^{z}-A^{z-2}+b)=A\cdot{}n \).
Siendo n un número entero. Si despejamos b y es integro, posee un factor común con A.
La siguiente potencia \( A^{z-2}-b =A\cdot{}j \) [3]. Donde j es un número entero. Al igual que la primera solo consideramos los casos en que [3] sea potencia. Si despejamos b también tiene un factor común conforme con la potencia [1]. Entonces A·m= A·n+ A·j.
Desde otra perspectiva. Sea A=B·n donde B y n son coprimos. Y m es un número entero.
\( A^z=A^{z-1}(A-1)+\ldots+A^3(A-1)+A^2(A-1)+A(A-1)+A=B\cdot{}n \)·m [1].
Supongamos que queremos obtener la expresión [1], es decir la potencia mediante \( (Bc)^x+(Bc+t)^y \) [2] donde B, c y t son coprimos. Entonces \( (Bc)^x+(Bc)^y+y((Bc)^{y-1}\cdot{}t+\ldots+y(Bc)t^{y-1}+t^y \). Supongamos que todos los exponentes son mayores que tres, por lo tanto todas las potencias responden a \( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \). Retomemos [2] \( (Bc)^x+(Bc+t)^y=[todos los sumandos con fc]\cdot{}Bc+t^y \). Partíamos de la expresión [1] B·m·n entonces igualamos con [2] y llegamos a una incongruencia ya que B·m·n ≠[todos los sumandos con fc]·Bc+t^y. Porque recordemos que B, n, c y t son coprimos. Y en consecuencia [] Bc+t^y, en este caso, todos los exponentes mayores que dos, nunca alcanzara la expresión B·m·n.
Partes de la igualdad:
\( (Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z \)
y muestras que es imposible que \( t \) y \( B \) sean coprimos. Eso es obvio...
Aunque dices que:CitarPartes de la igualdad:
\( (Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z \)
y muestras que es imposible que \( t \) y \( B \) sean coprimos. Eso es obvio...
Entonces t y B tienen un factor comun para que exista la tercera potencia. Y obviamente tendra un factor comun con t o/y B.
Pero no es ese caso de particular el que realmente queremos probar. Lo que queremos probar, lo que dice la conjetura de Beal, es que si tenemos
\( P^x+Q^t=R^z \)
con exponentes enteros superiores a dos, entonces los tres factores \( P,Q,R \) tienen un divisor común. Y esto ha de demostarse sin suponer que dos de ellos ya tienen el factor común (ya que ese caso es obvio y es el único que estás demostrando en toda tu argumentación).
Sea la siguiente expresión:
\( 2^7+17^3=71^2 \). Recordemos que \( A^n = ((A-1)(A+1)+1)A^{n-2} \). Entonces \( 2^7+17^3=71^2 \) por lo tanto \( (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17 \) sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos \( 16*(2*3+2+17*18+1)+1 \) [1]. Ahora recordemos que \( 17^3=16*17*18+17 \) entonces \( 17^3=16*(17*18+1)+1 \). [2]. Si intentamos obtener la expresión [2] de [1]. Partimos de la expresión [1] \( 16*(17(18+((2*3+2)/17))+1)+1 \). Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 2 y 17 no comparten factor común \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \) no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.
Ahora consideramos las potencias de este tipo \( 11^3+37^3=228^2 \). Entonces \( 10*11*12+11+36*37*38+37 \) sacamos, en la medida de lo posible un factor común y obtenemos \( 12*(10*11+1+3*37*38+3) \) [3]. Ahora recordemos que \( 12^3=11*12*13+12=12*(11*13+1) \) [4]. Si intentamos obtener la expresión [4] de [3]. Partimos de la expresión [3] \( 12(10*11+1+3*37*38+3) \). Igualamos [3]. y [4]. \( 12*(10*11+1+3*37*38+3)=12*(11*13+1) \). Simplificamos \( (10*11+1+3*37*38+3)=(11*13+1) \) entonces \( 11*(10+(3*37*38+3)/11)+1=11*13+1 \) Llegamos a la conclusión que si las bases iníciales 11 y 37 no comparten factor común \( \ldots(3*37*38+3)/11)\ldots \) no obtendremos un número entero y entonces no podremos obtener una potencia de grado mayor que dos.
Este razonamiento expresado de forma genérica, ¿demostraría la conjetura de Beal en el caso de que la tercera potencia sea dos?
¿Qué sentido tienes que diga que eso puede demostrar la conjetuda de Beal en el caso de qué la tercera potencia sea dos, si precisamente la conjetura de Beal se refiere a los casos en los que la tercera potencia NO es dos?.
Además cuando hablas de "obtener [2] de [1]". Eso es una vaguedad. Las expresiones que pones con número concreto son las que son; no sé que se entiende de manera objetiva por obtener una de otra.
Intento demostrar que con dos bases primas, ambas con exponentes mayores que dos, la tercera base solo puede alcanzar ser potencia de dos. Porque si no hay un factor común \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \)en las dos bases iníciales el resultado de esta división no será nunca un número entero y por lo tanto no obtendremos una potencia mayor que dos.
\( 2^7+17^3=71^2 \); \( (2^5)*3+(2^5)+16*17*18+17 \); \( 16*(2*3+2+17*18+1)+1 \). Es lógico pensar que si la suma de ambas potencias alcanzara ser potencia con un exponente mayor que dos esta deberá ser. \( 17^n \). Ya que \( 17^3=16*17*18+17 \); \( 17^3=16*(17*18+1)+1 \). El problema es lo que esta dentro del paréntesis que mientras que ambas bases no compartan un factor común nunca alcanzará ser un número entero. Esto es \( \ldots((2*3+2)/17)\ldots \).
Ejemplos de este tipo, existen pero pocos \( 2^7+17^3=71^2 \). \( 112^3+57^3=1261^2 \). \( 1064^3+305^3=35113^2 \). Más o menos podríamos aplicar la misma sistemática para intentar ilustrar que en este caso, dos potencias con bases primas con exponentes mayores que dos, su resultado nunca alcanzara ser un potencia mayor que dos.
Hola.
Recordemos \( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \) [1] \( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \) [2] y \( A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} \) [3].
A continuación voy sugerir basandome en las expresiones conocidas que más se ajustan a un posible contraejemplo de la Conjetura de Beal. Claro está que todas ellas con un exponente de grado 2.
\( 2^{7} + 17^{3} = 71^{2} \). Dichos números responden [1]. Es decir podemos obtener un factor común de las dos primeras potencias de la forma \( 16*(2*3+2+17*18+1)+1 \). Para que dicha expresión alcanzará [2] entonces implicaría que esta última tendria que ser \( 16*(17*18+1) \). En el caso hipotético que hubiera un contraejemplo el factor común de las dos potencias sería C en este caso 16. Es decir la base de la tercera potencia. Si partimos que las dos potencias iníciales son primos relativos, entonces al obtener el factor común se debería extender a todos los números de la ecuación [2]. Es decir \( 16*(17*18+1) \). Pero dicha estructura no se puede obtener con dos bases primas. Porque la ecuación que obtenemos es \( 16*(2*3+2+17*18+1)+1 \). Por lo tanto el 2*3+2 y el 1 lo impiden. ¿Qué creis?
Hola.
“Sigues con ejemplos con una "estructura" forzada que no tiene porque aparecer en el caso general”. El_manco dígame usted un ejemplo (potencia) que no cumpla con la ecuación [1], [2] y [3].
Recordemos \( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \) [1] \( A^3 = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A \) [2] y \( A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} \) [3].
\( 2^7+17^3=71^2; 112^3+57^3=1261^2; 1064^3+305^3=35113^2; 43^8+96222^3=30042907^2 \).
Es decir que siguen la siguiente sistemática.
Sea A, B, C, D, E números enteros. Y x,y iguales o mayores que 3 y z=2.
\( (2*A)^{x} + (2*B+1)^{3} = (2*C+1)^{2} \);
\( 2*D+1= 2*E+1 \). Observemos que dicha expresión nunca alcanzará la ecuación [2] y [3].
Vamos a suponer que existe un contraejemplo y vamos a intentar encontrarlo (con el patrón de valores conocidos).
\( A^x + B^y = C^z \);
\( ((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((Cn)+ ((Cn-1)^{x-2}) + (Cm) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)+ ((Cm+1)^{y-2}); \);
\( C(((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2))+n[ ]+m[ ] \);
Y aquí llegamos a la contradicción.
Si sacamos un factor común de [4]. \( ((C)^{z-2}) ((C-1) (C+1)+ 1) \) [4].
\( (((Cn-2) ((Cn-1)^{x-2})((n)+ (m) ((Cm+1)^{y-2})((Cm+2)) \neq{} ((C-1) (C+1) \)
\( n[ ]+m[ ] \neq{} 1 \).
Hola.
\( (2*A)^{x} + (2*B+1)^{3} = (2*C+1)^{2} \). Dicha ecuación si la desarrollamos la podemos escribir. \( 2*D+1= 2*E+1 \). Es decir, \( (2*A)^{x} +((DTP)+1)= 2*E+1 \). Siendo DTP el desarrollo de la potencia mediante el triángulo de Pascal (que es un entero multiplicado por dos). Entonces si agrupamos (la suma de las dos potencias inciales) \( 2*D+1 \). Todos los términos no poseen un factor común conforme \( A^n = ((A-1)(A+1)+1)\cdot A^{n-2} \). Por lo tanto, en el mejor de los casos, la suma de las potencias, solo podrá ser potencia de grado dos. Eso implicaría que ningún ejemplo del Tipo 1, su suma, alcance, pueda ser potencia de grado mayor que dos. ¿Se entiende?
Por lo tanto señalamos que si hubiera un contraejemplo este contendría dos bases impares y una par. ¿Cierto?
Aquí nuevamente estás demostrando una cosa que es trivial, obvia, y que no aporta nada.
Partes de la igualdad:
\( (Bc)^x+(Bc+t)^y=(Bn)^z \)
y muestras que es imposible que \( t \) y \( B \) sean coprimos. Eso es obvio y no sirve nada. Está claro que si en la expresión:
\( P^x+Q^t=R^z \)
dos de los sumandos tienen un factor común (en tu caso \( P=BC \) y \( R=BC \) tienen a \( B \) por factor común), el tercero (en tu caso \( Q=Bc+t \)) también tiene ese factor común (en tu caso \( B \)).
Pero no es ese caso de particular el que realmente queremos probar. Lo que queremos probar, lo que dice la conjetura de Beal, es que si tenemos
\( P^x+Q^t=R^z \)
con exponentes enteros superiores a dos, entonces los tres factores \( P,Q,R \) tienen un divisor común. Y esto ha de demostrarse sin suponer que dos de ellos ya tienen el factor común (ya que ese caso es obvio y es el único que estás demostrando en toda tu argumentación).
Ciertamente no creo que exista un contraejemplo. Ya que, solo por estadística ya tendría que haber aparecido, con tanta fuerza bruta aplicada a la ecuación. Solo intento encontrar todas los posibles casos en que podria aparecer un contraejemplo y alcanzar la contradicción que demuestre que no existe.
Pero hay por ahí fuentes de la red que dicen que si el japonés Shinichi Mochizuki ha demostrado la conjetura abc entonces el UTF se podría demostrar de un plumazo y esto demostraría que existen varios contraejemplos a la Conjetura de Beal. Me gustaría saber si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto.
En esta noticia hay algo. http://elpais.com/elpais/2015/12/26/ciencia/1451122090_210428.html
Una puntualización, eso si, no es cierto que la validez de la conjetura abc implique que existen varios contraejemplos de la Conjetura de Beal; lo que implica es que a lo sumo existirían un número finito de contraejemplos de la conjeutra, cosa bien distinta a lo que apuntabas.
HolaCitarUna puntualización, eso si, no es cierto que la validez de la conjetura abc implique que existen varios contraejemplos de la Conjetura de Beal; lo que implica es que a lo sumo existirían un número finito de contraejemplos de la conjeutra, cosa bien distinta a lo que apuntabas.
Dicha afirmación ¿la decis en base a que?
¿En que os basais? (link, razonamiento, deducción, etc).
Hola. Recordemos la siguiente las siguientes expresiones:
\( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \) [Ecuación 1]
\( A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) \) [Ecuación 2]
\( A^4 = ((A-1) A^2 (A+1)+ A^2) \) [Ecuación 3]
\( A^n = ((A-1) A^{n-2} (A+1)+ A^{n-2}) \) [Ecuación 4]
Seguidamente en la Ecuación 2, en adelante E2. \( A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) \). Llamemos \( ((A-1) A (A+1) \) núcleo y a A extremo. A continuación enumeramos distintos casos para intentar demostrar la conjetura.
Caso A^3+B^3= (A+B)^3
Modelicemos la suma \( A^3+B^3 \). Para ello aplicamos la E2. Solo en lo referente al núcleo. Obteniendo.
\( (A-1)A(A+1) + (B-1)B(B+1)= (A+B)(A^2 - AB+B^2-1) \).
\( C^m+ B^n = (A+B)^n \); donde \( C^m = A^n + AB() \).
Si lo enunciado fuera cierto, estaríamos en condiciones de responder a la pregunta inicial.
“Continuas empeñado en explotar unas identidades triviales, que al menos a lo largo de todo este hilo, han demostrado no servir para nada de cara a clarificar o explorar la conjetura de Beal o el Teorema de Fermat.”
“¿A qué viene partir de esa igualdad? Para números positivos esa igualdad nunca se cumple. Pero en cualquier caso no se entiende a que viene. Lo mismo para las expresiones análogas que manejas a continuación.”
“Aquí de repente metes una tercera variable la C, lo cual si podría tener un mínimo de sentido como punto de partida (trivial) para estudiar la conjetura de Beal. Pero lo estropeas en cuanto impones después que \( C^m=A^n+AB() \), con lo cual de nuevo tratas un caso muy particular sin interés..”
“Si lo enunciado fuera cierto, estaríamos en condiciones de responder a la pregunta inicial”.
Cita del Manco.Después la siguiente suma \( A^n + B^n+ AB() \) tiene que agruparse conforme la conjetura, no es que yo imponga, es condición necesaria de la conjetura que en la suma solo se establezcan dos potencias, por lo tanto la variable C es suma de \( A^n + AB() \) o \( B^n+ AB() \) o quizás (ya demasiado rebuscado) parcialmente de A, B e íntegramente de AB(). [/quote]Citar“Aquí de repente metes una tercera variable la C, lo cual si podría tener un mínimo de sentido como punto de partida (trivial) para estudiar la conjetura de Beal. Pero lo estropeas en cuanto impones después que \( C^m=A^n+AB() \), con lo cual de nuevo tratas un caso muy particular sin interés..”
Señor impone la conjetura y los componentes conforme el Triangulo de Pascal. La siguiente igualdad \( A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n \) no es más que la igualdad establecida por Pascal.
\( A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n \); \( A^n + B^n+ AB() =(A+B) (A+B)^{n-1} \);
\( (A^n)/(A+B) + (B^n)/(A+B)+ (AB())/(A+B) = (A+B)^{n-1} \);
Si uno de los sumandos de la izquierda no es un entero. Entonces implicaría que \( (A+B)^{n-1} \) es igual a un número no integro. Por lo tanto vulnera el enunciado de la conjetura. Por lo tanto para no infringir el enunciado inicial de la conjetura, \( (A+B)^{n-1} \) obligatoriamente es igual a un entero. Dicho esto, los sumandos de la izquierda, si o si, deben ser todos igual a un número entero. Obviamente después agruparse para obtener dos potencias, conforme conjetura. Para que esto se produzca, necesariamente, A y B, comparten factor común. ¿Esto demuestra que A, B, C, (conforme conjetura) poseen un factor común?.
Si esto es verdad. Si todas las potencias, conforme conjetura, poseen un factor común, acorde con lo señalado, Entonces Fermat se puede demostrar sencillamente. Esto es.
Toda expresión que se ajuste al UTF puede escribirse de la siguiente forma
\( A^3+(A+n)^3 = 2A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 \).
De acuerdo con la conjetura de Beal, todas las bases poseen un factor común, entonces la segunda potencia la podemos escribir \( (A+n)^3 \). Compartiendo (A+n) un factor común con A.
Fijémonos que el dos inicial \( A^3+(A+n)^3 = [b][u]2[/u][/b]A^3+3nA^2+3n^2A+n^3 \) que impide que esta expresión pueda ser una potencia de grado 3.
Si, la veracidad de la conjetura de Beal implica el Teorema de Fermat.
Pero la justifiación es muy directa. Si el Teorema de Fermat fuese falso, existirían enteros coprimos \( A,B,C \) tales que \( A^n+B^n=C^n \) con \( n>2 \), pero eso contradice directamente la conjetura de Beal.
C agrupa en potencia a A y AB () o B y AB (), en general. Es decir los tres sumandos se agrupan en dos potencias conforme a la conjetura (con las condiciones indicadas en la conjetura).
Respecto Fermat. Si lo dicho es cierto.
Los tres sumandos, las dos potencias iniciales poseen factor común, entonces podemos indicar Fermat de la siguiente manera. A^n+(A+x)^n=(A+y)^n.
Obteniendo una contradiccion. La suma de la primera potencia, en el caso n=3, es igual A^n+A^n+3A^2x+3Ax^2+x^3. Las dos A^n se suman tal que 2A^n. Esta peculiaridad impide obtener el (A+y)^n.
Porque si observamos el triangulo de pascal ninguna potencia posee dicha peculiaridad.
Perdon por la sintaxis, ya que estoy con el movil.
...
\( A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) \).
\( ( A+B)^3-3AB(A+B) = ((A+B)^2-3AB)(A+B) \).
Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. \( ((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m \).
Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. \( ((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m \).Cierto Mente Oscura, estoy suponiendo que, la base de la potencia es \( A+B \). Pero es que dicha potencia, si o si, es la base \( A+B \) o un producto en el que participa \( A+B \).
Eso, es lo que no veo porqué tiene que ser así.
Estás presuponiendo que, la base de la potencia es \( A+B \).
Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. \( ((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m \).Cierto Mente Oscura, estoy suponiendo que, la base de la potencia es \( A+B \). Pero es que dicha potencia, si o si, es la base \( A+B \) o un producto en el que participa \( A+B \).
Eso, es lo que no veo porqué tiene que ser así.
Estás presuponiendo que, la base de la potencia es \( A+B \).
Si vemos la expresión \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \). Si de ella queremos obtener potencia. Entonces, a mi entender, bajo mejor opinión, \( ((A+B)^2-3AB) \) tiene que ser igual (me refiero única y exclusivamente a la base) a \( (A+B)^m \) donde entonces 3AB debería poseer un factor común con (A+B).
Hola:
\( A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 \); \( A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) \).
\( ( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) \).
Manco es aquí donde entra la K. Es decir \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K \).
Viendo esta expresión \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) simplemente indico que si A y B no comparten factor común \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) dicha expresión nunca será igual a una potencia.
Es decir, \( (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3); 5·((25-18)); 5·7 \). Obviamente no forma potencia.
Insisto, para que formen potencia \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \).entonces \( ((A+B)^2 \) y \( 3AB) \) tienen que poseer un factor común. Y la única forma es que A y B tengan factor común.
La expresión \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \), los dos primeros componentes (A+B) siempre tendrá su factor común “obviedad” por lo tanto lo que produce que \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) sea potencia o no, es que \( ((A+B)^2 \) y \( 3AB) \) compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común.
Hola.
Si \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) es potencia, nos encontramos con dos casos:
a. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m \) donde m es igual o mayor que tres.
b. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \) donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.
Cita del Manco.
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para A=14 y B=13 se tiene que: \( (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3 \).
Señor eso es trampa. Porque si \( (A+B)^3 \) por consiguiente 3.14.13. Recordemos el triangulo de pascal.
Suponiendo que \( A \) y \( B \) son coprimos, es decir, sin factores primos comunes, (\( A+B \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos) lo que se deduce de que \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \) sea potencia es que \( C \) se debe de descomponer \( C=C_1C_2 \) en dos factores coprimos \( C_1 \) y \( C_2 \) de manera que:
\( A+B=C_1^m \)
\( (A+B)^2-3AB=C_2^m \)
Hola.
\( A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) \). Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, \( A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) \), para cumplir conjetura, \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.
Nos guste o no nos guste, \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) \) esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor \( (A+B) \) esta.
Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m \).
b. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \).
CitarSuponiendo que \( A \) y \( B \) son coprimos, es decir, sin factores primos comunes, (\( A+B \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos) lo que se deduce de que \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \) sea potencia es que \( C \) se debe de descomponer \( C=C_1C_2 \) en dos factores coprimos \( C_1 \) y \( C_2 \) de manera que:l
\( A+B=C_1^m \)
\( (A+B)^2-3AB=C_2^m \)
Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con \( C^m \)?
Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:
\( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \)
para algún \( C \) sin factores primos comunes con \( A \) y \( B \) y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente \( 3 \) de los dos primeros enteros).
\( A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 \); \( A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) \).
\( ( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) \); \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K \).
Dos casos:
a. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m \) donde m es igual o mayor que tres.
b. \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \) donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo. A+B y K son coprimos ente si. (\( 6144^3+3072^3=192^5=2^6*3 \)).
Consideremos el caso b.
\( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \);
\( ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n) \);
\( (A+B)^2 = ((A+B)^{n-1} (k^n) +3AB \); \( (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} (k^n) =3AB \);
De \( (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} k^n \) saquemos un factor común y el resto llamémosle Z.
\( (3AB) = ((Z(A+B) \); \( Z = (3AB)/ (A+B) \). La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común \( Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m \). No obteniendo el entero deseado.
¿Todo lo dicho no demuestra que en este caso concreto \( A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) \) A y B posen un factor común?
Si se pudiera expresar en forma de quebrado, seria más facil.
Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir \( A,B,C \) sin factores comunes con: \( A^3+B^3=C^m \), porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:
\( A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3 \) con \( (A+B)=C_1^3 \) y \( (A+B)^2-3AB=C_2^3 \) y \( C_1,C_2 \) coprimos
CitarLos casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir \( A,B,C \) sin factores comunes con: \( A^3+B^3=C^m \), porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:
\( A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3 \) con \( (A+B)=C_1^3 \) y \( (A+B)^2-3AB=C_2^3 \) y \( C_1,C_2 \) coprimos
Pero para que eso ocurre implica que A y B sean coprimos, cosa que descartamos con \( (3AB) = ((Z(A+B) \); \( Z = (3AB)/ (A+B) \). La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común \( Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m \). No obteniendo el entero deseado.
Señor si A y B son coprimos Z no es un entero. Dicha acción vulnera la conjetura ya que implicaria que \( (3AB) = (Z(A+B) \); 3AB= número no entero. Por consiguiente A o B, o los dos, no serian integros.
En referencia al caso concreto, me refiero a \( A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) \). Los dos sumandos iniciales con potencias de grado 3 y a su lado todo el pitote que tiene que ser potencia.
i) Dado que \( A \) y \( B \) son coprimos, es fácil ver que \( (A+B) \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos.Cierto. Buscamos valores de A y B que cumplan con \( C_2^m=((A+B)^2-3AB) \). Hallamos los siguientes (tienen que haber más).
ii) Por otro lado por el teorema fundamental de la aritmética \( C \) se puede escribir como producto de primos:
\( C=\underbrace{p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_2}}_{C_1}\underbrace{q_1^{n_1}\ldots q_s^{n_s}}_{C_2} \)
de esos primos unos serán factores de \( (A+B) \) (les he llamado \( p_i \)) y otros de \( ((A+B)^2-3AB) \) (les he llamado \( q_i \))
y por tanto:
De (i) y (ii) se deduce que:
\( (A+B)((A+B)^2-3AB)=C^m=(C_1)^m(C_2)^m \) con \( C_1^m=A+B \) y \( C_2^m=((A+B)^2-3AB) \).
Cierto. Buscamos valores de A y B que cumplan con \( C_2^m=((A+B)^2-3AB) \). Hallamos los siguientes (tienen que haber más).
A, B, \( C_2^m \);
18, 19, \( 7^3 \).
15, 176, \( 13^4 \).
16, 55, \( 7^4 \).
17, 90, \( 19^3 \).
Efectivamente hay valores que cumplen con la primera premisa. Pero, ¿cumplirán con la segunda? \( C_1^m=A+B \).
Con cualquiera de los valores indicados procedemos. Simplificamos la primera premisa. Estos es, \( C_2^m=((A+B)^2-3AB)=A^2+B^2+2AB-3AB= A^2+B^2-AB \). Introducimos uno de los valores. \( 18^2+19^2-18·19 = 7^3 \). De la primera premisa queremos obtener la segunda.
Por lo tanto. \( (18^2)/18+(19^2)/18-18·19/18 = (7^3)/18; 18+(19^2)/18= (7^3)/18 +19 \). Observemos que \( (19^2)/18 \). Nunca será un número entero.
Recordemos que A y B son coprimos. Por lo tanto al intentar obtener de la primera la segunda premisa nos encontramos que \( (B^2)/A \) nunca será un entero, ya era una condición inicial que A y B sean coprimos. Por lo tanto aquí surge la contradicción deseada y por tanto demostrada la Conjetura de Beal en el caso \( A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) \) donde las dos primera potencias son de grado 3 y la tercera de grado mayor que 3.
Intento encontrar la contradicción mediante:
\( C_1^m=A+B \) y \( C_2^m=((A^2+B^2-AB) \).
De la segunda expresión. \( C_2^m=((A^2+B^2-AB); A= (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B \).
De la primera \( C_1^m=A+B \); \( C_1^m-B=A \).
Igualamos. \( (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B = C_1^m-B \). ¿No deducimos de ahí una contradicción? Si A, B y las dos C son todas ellas son enteras y cooprimas.
Cierto no hay contradicción.
Veámoslo desde la siguiente perspectiva.
\( a^2+b^2-ab=C^m \); supongamos que \( b=a+n \).
Recordemos la siguiente entidad. \( (a+n)^2=(a+n+1)·(a+n-1)+1 \). Sustituimos.
\( a^2+(a+n)^2-a(a+n)=C^m \); \( a^2+(a+n+1)·(a+n-1)+1 -a(a+n)=C^m \).
Despejemos la n. \( n=(1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) \).
La segunda condición establecía que \( a+b=T^m \). Sustituimos \( b=a+n \).
\( a+a+n=T^m \); \( 2a+n=T^m \); \( n=T^m-2a \).
Igualemos las dos n.
\( (1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) = T^m-2a \).
Introduzcamos dicha ecuación en https://www.wolframalpha.com/examples/EquationSolving.html y despejemos a.
\( a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} \).
Donde \( C^m = a^2+b^2-ab \) y \( T^m = a+b \). Sustituimos.
\( a= (1/6)·(3(a+b)-((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} \);
\( a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} \);
\( a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4a^2+4b^2-4ab-a^2-b^2-2ab)^{1/2} \);
\( a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(3a^2+3b^2-6ab)^{1/2} \);
\( \color{red}a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})·9·(a^2+b^2-2ab)^{1/2}\color{black} \);
Ahí está el matiz. En realidad la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones:
\( a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} \)
y
\( a= (1/6)·(3T^m+((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} \)
la primera corresponde al caso \( a\leq b \) y la segunda al caso \( a\geq b \).
Si te quedas con la primera (como has hecho) es que suponemos que \( a\leq b \).
No entiendo. Porque al principio establecia que b=a+n. Dicha condición fuerza que a sea menor que b.
Atentamente.
\( 2a+2b-3a= -(a^2+4b^2-4ab)^{1/2} \);
\( \color{red} (2b-a)^{1/2}= -(a^2+4b^2-4ab)\color{black} \). Si resolvemos esta ecuación. \( a=2b \).
Atentamente.
Hola.
\( 2a+2b-3a= -(a^2+4b^2-4ab)^{1/2} \);
\( 2a+2b-3a= (-a^2-4b^2+4ab)^{1/2} \) (i);
Lo que tiene que quedarte claro es que el sistema anterior al menos tiene soluciones reales, sin más que dar valores a nuestro gusto a \( a,b \). Entonces de ese tipo de cuentas que haces donde es indiferente que los números sean reales o enteros no puedes esperar llegar a ninguna conclusión útil.
\( (a+b).((a+b)^{1/m}+n)^m= a^3+b^3 \); (despejamos n)
\( \color{red} n = ((a^3 + b^3)^{1/m} - a (a + b)^{1/m} - b (a + b)^{1/m})/(a + b) \color{black} \);
Sea \( A^n=a+b \) y \( B^n=a^2+b^2-ab \). Siendo A, B, a y b, números enteros todos ellos primos. Todas las variables que a continuación se nombran son siempre números enteros.
Consideremos la ecuación \( A^n=a+b \) tal que \( A^n=(z*m+t)+(z*ñ+j) \); Dicha expresión para ser igual a potencia cumplirá con \( t+j=z*s \).
B=z. Es decir, en el ejemplo 7 y 17 tienen que ser el mismo entero. Obviamente no lo son.
\( A^n=a+b \) .
\( B^n=(a+b)^2-3ab \).
Si a y b son primos:
\( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3 ab (a + b) \). Despejamos ab.
\( ab =((a + b)^3 -a^3-b^3)/3(a+b) \); \( ab =((a^2)b+a(b^2))/(a+b) \).
a*b no será un número entero. Porque la suma de dos números primos no comparte factor común con el producto de aquellos.
Tienes un error de tipeo en la última fracción. El denominador es 5
Hola.
\( A^n=a+b \) .
\( B^n=(a+b)^2-3ab \).
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
\( (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 \);
\( c = (A^6 - 3 a b)^{1/3}- A^3 \). Donde \( A^3=a+b \).
Démosle valores a y b para calcular c, ver archivo adjunto. Y los valores que adopta c son todos negativos.
Atentamente.
\( A^n=a+b \) .
\( B^n=(a+b)^2-3ab \).
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
\( (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 \);
Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:\( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \);
\( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \)
para algún \( C \) sin factores primos comunes con \( A \) y \( B \) y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente \( 3 \) de los dos primeros enteros).
\( A^n=a+b \) .
\( B^n=(a+b)^2-3ab \).
\( A^n< B^n \) .
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
\( B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 \); Porque \( A^n< B^n \). Y por lo tanto c tiene que ser positivo. Pero no.
\( c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3 \). Donde \( A^3=a+b \).
Asignemosle valores a y b para calcular c, ver archivo adjunto. Y los valores que adopta c son todos negativos. Ahí encontramos la contradicción.
Entonces de ese tipo de cuentas que haces donde es indiferente que los números sean reales o enteros no puedes esperar llegar a ninguna conclusión útil.[/b]
Hola. No entiendo su mensaje. ¿c=B-A?
De \( B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 \) despejo \( c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3 \).
¿Porque A no puede estar elevado al cubo?
En la siguiente expresión, \( B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 \), ¿en qué me equivoco?
Adjunto el nuevo Excel, que ratifica mi idea. Es más, en dicho archivo se puede ver, segunda pestaña, que \( c = (A^6 - 3 a b)^{1/3} - A^3 \), c, siempre es negativo.
\( A^n=a+b \) .
\( B^n=(a+b)^2-3ab \).
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
\( (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 \);
Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:\( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \);
\( (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \)
para algún \( C \) sin factores primos comunes con \( A \) y \( B \) y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente \( 3 \) de los dos primeros enteros).
\( (A+B)<((A+B)^2-3AB) \);
\( (A+B)^2-3AB) \) siempre será mayor que \( (A+B) \);
Entonces:
\( A^n=a+b \) .
\( B^n=(a+b)^2-3ab \).
\( A^n< B^n \) .
Consideremos n=3. Y consideremos la siguiente expresión.
\( B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 \); Porque \( A^n< B^n \). Y por lo tanto c tiene que ser positivo.
Entonces de ese tipo de cuentas que haces donde es indiferente que los números sean reales o enteros no puedes esperar llegar a ninguna conclusión útil.[/b]
Hola,
\( B^n=a+b \)
\( A^n=(a+b)^2-3ab \).
Hay íntegros que cumplen con la segunda condición. Con a y b con y sin factor común.
Pero qué ocurre si \( A^n=(a+b)^3-3ab \). Pues que, no existe valor para a y b que cumplan con dicha condición. Considerando que todas las variables son enteras. Independientemente de que si a y b tienen o no factor común. ¿Por qué?
\( (a+b)^3 - 3ab=a^3+b^3+3ab(a+b-1) \).
Observemos que \( a^3+b^3+3ab(a+b-1) \) nunca será igual a \( a^3+b^3+3ab(a+b) \) ni a otra expresión que podamos obtener con el triángulo de Pascal.
Este razonamiento se puede extender a \( (a+b)^6 - 3ab \).
Suponiendo que se cumplen las dos condiciones iniciales y suponiendo que todos los exponentes son iguales o mayores que 3. Esto es:
\( B^3=a+b \).
\( A^n=(a+b)^{3*2}-3ab \); \( A^n=(a+b)^6-3ab \).
Por lo tanto, \( A^n=(a+b)^6-3ab \), nunca tendrá soluciones con números enteros.
\( A^n=a+b \).
\( B^n=(a+b)^2-3ab \).
Lanzo la siguiente duda.
Supongamos que
\( B^3=(a+b)^2-3ab \) y que operando llegamos a:
\( B^3=(a^3+b^3)/(a+b) \) y \( B^3=3/2(a^2+b^2)-1/2(a+b)^2 \).
Donde \( (a+b)^2 = A^6 \). Porque incialmente consideramos \( A^3=a+b \).
Igualamos tal que \( (a^3+b^3)/(a+b)=3/2(a^2+b^2)-1/2(A)^6 \). Despejamos a.
Dos soluciones. \( a = -b - A^3 \) y \( a =-b + A^3 \). Donde \( A^3=a+b \). La primera solución 2a=-2b y de la segunda a = a. Por lo tanto, a=-b.
¿Dicha igualdad, a=-b, contradice las condiciones iniciales? y por lo tanto verifica que es imposible este caso particular.
\( a+b=c^3 \) y \( (a+b)^2-3ab=d^3 \) donde d y c son coprimos.
Por lo tanto, \( (a+b)^2-3ab=d^3 \); \( (a+b)^2=d^3 +3ab \). En esta última expresión la forzamos para que cumpla con la primera de las condiciones iniciales:
\( (a+b)^2=d^3 +3ab \); \( (c^3)^2=d^3 +3ab \); \( (c^2)^3=d^3 +3ab \). Sustituimos \( d=a+e \). Por lo tanto, \( (c^2)^3=(a+e)^3 +3ab \). Triángulo de Pascal. \( (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e) +3ab \); \( (c^2)^3=(a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) \). Dicha expresión \( (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e)+ab) \) en concreto \( (a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) \). Para ser igual a potencia de grado 3 debería cumplir con \( a*b=0 \). Condición imposible con el caso planteado.
¿Cierto?
Hola.
\( (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \).
Toda potencia de grado 3, de cualquier entero, la podemos expresar mediante la ecuación facilitada por el Triángulo de Pascal mediante enteros. Excepto \( 1^3 \).
Para cada entero, su suma, \( (a+b)^3 \), la indicamos tal que, \( a^3+b^3+3ab(a+b) \). Para cada par de \( a^3+b^3 \) tan solo existe un \( 3ab(a+b) \), de tal modo que su suma proporciona una potencia de grado 3. Si añadimos a \( 3ab(a+b) \), \( 3ae \), de dicha ecuación, no obtenemos potencia de grado 3. Quizás obtengamos otra potencia, o quizás no.
Es decir, con \( a^3+b^3 \) solo formaremos potencia de grado 3, si y solo si, le sumamos \( 3ab(a+b) \). Si a este último término le sumamos un \( 3ae \), podemos obtener potencia o no, pero nunca una potencia de grado 3. Porque con \( a^3+b^3 \) única y exclusivamente obtenemos potencia de grado 3 si sumamos \( 3ab(a+b) \).
¿Cierto?
El contraejemplo no se ajusta a lo establecido.
Hola.
Recordemos que
\( a^2 = (a-1)(a + 1)+1 \)
\( a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1 \)
\( a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1 \)
\( a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 \) expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
\( 2^3=1·2·3+2 \) y \( (2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 \)
Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
\( 2^3 + (2a+1)^3 \);
\( 2·3 + 2 + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 \);
\( 2·(3 + 1 + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 \);
\( 2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 \) ecuación (ii) si comparamos esta ecuación con (i).
Podemos decir que para que (ii) cumpla con (i);
\( 2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 \) = \( (2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1 \);
\( [s]2[/s]·( a·(2a+1)(2a+2)+a + [s]3[/s] +1)+[s]1[/s] \) = \( ([s]2[/s])(3^{n-1}...+ 3^2 +[s] 3 [/s] + 1)+[s]1[/s] \);
\( ( a·(2a+1)(2a+2)+a+1) \) = \( (3^{n-1}...+ 3^2+1) \);
\( ( a·((2a+1)(2a+2)+1)) \) = \( ((3^2)(3^{n-3}...)+ 1) \);
O sea \( ((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1) \) es decir el primer paréntesis \( ((3^2) \) comparte factor común con el segundo \( ((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1) \) excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con \( ·(a·((2a+1)(2a+2)+1)) \). Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?
No, no está bien. Ese argumento no es concluyente. No he revisado las cuentas totalmente, pero aun admitiéndolas como buenas el razonamiento final no está bien.
Tu tienes dos expresiones factorizadas de distinta manera que pueden corresponder a un mismo número, pero no tienen porque ser la misma factorización. De manera que lo que se cumpla para una no tiene que ser cierto para la otra. Por ejemplo:
\( 80=5(3\cdot 5+1)=8\cdot (9+1) \)
En la primera factorización \( 5(3\cdot 5+1) \) el segundo factor menos uno comparte un divisor común con el primero.
En la segunda factorización \( 8(9+1) \) esto no se da y sin embargo ambas son factorizaciones correctas del \( 80 \).
En la factorización que yo propongo, los dos primeros números (de ambas factorizaciones) son los mismos, en este caso es el 2 inicial:
\( 2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 \) = \( (2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1 \);
\( 2·( ... + 3 + 1)+1 \) = \( (2)( ... + 3 + 1)+1 \);
Fijese que donde los puntos suspensivos deberia poner:
\( ( a·(2a+1)(2a+2)+a) \) = \( (3^{n-1}+...+ 3^2) \);
\( ( a·((2a+1)(2a+2)+1)) \) = \( ((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1) \);
El primer paréntesis \( ((3^2) \) comparte factor común con el segundo \( ((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1) \) excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con \( ·(a·((2a+1)(2a+2)+1)) \). Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?
Hola, siguiendo la sistemática establecida para el caso \( 2^3 + (2a+1)^3 \) demuestro que para \( 2^n + (2a+1)^3 \) siendo n mayor o igual que 3 la conjetura de Beal sigue cumpliendose.
Recordemos que
\( a^2 = (a-1)(a + 1)+1 \)
\( a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1 \)
\( a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1 \)
\( a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 \) expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
\( 2^n=1·2^{n-2}·3+2^{n-2} \) y \( (2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 \). Recordemos que las dos últimas expresiones no es más que la aplicación directa de \( a^n=(a-1)·(a^{n-2})·(a+1)+ a^{n-2} \) siendo a un número entero positivo y n un entero mayor o igual que 3.
Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
\( 2^n + (2a+1)^3 \);
\( 1·2^{n-2}·3+2^{n-2} + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 \);
\( 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 \); Ecuación (iii), dicha ecuación la comparamos con \( a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 \) Ecuación (i) porque si queremos que (iii) sea igual a una potencia de grado 3 o mayor debe cumplir con lo dispuesto en la Ecuación (i). Igualamos ambas expresiones:
\( 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 \);
En la parte izquierda de la igualdad, dentro del paréntesis necesitamos un 1. Para que (iii) y (i) sean iguales. Entonces a solo puede adoptar dos valores. a=2 y a=1. Si a no adopta uno de estos dos valores nunca obtendremos un 1 dentro del paréntesis de la parte izquierda de la igualdad, entonces:
Cierto que un producto se pude descomponer de muchas formas distintas.
Pero, dos productos que deben contener el mismos resultado Ecuación (i) y Ecuación (ii) y Ecuación (iii), al adoptar la estructura de la Ecuación (i) entonces y solo entonces el producto restante deber ser el mismo.
\( a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 \) (i)
Quiero decir, cualquier potencia de grado 3 o mayor, réstele un 1 y adopta la estructura de (i) (el producto). Si no adopta dicha estructura es porque no es potencia. (i) es una disposición muy concreta (posiblemente muy forzada) que solo cumplen las potencias, y para ser tal, debe cumplirla, en caso contrario, no es una potencia.
¿Cierto?
Luis, intente aplicar la sistemática establecida en el siguiente caso.
\( 3^3+6^3=3^5 \). Es decir:
\( 2·3·4+3+5·6·7+6=3^5 \). Ahora intente que \( 2·3·4+3+5·6·7+6 \) cumpla con (i) \( a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 \).
¿Existen muchas posibilidades de factorización, en este caso concreto?
Aplicando esta sistemática solo hay una posible factorización.
¿Cierto?
Luis en los dos casos propuestos (x-1) = (y-1), además, \( a^n=(y-1)f(y)+1 \) y no \( a^n=(y-1)f(y) \)
Es decir en las proposiciones no hay tantas variables, o si lo prefiere x=y=a y f(y)=f(x)=f(a). Además, f(y) es una función bien determinada no cualquiera.
Mi planteamiento es el siguiente:
(a-1)(a)(a+1) + a + (b-1)(b)(b+1)+ b. De esta expresión intento obtener un 1 y al mismo tiempo que los restantes sumandos, todos ellos, tengan un factor común (c-1) y adopten la siguiente sistemática \( (c^n…c^2+c+1) \). ¿Cierto? ¿Sigue estando mal?
Ejemplo:
\( 2·3·4+3+5·6·7+6=3^5 \);
\( 2·3·4+3+5·6·7+6 \); En este punto hay dos posibilidades.
\( 2·3·4+3+5·6·7+5+1 \) ó \( 2·3·4+2+1+5·6·7+6 \);
En la primera ecuación (izquierda de la ó) obtenemos un 1 tal que (i) pero el resto de los sumandos no poseen un factor común. Pero en la segunda si. Hay un 1 y el resto de los sumandos poseen un factor común tal que (i). Por lo tanto seguimos con la segunda, observemos que solo hay una posible factorización tal que (i).
\( 2·3·4+2+5·6·7+6+1 \);
\( 2(3·4+1+5·3·7+3)+1 \);
\( 2(3·4+5·3·7+3+1)+1 \) =\( a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 \) (i);
Es en este punto es donde igualamos con (i) y (a-1) es igual al factor común es decir 2. Si (a-1)=2 entonces a=3. Demonos cuenta que es el factor comun quien establece el valor de (a-1) siempre que dentro del parentesis haya un 1, es decir:
En relación al 1, dicho número es transcendental, es decir inicialmente adopta la siguiente formula \( (a-1)(a+1)+1=a^2 \) y \( (a-1)a(a+1)+a =a^3 \). Este escenario puede provocar que de la suma de dos potencias sin factor común podamos obtener una tercera, siempre que alguna de las tres potencias sea de grado 2.
¿Pero porque no existen tres potencias todas ellas con exponentes mayores o igual que 3 que no necesiten tener un factor común? De esta duda surgió.
\( (a-1)a(a+1)+a =a^3 \);
\( (a-1)a(a+1)+a-1+1=(a-1)(a(a+1)+1)+1=(a-1)(a^2+a+1)+1=a^3 \). Por la similitud con \( (a-1)(a+1)+1=a^2 \).
Si aparece esta última si que hay potencias sin factor común y si las tres potencias son iguales o mayores a la primera las potencias necesariamente tienen que tener un factor común.
Pero todo lo dicho son suposiciones que supongo, al igual que, todos los datos suponen que la conjetura es cierta, excepto la Conjetura ABC.
Aunque la razón primordial es que la ecuación (i) es una condición exigente con los números, con la cual se reduce significativamente el número de variables.
Si desaparece dicho 1 entonces a^n=(y-1)f(y) y las factorizaciones se vuelven no infinitas, pero si con una gran cantidad de posibilidades que dificulta obtener algo en concreto. Por lo tanto, creo que dicho 1 ayuda a establecer un orden en la factorización.
En relación a \( 2(3·4+5·3·7+3+1) \) donde \( (a-1)=2 \). Es decir (a-1)(f(a)+1)+1 donde f(a), todos sus sumandos, tienen que poseer un factor común en caso contrario no cumple con f(a)=a^n…a^2+a. Todas estos requisitos son condición necesaria que no suficiente para la ecuación sea igual a una potencia. Claro esta dentro de cada caso, con su debida concretización.
Por lo tanto mis propuestas de demostración se basan, en que la suma de dos potencias cumplan con los siguientes requisitos (siendo condición necesaria que no suficiente):
1. Que toda la expresión adopte la siguiente estructura (a-1)(f(a)+1)+1.
2. f(a) todos sus sumandos deben tener un factor común.
3. Si los dos requisitos se cumplen entonces (a-1)(f(a)+1)+1 puede o no, entrar en el olimpo de las potencias.
Obviamente si eliminamos el 1 entramos en un profundo caos, porque las factorizaciones pueden ser casi casi infinitas. ¿Cierto?
¿Luis esta bien o mal?
\( 2^3+(2a+1)^3=(2b+1)^3 \). Intento demostrar que es imposible esta igualdad.
\( 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a+1= 2b(2b+1)(2b-1)+2b+1 \);
\( 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a= 2b(2b+1)(2b-1)+2b \); Dividimos toda la expresión entre 2.
\( 2^2+a(2a+1)(2a-1)+a= b(2b+1)(2b-1)+b \); Simplificamos.
\( 4a^3+6a^2+3a+4= 4b^3+6b^2+3b \).
Si damos valores a la ecuación \( 4a^3+6a^2+3a \) vemos que la unicidad de \( 4a^3+6a^2+3a \) es mucho mayor que 4.
Luis que precisión, concisión, eficacia, eficiencia, etc.
De la ecuación se deduce inmediatamente que \( y>x \) e \( y,x \) tienen la misma paridad; por tanto \( y\geq (x+2). \) Tendríamos así que:
\( 8=2^3=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26 \). ¡Contradicción!
Pero, ¿que ocurriría si \( 2^n=y^3-x^3 \)?
\( 2^n=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26 \). ¿Contradicción?
Sean a y b dos números primos tal que:
\( (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \) recordemos el Triangulo de Pascal.
\( (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) \);
Para complir la conjetura de Beal \( b(3a^2+3ab+b^2) \) tiene que ser potencia, por lo tanto;
\( (3a^2+3ab+b^2)=b^2, b^3, b^4,..., b^n \).
Hola.
\( b(3a^2+3ab+b^2) \)
b es un número primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Un número primo, solo es potencia si se multiplica por el mismo o un número con el que posea un factor común, posiblemente si multiplicáramos el 2 o cualquier otro número primo por el resto de los infinitos números primos (finitas o infinitas veces) nunca obtendríamos ninguna potencia. ¿Cierto?
Por tanto \( b(3a^2+3ab+b^2) \) en este caso concreto, (quizás me equivoque) dicha ecuación, considerando que b es un número primo, solo puede ser potencia si \( (3a^2+3ab+b^2) \) es igual a una potencia de b o un número con factor común de dicho primo.
Es decir, \( 7(7^2)(3^3) \) donde b = 7 y \( (3a^2+3ab+b^2) = (7^2)(3^3) \) ¿Cierto?
Cualquier otro número que no sea b o no contenga un factor común con b, su producto con b no será potencia. ¿Cierto?
Beal
\( b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 \); Despejamos la a.
Si este razonamiento lo extendiéramos, mediante el triangulo de Pascal a todas las potencias, ¿estaria demostrada la conjetura de Beal?
P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat \( x^3+y^3=z^3 \) te estás centrando en el caso en el que \( x \) es primo y \( z-x \) es primo.
P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat \( x^3+y^3=z^3 \) te estás centrando en el caso en el que \( x \) es primo y \( z-x \) es primo.
No sólo es particular que estés tomando la potencia \( 3 \); estás tomando además una situación nada general, considerando un factor primo y que se diferencia del segundo en otro primo. El caso general sería considerar los factore coprimos, es decir, sin divisores comunes (pero no necesariamente primos), que es bien distinto.
Beal
\( b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 \); Despejamos la a.
No hace falta que despejes nada; de esa expresión se deduce que \( b \) es divisor de \( 3a^2 \). Dado que \( b \) es primo y \( a \) también, o \( b=3 \) o \( b=a \).
\( \color{blue}3a x^n + x^{2n}\color{black} = y^n - 3a^2 \);
\( x^n (3a+ \color{red}x^{2}\color{black}) = y^n - 3a^2 \);
Sean a y b dos números íntegros coprimos.
\( (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \) recordemos el Triangulo de Pascal.
\( (a+b)^3= a^3+ab(3a+3b)+b^3 \).
Consideremos que \( ab(3a+3b)+b^3 \) es igual a una potencia.
Rápidamente se deduce que el resultado de la suma es un número multiplicado por b, es decir \( ba(3a+3b)+b^3 =b^n \) o \( ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n \) siendo n igual o mayor que 3. Condición de la conjetura.
En ese caso que \( b(3a^2+3ab+b^2) \) sea una potencia NO significa que ésta sea de la forma \( b^nk^n \). Por ejemplo \( b \) podría ser de la forma \( b=s^n \), de manera que que \( b(3a^2+3ab+b^2) \) fuese una enésima potencia simplemente significaría que \( (3a^2+3ab+b^2) \) también lo es pero ya sin ninguna relación con \( b \).
Esto ya invalida tus pretendidas generalizaciones.
Hola.
Luis respecto a:
\( ab(3a+3b)+b^3 \).
Consideremos dos números \( xj + yj \), su suma es un número multiplicado por j. De las infinitas soluciones solo reflejo las de la conjetura, es decir que la suma sea \( z^n·j^n \). Seguidamente sumo, resto y multiplico.
Que \( 3a^2+3ab+b^2=y^n \) sea o no cierto, es irrelevante para el siguiente razonamiento:
\( x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3 \);
\( x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b) \). Dividimos todo entre b.
\( x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b) \);
Luis, ¿este razonamiento es erróneo?
\( b^2+3a^2+3ab=x^n \). Dividimos todo entre 3.
\( \displaystyle\frac{ b^2}{ 3 }+a^2+ab=\displaystyle\frac{ x^n }{ 3 } \);
Por tanto, para que la que ecuación cumpla, consideremos que \( b=3c; x^n=(3d)^n \).
\( a(a+3c) = 3(3^{n-2}d^n -c^2) \);
Recordemos que \( a \) y \( b=3c \) son coprimos. Su suma es un número sin ningún factor común con a y b.
Por tanto \( a(a+3c) \) es igual a un número multipliado por 3, por lo tanto, necesariamente a es igual a 3. ¿Cierto?
Hola.
¿En que me equivoco esta vez?
\( x^n-b^2=a(3a+3b) \) donde \( b=k^n \);
\( x^n-k^{2n}=a(3a+3k^n) \);
\( x^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \); Hagamos la siguiente suposición \( x^n = (a+k)^n \).
\( (a+k)^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \);
\( (a)^n+ak()+k^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \); Dos casos.
i. \( (a)^n+k^n = k^{2n}; ak()= a(3a+3k^n) \); No cumple lo establecido. Porque . \( (a)^n=k^n \).
ii. \( a(a^{n-1}+k())+k^n=k^{2n} +a(3a+3k^n) \); \( k^n=f(a) \)
Si, efectivamente la relación (*) te permite despejar \( k \) en función de \( a \).
Saludos.
Por lo tanto \( (k+d)^n = (k^{2n} +3a(a+k^n)) \). Pero si se cumpliera la igualdad, de acuerdo con el triángulo de Pascal \( 3a= kd \). Y todas las variables estarían en función de a.
¿Cierto?
Hola.
Consideremos que \( (k^{2n} +3a(a+k^n)) \) es igual a potencia enésima.
\( (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) \);
\( k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n \);
\( kd()+d^n = 3a(a+k^n) + k^n \);
\( kd()+d^n = 3a^2+3ak^n + k^n \);
\( kd()+d^n = 3a^2+ k^n(3a+1) \);
\( kd()+d^n = 3a^2+ k(k^{n-1})(3a+1) \);
\( kd()+d^n = k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2 \);
\( kd()+d^n \) los dos sumandos poseen un factor común.
Por lo tanto \( k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2 \), ¿debe tener un factor común? para que cumplan con la igualdad.
Consideremos que \( (k^{2n} +3a(a+k^n)) \) es igual a potencia enésima.
\( (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) \);
\( k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n \);
Pero si considero que \( (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) \). ¿Por qué no puedo considerar que \( (k+k)^n = k^{2n} +3a(a+k^n)) \)?
Porque \( (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n)) + k^n \). Todo seria mucho más fácil.
Consideremos que \( (k^{2n} +3a(a+k^n)) \) es igual a potencia enésima.
\( k^n +3a(a+k^n) + k^n \);
Mediante similitud con el triángulo de Pascal (fijémonos en los extremos \( k^n +… + k^n \)) no podemos considerar que:
\( (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n \)
Pero decir que \( (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n \) tiene que cumplirse para todas los valores en que \( k^n +3a(a+k^n) + k^n \) sea potencia enésima, es muy arriesgado. ¿Cierto?
Cierto que \( (k)^{2n} = k^n + k^n \) esta mal.
Pero.
\( (k+d)^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n) \);
\( k^{2n} + kd() + d^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n) \);
\( kd() + d^{2n} = 3a(a+k^n) \);
\( d(k()+d^{2n-1}) = 3a(a+k^n) \);
\( (k()+d^{2n-1}) = \displaystyle\frac{ (3a(a+k^n))}{ d } \);
i. \( \displaystyle\frac{(a+k^n)}{ d } \)
ii. \( \displaystyle\frac{(3a)}{ d } \);
En alguno de los dos casos mencionados, las divisiones deberían ser igual a un número íntegro. i. y ii, si alguno de los dos cumple con lo establecido, entonces d tendría un factor común con alguno de los dividendos. ¿Cierto?
a y k son coprimos. Pero, ¿por que a y d tienen que ser coprimos?
\( (k^{2n} + 3ak^n + 3a^2) \); si \( n=3 \)
\( (k^6 + 3ak^3 + 3a^2) \) dicha expresión en caso de ser potencia debería asemejarse a:
\( (k^2+a)^3 \);
\( k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 \). Suponiendo que la expresión es igual a:
\( (k + b)^{2n} \).
\( k^{2n} + 3ak^n + 3a^2 = (k + b)^{2n} \). Para \( n = 2 \);
\( k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = (k + b)^{4} \);
\( k^{4} + 3ak^2 + 3a^2 = k^4 + \color{red}4\color{black}kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 \). Simplifico y agrupo:
\( 3ak^2 + 3a^2 = 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) + b^4 \);
\( 3ak^2 - 4kb(2k^2 + 3kb + 2b^2) = + b^4 - 3a^2 \);
\( k( 3ak - 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) = + b^4 - 3a^2 \); Introduzco dos condiciones.
\( ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) \) y \( b^4 > 3a^2 \). ¿Cierto?
¿Estas dos condiciones son necesarias?
\( ( 3ak > 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) \) despejo a:
\( a> \displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k } \)
Dicha a si la introduzco en \( b^4 > 3a^2 \). Recordemos segunda condición.
\( b^4 > 3(\displaystyle\frac{4b(2k^2 + 3kb + 2b^2))}{ 3k })^2 \). Opero:
\( 3b^2k^2 > 16(2b^2+3bk+2k^2)^2 \). Dicha afirmación, ¿es una contradicción?
Cierto el 4 es un 2.
\( k( 3ak - 2b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) = + b^4 - 3a^2 \).
Pero si son ambos negativos si despejo \( b^4 \) entonces es igual a número negativo. ¿Cierto?
\( ( 3ak < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) \) y \( b^4 < 3a^2 \).
Las dos condiciones son negativas:
\( b^4 < 3a^2 \) despejo \( a > \displaystyle\frac{b^2}{ 3^{1/2} } \).
Introducimos la a en la condición:
\( ( 3ak < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) \);
\( 3\displaystyle\frac{b^2}{ 3^{1/2} }k < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2) \);
Si multiplicamos cualquier número entero por \( \displaystyle\frac{3^{1/2} }{3 } \) el número resultante siempre será un número con decimales, es decir nuca será entero, ¿cierto?
\( (b^2)k < 4b(2k^2 + 3kb + 2b^2)) ( \displaystyle\frac{3^{1/2} }{3 }) \);
Pero si despejo \( b^2 \) ó \( k \) el resultado no es un número entero. ¿Cierto?
Asignemos un valor a n y despejemos. \( n = 5 \).
\( a^5=a^3+3ab(a+b)+c \)
\( b = \displaystyle\frac{(3) ^{1/2}*(4a^6 - a^4 - 4ac) ^{1/2} – 3a^2}{ 6a } \)
Observemos que el grado del numerador es bastante más elevado que en el denominador, no ocurrirá lo que ocurre con el grado 2. Entonces cualquier número entero que obtengamos de dicha formula debería tener un factor común con a. ¿Cierto?
Primero que todo, indicar que es un gustazo que conteste e intentar aprender y comprender porque esta conjetura es tan atractiva y a la vez endiabladamente difícil. Dicho lo cual planteo la siguiente pregunta.
Suponiendo que:
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
Asignemos \( n = 5 \) en principio cualquier número natual mayor que 3.
\( a^5=a^3+3ab(a+b)+c \)
\( a^5=a^3+3a^2b+3ab^2+c \)
\( 3ab^2= a^5-a^3-3a^2b-c \)
\( b = \displaystyle\frac{ (a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} }{ (3a)^{1/2}} \)
\( b =((3a)^{-1/2})*(a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} \) (i).
La pregunta es.
Cualquier resultado entero de (i), ¿no contendrá en factores de producto 3 y a?
\( ((2*5)^{-1/2}= 2^{-1/2}5^{-1/2} \) (ii)
La pregunta es que número entero hay que multiplicar a (ii) para obtener un número natural.
Dicho lo cual repetimos la pregunta:
\( b =((3a)^{-1/2})*(a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} \) (i).
Cualquier resultado entero de (i), ¿no contendrá en factores de producto 3 y a?
O sea, cualquier resultado entero de (i), quizás hayan más factores, necesariamente, posee
\( 3a \) porque esta expresión no es más que un factor de un producto, por lo tanto, no existe un entero tal que \( b =d*((3a)^{-1/2}) \) siendo d un número natural cooprimo con \( 3a \).
Hay que considerar las raíces, porque son lo que producen la conjetura. Las potencias de grado 2 no tienen esta restricción, las de 3, 4, 5…. si.
Sigo sin verlo. Olvídate de la raíz. Lo anterior equivale a:
\( 3ab^2=a^5-a^3-3a^2b-c \)
\( c=3ab^2-(a^5-a^3-3a^2b) \)
Dale cualquier valor a las variables \( a \) y \( b \) (sin factores comunes o con ellos como quieras) y tendrás un valor de c. Es decir tendrás ejemplos donde no hay tales factores comunes.
Luis que no entiendes nada.
Haber solo intento demostrar que a y b tienen un factor común, el a y b de:
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
Asignemos un valor a n y despejemos. \( n = 5 \).
\( a^5=a^3+3ab(a+b)+c \)
\( a^5=a^3+3a^2b+3ab^2+c \)
\( 3ab^2= a^5-a^3-3a^2b-c \)
\( b= a^5-a^3-3a^2b-c \)
\( b = \displaystyle\frac{ (a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} }{ 3a^{1/2}} \)
\( b =((3a)^{-1/2})*(a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} \) (i).
Si (i) es de grado dos, recordemos el triangulo de Pascal \( a^n=a^2+2ab+c \) al obtener el valor de b, en la ecuación no habra raices cuadradas, la raiz, es la razón de la restricción que ejerce a los números, los obliga a tener un factor común.
Si a y b gozan de un factor común entonces todas las variables (excepto los exponentes) también poseen el factor común de la conjetura.
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
Hola.
Luis con relación al grado 2 me refería a:
1. \( a^n=a^2+2ab+c \) donde n es mayor o igual que 2.
2. \( (a+d)^m=\color{red}b^3\color{black}-c \) donde m es mayor o igual que 2.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^2 \)
En relación a c:
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
1. \( c = a^n-a^3-3ab(a+b) \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( c =b^3-(a+d)^m \) donde m es mayor o igual que 3
Igualamos ambas condiciones y despejemos d.
\( a^n-a^3-3ab(a+b) = b^3-(a+d)^m \)
\( d = (-a^n + a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3)^{(1/m)} – a \)
Con esta última condición, ¿a y b poseen un factor común?
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
Asignemos \( n = 5 \) en principio cualquier número natual mayor que 3.
\( a^5=a^3+3ab(a+b)+c \)
\( a^5=a^3+3a^2b+3ab^2+c \)
\( 3ab^2= a^5-a^3-3a^2b-c \)
\( b = \displaystyle\frac{ (a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} }{ (3a)^{1/2}} \)
\( b =((3a)^{-1/2})*(a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} \) (i).
Cualquier resultado entero de (i) poseerá \( 3a \) entre sus factores. ¿Cierto?
Me gustaría pensar que la conjetura es cierta. Pero hay por ahí una famosa demostración de la conjetura ABC que dice que, si es cierta, existirían un número finito de contraejemplos a la conjetura de Beal.
Hola.
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
Luis el ejemplo que planteas no cumple con 1. Porque c tiene un factor común con a.
En lo referente a la conjetura ABC, es incierto, con sus detractores y defensores.
Si introducimos el ejemplo en el despeje de d la raiz lanza un resultado negativo, tal que:
(−7^(5)+7^(3)+3×7×7×13+3×7×13×13+13^(3))
=−8,807
La referencia, usted me la facilito en uno de los post de este hilo. No soy matematico, y me cuesta entender la relacion de la c. ABC con Beal.
Tratemos la conjetura de Beal (cb) mediante 3 ecuaciones, apliquemos el triángulo de Pascal y el enunciado de la cb. Démonos cuenta que la cb se reduce a :
Inicialmente \( (a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3 \) la cb reduce dicha expresión a solo tres términos todos ellos con potencia igual o mayores que tres, es decir:
\( (a+b)^3=(a+c)^n+b^3 \)
\( (a+b)^3=a^3+(a+c)^n \)
\( (a+c)^n=a^3+b^3 \)
\( (a+c)^m=a^3+(a+d)^n \)
Siendo n y m mayor que 3. Quizás haya más posibles combinaciones.
Recordemos que \( (a+b)^n=a^n+( n·a^{(n-1)}·b+….+n·a·b^{(n-1)})+b^n \) y consideremos las siguientes ecuaciones:
1. \( a^f= a^n+( n·a^{(n-1)}·b+….+n·a·b^{(n-1)})+c \) donde f es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^e=b^n-c \) donde e es mayor o igual que 3.
3. \( a^f + (a+d)^e=(a+b)^n \)
De la ecuación 1 hacemos el despeje de \( n·a·b^{(n-1)} \):
\( n·a·b^{(n-1)}= a^f- a^n- n·a^{(n-1)}·b-….-c \);
\( n·a·b^{(n-1)}= a^f- a^n- n·a^{(n-1)}·b-….-c \);
\( b = \displaystyle\frac{ (a^f- a^n- n·a^{(n-1)}·b-….-c)^{ n-1} }{( n·a) ^{ n-1} } \);
\( b = ((n·a) ^{ -n+1}) (a^f- a^n- n·a^{(n-1)}·b-….-c)^{ n-1} \).
Si el resultado obtenido es un número natural, b tiene el factor común de a.
La afirmación en rojo es gratuita.
\( b = ((2·5) ^{ -n+1}) (k)^{ n-1} \);
Si b es un número natural, entonces el resultado seria \( b = 2·5 t \) siendo t un número entero coprimo con 2 y 5 o quizás sea igual a 1. ¿cierto?
Recordemos b de la ecuación 1.
\( b = ((n·a) ^{ -n+1}) (a^f- a^n- n·a^{(n-1)}·b-….-c)^{ n-1} \)
Apliquemos la misma sistemática que hemos aplicado en la ecuación 1 a 3.
3. \( a^f + (a+d)^e=(a+b)^n \);
\( a^f + (a+d)^e= a^n+n·a^{n-1}b + ….+n a·b^{n-1}+b^n \);
\( a^f + (a+d)^e= a^n+n·a^{n-1}b + ….+n a·b^{n-1}+b^n \);
\( n a·b^{n-1} =a^f + (a+d)^e -a^n-n·a^{n-1}b - ….- b^n \);
\( b=((na)^{-n+1})(a^f + (a+d)^e -a^n-n·a^{n-1}b - ….- b^n)^{ n-1} \);
Con el despeje de b, si existiera un número entero que satisface la ecuación entre sus factores a modo de producto estarán n y a.
Si dicho resultado es integro lo introducimos en 2.
2. \( (a+d)^e=b^n-c \) donde e es mayor o igual que 3.
d posee un factor común con a.
¿No demuestra que a, b y d todos tienen un factor común?
\( b = ((n·a) ^{ (-1/(n-1))}) (a^f- a^n- n·a^{(n-1)}·b-….+a()-a·j)^{ (1/(n-1))}. \)
b y a tienen un factor común.
Antes de nada, ¿todos los argumentos y ejemplos que te estoy dando te convencen?¿te hacen darte cuenta de que tus afirmaciones son gratuitas y/o falsas? En caso de que no te convenzan. ¿Cómo los contraargumentas?¿Cómo los matizas?... Porque no haces la más mínimia alusión concreta a ellos. Diríase que hablo (escribo) solo.
Por el contrario yo continuamente cito y replico a tus afirmaciones concretas.
El caso es que no contestas nada específico a mis objeciones y reescribes ligeremante lo mismo que ya tenías con los mismos errores de base.
\( b =((3a)^{-1/2})*(a^5-a^3-3a^2b-c)^{1/2} \) (i).
No demuestra que a y b tienen un factor común porque si simplificamos \( b = b \).
Es decir, aparentemente b está en función de a pero al simplificar a y b no tienen porque tener un factor común. Luis, ¿intentas decirme eso?
Y además, la conjetura dice que a y b tienen factor común, al despejar b obviamente tiene un factor común conforme la conjetura, pero la razón de ese factor común, es el de la propia variable b, de acuerdo con la conjetura, por lo tanto, no se demuestra que a y b tienen un factor común, sino que se reafirma. ¿Cierto?
Pero:
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
Recordemos la siguiente entidad \( a^5=a^3+(a+1)a^3(a-1) \) y mezclémosla con 1 tal que:
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c = a^3+(a+1)a^3(a-1) \);
\( 3ab(a+b)+c = (a+1)a^3(a-1) \);
\( b = \displaystyle\frac{ \sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{4 a^6 - a^4 - 4 a c} - 3 a^2}{ 6 a } \).
¿b tiene un factor común con a?
Antes de nada, ¿todos los argumentos y ejemplos que te estoy dando te convencen?¿te hacen darte cuenta de que tus afirmaciones son gratuitas y/o falsas? En caso de que no te convenzan. ¿Cómo los contraargumentas?¿Cómo los matizas?... Porque no haces la más mínimia alusión concreta a ellos. Diríase que hablo (escribo) solo.
Por el contrario yo continuamente cito y replico a tus afirmaciones concretas.
El caso es que no contestas nada específico a mis objeciones y reescribes ligeremante lo mismo que ya tenías con los mismos errores de base.
Antes de nada, ¿todos los argumentos y ejemplos que te estoy dando te convencen?¿te hacen darte cuenta de que tus afirmaciones son gratuitas y/o falsas? En caso de que no te convenzan. ¿Cómo los contraargumentas?¿Cómo los matizas?... Porque no haces la más mínimia alusión concreta a ellos. Diríase que hablo (escribo) solo.
Por el contrario yo continuamente cito y replico a tus afirmaciones concretas.
El caso es que no contestas nada específico a mis objeciones y reescribes ligeremante lo mismo que ya tenías con los mismos errores de base.
Si los argumentos y ejemplos me convencen.
Aunque los ejemplos no cumpen con las tres ecuaciones. Luis si encuentra contraejmeplos es porque la variable c no esta lo suficientemente definida, si a c le asignamos cualquier valor, de los infinitos que hay, entonces es muy probable que existan contraejemplos. Pero si logro definirla bien, eliminar la imprecisión (creo que en mi último mensaje lo logre), entonces posiblemente no encuentre un contraejemplo, porque quizas no exista.
En mi último mensaje he intentado encontrar un contraejemplo a mis propios argumentos y no le encontrado.
Aunque si mi último mensaje, esta bien (grosso modo), entonces en ese caso concreto, la conjetura es cierta.
Si \( d \) tiene un factor común con \( a \) todas las variables tienen un factor común. ¿Cierto?
1) Si pretendes que de una determinada ecuación, se deduzca directamente tal conclusión tienes que ser tu el que expliques y justifiques por qué; eso independientemente de que yo o cualquieira sea capaz o no de encontrar contraejemplos. Concretando, por explicar y justificar, se refiere a descomponer tu argumentacion en argumentos tan simples y evidentes que no quede duda alguna de su certeza.
2) Entendiendo que la conjetura de Beal es cierta, es imposible, que yo ni nadie encuentre un contraejemplo a todas las ecuaciones que pones, porque entonces tendría un contreaejemplo de la conjetura de Beal. Pero eso no haya contraejemplos, no quiere decir que tus deducciones estén debidamente justificadas.
Pero en NADA de lo que haces se deduce que efectivamente a y d tengan un factor común; por tanto el avance en esas cuentas hacia una justificación de que la conjetura es cierta es NULO.
NULO. ¿Porque nulo? La conjetura habla de factores comúnes, en ese sentido es un poco vaga, reconociendo su extremada complejidad. Por lo tanto, la posible solución sea encontrar la sistemática establecida pero generalizada.
Hola.
Cita de Luis:Citar1) Si pretendes que de una determinada ecuación, se deduzca directamente tal conclusión tienes que ser tu el que expliques y justifiques por qué; eso independientemente de que yo o cualquieira sea capaz o no de encontrar contraejemplos. Concretando, por explicar y justificar, se refiere a descomponer tu argumentacion en argumentos tan simples y evidentes que no quede duda alguna de su certeza.
1. \( a^n=a^3+3ab(a+b)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^3-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^n + (a+d)^m=(a+b)^3 \)
….
\( d = a (a^{2/3} (a^2 - 1)^ {2/3} - 1) \) (i).
He intentado encontrar números que cumplan con (i) no ha sido posible. Aunque si existiera d y a tendrían un factor común y con ello b. Pudiendo afirmar que 1, 2 y 3 cumplen conjetura.
En lo descrito no cabe duda alguna de su certeza. ¿Cierto?
\( (d+a)^3 + a^5 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 \); (ii)
Introduzcamos:
\( a^7=a^5+(a+1)a^5(a-1) \).
Igualemos con (ii) tal que:
\( (d+a)^3 + a^5 = a^5+(a+1)a^5(a-1) \);
\( (d+a)^3 = (a+1)a^5(a-1) \);
\( d = a (a^{2/3} (a^2 - 1)^ {2/3} - 1) \).
Necesito más tiempo para rehacerlo.
Hola.
\( a^5=a^3+(a-1)a^3(a+1) \).
Añadimos \( b^3 \) tal que:
\( a^5+b^3=a^3+(a-1)a^3(a+1) +b^3 \)
De la siguiente ecuación deducimos:
1 ecuación
\( a^5+b^3 \). Si la suma es una potencia debería cumplir con (i).
Recordemos la siguiente expresión: \( a^n=a^{n-2}+(a-1)a^{ n-2}(a+1) \) (i)
\( a^n=a^{n-2}+(a-1)a^{ n-2}(a+1) \).
\( a^5+b^3 \) (ii)
Si planteo (ii) necesariamente \( a^5+(a-1)a^5(a+1)=a^7 \) o \( b^3+(b-1)b^3(b+1)=b^5 \).
Si añadimos una tercera variable c, todo se complica muy mucho.
\( a^n=a^{n-2}+(a-1)a^{ n-2}(a+1) \) (i)
\( a^5+b^3 \) (ii)
Si planteo (ii) necesariamente:
\( a^5+(a-1)a^5(a+1)=a^7 \) es decir \( a^5+b^3=a^7 \) o
\( b^3+(b-1)b^3(b+1)=b^5; b^3+ a^5=b^5 \).
Atentamente.
Intento decir que cualquier potencia en el contexto de la conjetura de beal cumple con.
\( a^n=a^{n-2}+(a-1)a^{ n-2}(a+1) \).
Es decir, tan solo, la potencia \( a^{n-2} \) condiciona a las demás potencias. ¿Cierto?
Todas las soluciones a la conjetura se pueden modelizar mediante:
\( a^n +c=a^{n-2}+(a-1)a^{ n-2}(a+1) +c \).
\( a^n =a^{n-2} -c +(a-1)a^{ n-2}(a+1) +c \).
\( a^n + (a-1)a^n(a+1) = a^{n+2} \) (i);
\( a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2} \);
\( a^n +a·a^{n+1} –a^n = a^{n+2} \);
\( a^n +(1+a-1)·a^{n+1} –a^n = a^{n+2} \);
\( a^n + a^{n+1} + a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2} \);
\( a^n + a^{n+1} = a^{n+2} - a^{n+2} + a^{n+1} +a^n \);
\( a^n + a^{n+1} = a^{n+1} +a^n \);
\( a^n + a^{n+1} = a^n·(a+1) \);
\( a=15; n=8 \);
\( 15^8 + 15^{9} = 15^8·(15+1) \);
\( 15^8 + 15^{9} = 15^8·(2^4) \);
\( 15^8 + 15^{9} = 15^8·(2^4) \);
\( 15^8 + 15^{9} = (15·15)^4·(2^4) \);
\( 15^8 + 15^{9} = 225^4·(2^4) \);
\( 15^8 + 15^{9} = 450^4 \);
\( a^x + b^{y} = c^z \);
Aunque si hay una potencia de grado 2:Citar\( 2^7 + 17^3 = 71^2 \) ;\( 2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 71^{2} \) ;
\( 2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 70·72+1 \) ;
\( 2^7 + (2^4)(2^4+1)(2^4+2)+ (2^4+1) = 70·72+1 \) ;
Observemos \( 71^2 = 70·72+1 \) Ecuación (i). 71 y 70, 72 no tienen ningún factor común. En las potencias de 3, 4, 5… no ocurre. De ahí la conjetura de Beal.
Sobre los dos últimos mensajes poco que decir; en el mejor de los casos se puede interpretar como situaciones particulares triviales, que poco o nada aportan a un estudio general de la conjetura de Beal o del Teorema de Fermat.
¿Por qué dice que poco o nada aportan a un estudio general?
Toda potencia esta incluida en la ecuación (i).
\( a^n + a^{n+1} +a·a^{n+1} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2} \) (i);
No conozco ningún ejemplo de los indicados en el txt de Durango Bill que no cumplan con:
\( a^n + a^{n} + a^{n+1} - a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2} \) (i);
Luis hay infinitas soluciones, con infinitas disposiciones, siendo n variable infinita, pero todas las soluciones se agrupan en (i).
Ademas si todas se agrupan en (i) las tres variables de la conjetura poseen la variable a.
Haber, ¿en que me equivoco esta vez?
\( a^n + (a-1)a^n(a+1) = a^{n+2} \) (i);
\( a^n + a^{n+2} –a^n = a^{n+2} \);
\( a^n + (a^2 - 1) a^n = a^{n+2} \);
Añado d natural cooprimo con a.
\( a^n + (a^2 - 1) a^n +d = a^{n+2}+d \);
I) \( a^n = a^x. \)
II). \( (a^2 - 1) a^n +d = b^y \)
III). \( a^{n+2} +d = z^y \)
Toda potencia por ser potencia cumple con (i). Por tanto:
III). \( \color{blue} a^{n+2} + d = z^y\color{black}; \color{red}a^{n+2} +(a-1)·a^{n+2} (a+1) = a^{n+4}\color{black} \).
No cumple, porque para cumplirse implicaría que d y a tienen un factor común que se contradice con que d sea coprimo con a.
Veamos con.
\( a^n+d + (a^2 - 1) a^n -d = a^{n+2} \);
I) \( a^n +d = k^x. \)
II). \( (a^2 - 1) a^n -d = b^y \)
III). \( a^{n+2} = z^y \)
I) \( a^n +d = k^x. \)
Toda potencia por ser potencia cumple con (i). Por tanto:
III). \( a^n +d = k^x; a^{n} +(a-1)·a^{n} (a+1) = a^{n+2} \).
No cumple, porque para cumplirse implicaría que d y a tienen un factor común que se contradice con que d sea coprimo con a.
Para que cumple la conjetura d tiene un factor común con a que se contradice con que sean coprimos.
CitarNo conozco ningún ejemplo de los indicados en el txt de Durango Bill que no cumplan con:
\( a^n + a^{n} + a^{n+1} - a^{n} +a^{n+2} - a^{n+1} –a^n = a^{n+2} \) (i);
1) No sé que quiere decir que un tal ejemplo cumpla con esa ecuación. Por ejemplo, ¿qué quiere decir que:
\( 762^3+127^4 =889^3 \)
cumpla la ecuación (i)?
\( 762^3 + 127^4 = 889^3 \); \( (2·3·127)^3 + 127^4 = (7·127)^3 \); \( (2·3·127)^3 + 127^4 = (762+127)^3 \).
Por lo tanto:
\( a^3 + b^4 = (a+b)^3 \);
Recordemos que:
\( a^{10} = a + a (a^9 - 1) \)
\( a^{10} = a^2 + a^2 (a^8 - 1) \)
\( a^{10} = a^3 + a^3 (a^7 - 1) \)
\( a^{10} = a^4 + a^4 (a^6 - 1) \)
\( a^{10} = a^5 + a^5 (a^5 - 1) \)
\( a^{10} = a^6 + a^6 (a^4 - 1) \)
\( a^{10} = a^7 + a^7 (a^3 - 1) \)
\( a^{10} = a^8 + a^8 (a^2 - 1) \)
\( a^{10} = a^9 + a^9 (a - 1) \)
\( a^{10} = a^{10} + 0 \)
\( a^n = a^{n-9} + a^{n-9} (a^9 - 1) \)
\( a^n = a^{n-8}+ a^{n-8} (a^8 - 1) \)
\( a^n = a^{n-7} + a^{n-7} (a^7 - 1) \)
\( a^n = a^{n-6} + a^{n-6} (a^6- 1) \)
\( a^n = a^{n-5}+ a^{n-5} (a^5 - 1) \)
\( a^n = a^{n-4} + a^{n-4} (a^4- 1) \)
\( a^n = a^{n-3} + a^{n-3} (a^3 - 1) \)
\( a^n = a^{n-2} + a^{n-2} (a^2 - 1) \)
\( a^n = a^{n-1} + a^{n-1} (a - 1) \)
\( a^n = a^n + 0 \)
i.
\( c^{z} =d^{z-m}+ (d+b) ^{z-m} \)
\( a^n = a^{z-m} + a^{z-m} (a^m - 1) \) de las ecuaciones expuestas. Igualo.
Consideremos por similitud \( d^{z-m} = a^{z-m} \). Extendemos la igualdad:
\( \color{red} (d+b) ^{z-m} = d^{z-m} (d^m - 1) \color{black} \).
Nuestra ecuación \( c^{z+2} =d^{z+k}+ (d+b) ^{z} \).
Consideremos por similitud \( d^{z+k} = a^{n+k} \). Extendemos la igualdad:
\( \color{red} (d+b) ^{z} = d^z(d^2-d^k) \color{black} \).
Sean las siguientes entidades:
\( b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).
\( b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).
Consideremos la ecuación de la Conjetura de Beal, tal que:
\( c^x = a^y + b^z \);
Apliquemos el triangulo de Pascal tal que:
\( (a+b)^n = a^n + ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n \);
Aunque \( a^n \) es potencia, mediante (i) o (ii) puede descomponerse en suma. Pero en principio consideremos que es una potencia.
\( ((a+b)^n - a^n - b^n) + b^n \) hay que suponer que esta expresión es potencia de acuedo con la conjetura. Entonces debe cumplir con (i) o (ii).
\( b^n \) es potencia. Aunque puede adoptar cualquier forma de cualquier ecuación de (i) o (ii), es decir se puede descomponer en suma. Consideremos que es potencia y que es la primera ecuación de la suma con todas sus posibles variaciones. \( b^{n-k} \) (i) o \( b^{n+k} \) (ii).
Centrémonos en \( ((a+b)^n - a^n - b^n) \) si a y b no tienen un factor común, el resultado no el segundo número de la suma de (i) o (ii). Si a y b son primos relativos obtenemos una suma o resta de tres números coprimos que quizás sea potencia de otro número, pero no de b con su producto.
Recordemos que la suma de dos números coprimos su suma es un tercero sin ningún factor común de los dos iniciales. Y eso no es lo que pretendemos porque pretendemos obtener \( b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \( b^n( b^2- b^k) \) (ii).
De \( ((a+b)^n - a^n - b^n) \) hay que obtener una agrupación de números tal que \( b^{n-k}( b^k-1) \) (i) o \( b^n( b^2- b^k) \) (ii). Es decir, no una potencia de cualquier número sino una potencia de b con su producto. Por lo tanto a es igual b o a un número con un factor común.
Luis el triangulo de Pascal esta modelizado solo con dos variables a y b. Por lo tanto, si la conjetura se puede razonar mediante dos variables no necesariamente tiene intervenir las tres variables. De todas formas si a y b tienen un factor común, inmediatamente c también.
Quizás si tiempo atrás hubieran aparecido estas ecuaciones:
\( b^n = b^n + (b-1)b^n(b+1) \)
\( b^n = b^{n-k} + b^{n-k}( b^k-1) \) (i).
\( b^{n+2} = b^{n+k} + b^n( b^2- b^k) \) (ii).
El teorema de Fermat y la conjetura de Beal no hubieran tenido tanta repercusión.
Si no contesta no hay feedback.
Intento hacerle caso a sus sabias críticas.
Siempre que se entiendan. Aunque errores argumentales. Me cuesta entender.
Además si lo razona a modo de vaso rosa. Pues entonces me pierdo.
Es somo si me dices que en ningún libro explica como se echa agua en un vaso rosa y tu has "descubierto" como se hace; y que con eso mucha menos gente se hubiera muerto de sed.
\( b^{n+2} = b^{n}+a^m + (b+1)b^n( b-1)-a^m \) donde \( b^{n}+a^m = c^f \) y
\( \color{red}(b+1)b^n( b-1)-a^m =(c-1)c^f(c+1)\color{black} \). Entonces:
\( b^{n+2} = b^{n}+a^m + (b+1)b^n( b-1)-a^m \) donde \( b^{n}+a^m = c^f \) y
\( (b+1)b^n( b-1)-a^m =(c-1)c^f(c+1) \). Entonces:
Considero que toda potencia mayor o igual a 3 cumple con \( c^{f+2} = c^f + (c-1)c^f(c+1) \).
En relación a la entidad. con \( c^{f+2} = c^f + (c-1)c^f(c+1) \). Si quizás sea trivial, pero ahora que la conocemos. Entenderla es fácil al igual que entender:
\( (a+b)^3 = a^3 +3ab(a+b)+b^3 \). Pero y que, ¿que sea facil o no de entender?
Porque si toda potencia cumple con la entidad, entonces no puede existir:
\( d^{f+2} = k^f + (c-1)c^f(c+1) \) donde K y c no tienen factores comunes.
si \( c^f \) es igual a \( a^n+b^m \) entonces.
\( c^{f+2} \) es igual a \( ¿? \).
si \( c^f \) es igual a \( a^n+b^m \) entonces.
\( c^{f+2} \) es igual a \( ¿? \).
Es igual a \( c^2(a^n+b^m)=c^2a^n+c^2b^m \).
Gracias a manooooh y a Luis.
Efectivamente es \( c^2(a^n-b^m) \).
Entonces sea \( a^n-b^m=c^f \).
Intentemos igualar \( c^2(a^n-b^m) = c^{f+2} \) siendo inicialmente a y b coprimos.
\( c^2(a^n-b^m) = a^n-b^m +(((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^{1/f}))+1) \).
\( c^{f+2} = c^f + (c-1)c^f(c+1) \).
Igualo:
\( a^n-b^m +(((a^n-b^m)^{1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^{1/f})+1) = c^f + (c-1)c^f(c+1) \);
\( (((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^ {1/f})+1) = (c-1)c^f(c+1) \);
\( (((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^ {1/f})+1) = (c-1) (a^n-b^m) (c+1) \);
Hacemos el despeje en http://www.wolframalpha.com/calculators/equation-solver/
Lanza tres posibles soluciones:
\( a = (b^m)^{1/n} \).
\( a = (b^m + (-c)^f)^ {\color{red}1/f\color{black}} \).
\( a = (b^m + c^f)^ {\color{red}1/f\color{black}} \).
De la primera deducimos que a y b deben tener un factor común. Pero al mismo tiempo implicaría que \( c^f = 0 \). Por lo tanto, ¿podemos interpretar que siendo a y b primos relativos, en este caso concreto es imposible que \( c^2(a^n-b^m) = c^{f+2} \)?
1. \( a^{n+k} =a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^n-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^{n+k} + (a+d)^m=(a+b)^n \)
\( a^{n+k} = a^{n} + a^{n}( a^k-1) \) Entidad (i)
1. \( a^{n+k} =a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
(i) \( a^{n+k} = a^n + a^{n}( a^k-1) \).
Si igualo tal que:
\( ((a+b)^n-a^n-b^n)+c = a^{n}( a^k-1) \)
¿Luis, las matemáticas lo permiten? ¿Es un pelin forzado?
Si se cumple la igualdad, suponiendo que c tiene un factor común de a, entonces b seria igual a un grupo de variables, todas ellas a. ¿cierto?
HolaGracias a manooooh y a Luis.
Efectivamente es \( c^2(a^n-b^m) \).
Entonces sea \( a^n-b^m=c^f \).
Aunque es totalmente análogo, ahora pones \( a^n-b^m=c^f \) y antes habías puesto (cuando hiciste la pregunta) \( a^n+b^m=c^f \). Es mejor evitar estos cambios para no liarnos.CitarIntentemos igualar \( c^2(a^n-b^m) = c^{f+2} \) siendo inicialmente a y b coprimos.
Si; ahí comienzas multiplicando \( a^n-b^m=c^f \) a ambos lados por \( c^2 \); con esto introduces una posible solución adicional y trivial que es \( c=0 \).Citar\( c^2(a^n-b^m) = a^n-b^m +(((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^{1/f}))+1) \).
\( c^{f+2} = c^f + (c-1)c^f(c+1) \).
Igualo:
\( a^n-b^m +(((a^n-b^m)^{1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^{1/f})+1) = c^f + (c-1)c^f(c+1) \);
\( (((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^ {1/f})+1) = (c-1)c^f(c+1) \);
\( (((a^n-b^m)^ {1/f})-1)(a^n-b^m)(((a^n-b^m)^ {1/f})+1) = (c-1) (a^n-b^m) (c+1) \);
Hacemos el despeje en http://www.wolframalpha.com/calculators/equation-solver/
Lanza tres posibles soluciones:
\( a = (b^m)^{1/n} \).
\( a = (b^m + (-c)^f)^ {\color{red}1/f\color{black}} \).
\( a = (b^m + c^f)^ {\color{red}1/f\color{black}} \).
Has copiado mal las dos últimas soluciones; son:
\( a = (b^m + (-c)^f)^ {\color{red}1/n\color{black}} \).
\( a = (b^m + c^f)^ {\color{red}1/n\color{black}} \).CitarDe la primera deducimos que a y b deben tener un factor común. Pero al mismo tiempo implicaría que \( c^f = 0 \). Por lo tanto, ¿podemos interpretar que siendo a y b primos relativos, en este caso concreto es imposible que \( c^2(a^n-b^m) = c^{f+2} \)?
Fíjate que que el Wolfram presente tres soluciones no quiere decir que se den las tres a la vez, sino que sea da una de las tres.
Si el pones al Wolfram que resuelva \( x^2-3x+2=0 \) te saldrá \( x=1 \) y \( x=2 \)pero no quiere decir que \( x \) al mismo tiempo valga \( 1 \) y \( 2 \) (lo cual sería imposible) sino que son dos valores distintos de \( x \) que resuelven la ecuación.
La primera efectivamente corresponde al caso \( c=0 \), solución que introdujimos artificialmente al multiplicar por \( c^2 \) ambos miembros de la ecuación original.
La segunda es consecuencia de que aparezca un \( c^2 \) al que Wolfram saca la raíz cuadrada y contemple la posibilidad de tomar la raíz negativa.
La tercera:
\( a = (b^m + c^f)^ {\color{red}1/n\color{black}} \).
es simplemente despejar \( a \) en la ecuación original: \( a^n-b^m=c^f \)... ¡para ese viaje no hacía falta alforjas!. Es decir para llegar a esa conclusión bastaba despejar directamente en la ecuación primitiva sin tanto rollo.
¿Conclusión de todo esto? Ninguna.
Saludos.
Hola.
Si que entendido la critica. Pero viendo la ecuación 1, despejemos c, c tiene un factor común con a, es decir:
1. \( a^{n+k} =a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^n-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^{n+k} + (a+d)^m=(a+b)^n \)
\( a^{n+k} = a^{n} + a^{n}( a^k-1) \) (i)
1. \( a^{n+k} =a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
\( c = a^{n+k} - (a + b)^n + b^n \)
¿c tiene un factor común con a? Observemos que \( -b^n \) apliquemos el triágulo de Pascal y \( b^n \) se anualan por tanto:
\( c = a^{n+k} -a^n - ab(...) -b^n +b^n \); \( c = a^{n+k} -a^n - ab(...) \)
Si en una ecuación polínomica de tres variables enteras, donde todas ellas aparecen aisladas en algún término, y sin fracciones supones que dos de ellas tienen factor común, la tercera también tendrá un factor común con las otras dos. Eso es una trivialidad. El problema está en ese "suponiendo que \( c \) tiene un factor común de \( a \)"; no sabemos si \( c \) y \( a \) tienen un factor común.
Hola.
1. \( a^{n+k} =a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^n-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^{n+k} + (a+d)^m=(a+b)^n \)
\( a^{n+k} = a^{n} + a^{n}( a^k-1) \) (i)
1. \( a^{n+k} =a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
(i) \( a^{n+k} = a^n + a^{n}( a^k-1) \).
Si igualo tal que:
\( ((a+b)^n-a^n-b^n)+c = a^{n}( a^k-1) \)
De 1 hacemos el despeje y c tiene un factor común de a.
La relación de a y b, después hablo de ella. En principio hasta aqui bien. ¿Cierto?
1. \( a^{n+k} =a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)+c \) donde n es mayor o igual que 3.
2. \( (a+d)^m=b^n-c \) donde m es mayor o igual que 3.
3. \( a^{n+k} + (a+d)^m=(a+b)^n \)
De 1 afirmo que c tiene un factor común de a:
\( c = a^{k + n} - (a + b)^n + b^n \)
Pues bien, igualo 1 con la entidad (i) \( a^{n+k} = a^n + a^{n}( a^k-1) \).
\( ((a+b)^n-a^n-b^n)+c = a^{n}( a^k-1) \)
Consideremos que \( a^{n}( a^k-1) \) (ii) no es más que un contador de potencias. Pero solo de potencias de \( a^{n} \).
¿Hay potencias en \( ((a+b)^n-a^n-b^n)+c \)? Si pero de a y b. Pues para que esta ecuación sea (ii) solo tien que haberlas de a. Entonces b no pude ser un primo relativo de a, porque en ese caso el conteo de las potencias seria de tres potencias. ¿Cierto?
Porque, si a y b, son primos relativos, entonces la ecuación sería:
\( ((a+b)^n-a^n-b^n)+c \); \( ((d)^n-a^n-b^n)+c \) siendo d, a y b, primos relativos todos ellos. Eso nos situa muy lejos del conteo inicial que queremos obtener:
\( a^{n}( a^k-1) \).
Para convencerte con un ejemplo basta que escojas \( a,b \) sin factores comunes y los exponentes que te de la gana y tomes:
\( c=a^{n+k} -(a^n+((a+b)^n-a^n-b^n)) \)
\( ab(3(a+b))= a^{3}( a^k-1) -c \). (*)
Si a es potencia enensima en \( ab(3(a+b)) \) es porque b tiene un factor común con a. O \( (3(a+b)) \) es igual a un número con factor común de a. En los dos casos implica que b y a tienen un factor común. ¿Cierto?
Trabájete uno, dos, tres o más ejemplos, los que necesites, según te indico y verás que de la ecuación (1) es imposible deducir que \( b
[/quote]
Es decir en [color=red](*)[/color] escoge un valor de [tex]a \) cualquiera, otro de \( b \) cualquiera coprimo con \( a \) y el que quieras a \( k \). Despeja \( c \) y tendrás une ejemplo donde se verifica la ecuación y \( a \) y \( b \) no tienen factores comunes.
Saludos.
Aunque de 3. \( a^{n+k} + (a+d)^m=(a+b)^n \).
Si \( a^{n+k} + a^m + ma^{m-1}b…+ mab^{n-1} + d^m \) (iii) es potencia, entonces es igual;
De 3.
3. \( a^{n+k} + (a+d)^m=(a+b)^n \); Dicha expresión es igual a:
3. \( a^{n+k} + (a-1)a^{n+k}(a+1)= a^{n+k+2} \).
\( (a+d)^m = (a-1)a^{n+k}(a+1) ; d = (a^{k + n + 2} - a^{k + n})^{1/m} – a \).
\( (a+b)^n = a^{n+k+2}; b = (a^{k + n + 2})^{1/n} - a \).
Toda potencia, por ser potencia puede descomponerse en:
\( a^{n+k+2} = a^{n+k} + (a-1)a^{n+k}(a+1) \).
Para cada \( a^{n+k} \) existirá un solo \( (a-1)a^{n+k}(a+1) \) y un solo \( a^{n+k+2} \).
Es decir \( 3^5 = 3^3 + 6^3 \). Si mantenemos el \( 3^3 \) tal que:
\( 3^5 ± s = 3^3 + 6^3 ± s \) y asigno valores a la variable s. ¿Qué ocurre?
\( (a+d)^m ± s = (a-1)a^{n+k}(a+1) \).
\( (a+b)^n ± s = a^{n+k+2} \).
\( (a+d)^m+(a+b)^n=(a-1)a^{n+k}(a+1)+ a^{n+k+2} \).
\( d^m+b^n=a(); b^n=a()-d^m \).
\( (a+d)^m ± s = (a-1)a^{n+k}(a+1) \).
\( (a+b)^n ± s = a^{n+k+2}; a^n+…+b^n ± s = a^{n+k+2}; a^n+…+ a()-d^m ± s = a^{n+k+2} \);
Entonces:
\( (a+d)^m ± s = (a-1)a^{n+k}(a+1) \).
\( a^n+…+ a()-d^m ± s = a^{n+k+2} \).
\( a^m+…+ d^m ± s = (a-1)a^{n+k}(a+1) \).
\( a^n+…+ a()-d^m ± s = a^{n+k+2} \).
Hacemos la suma de las dos ecuaciones la d se anula y s tiene un factor común con a.
\( t^{n+2} = t^{n} + (t-1)t^{n}(t+1) \). (i)
Luis que si, que no es más que una entidad. Por cierto, ¿existen más entidades de este tipo que relacionen potencias?
En todas las ecuaciones tal que \( a^x = b^y +c^z \) hay una potencia tal que \( (k+l)^h \).
Desde esta premisa,
consideremos que:
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
En esta ecuación concreta fijemos \( (a+b)^n \) y consideremos que \( (a+b) \) se descompone en números, primos y no primos. Pues si en esta descomposición existe un número tal que cumple con \( (k-1) (k+1) \). Osea si \( (a+b)^3 = f*g*… \). Si \( f*g*… \), alguno de ellos satisface a \( (k-1) (k+1) \). todas las variables con números naturales positivos, entonces.
\( (a+b)^{n+2} ± c=(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) ± c \).
\( D^{n+2} =(a+b)^n + Z^n \);
\( D^{n+2} =(k-1) f^n(k+1) + Z^n \). (ii)
Si (i) es condición cierta en todas las potencias, entonces en (ii) no será una excepción, consecuentemente Z y D tienen un factor común con f. Si no lo tuvieran no seria una potencia.
De 3.
3. \( a^{n+k} + (a+d)^m=(a+b)^n \); Dicha expresión es igual a:
3. \( a^{n+k} + (a-1)a^{n+k}(a+1)= a^{n+k+2} \).
\( (a+d)^m = (a-1)a^{n+k}(a+1) ; d = (a^{k + n + 2} - a^{k + n})^{1/m} – a \).
\( (a+b)^n = a^{n+k+2}; b = (a^{k + n + 2})^{1/n} - a \).
MAL.
De \( A+B=C \) y \( A+B'=C' \) no se deduce que \( B=B' \) y \( C=C' \).
Esa frase no tienen sentido.
En todas las ecuaciones tal que \( a^x = b^y +c^z \) hay una potencia tal que \( (k+l)^h \). Intento decir que, debido a la paridad de los números, entre las bases, habrá una base par. Con esa base par la podemos expresar tal que \( (k+l)^h \).
Desde esta premisa, consideremos que:
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
En esta ecuación concreta fijemos \( (a+b)^n \) tal que:
\( (a+b)^{n+2} ± c=(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) ± c \).
\( D^{n+2} =(a+b)^n + Z^n \); (ii).
Pienso que por tener:
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
Tal vez exista:
\( D^{n+2} =(a+b)^n + Z^n \) (ii).
Que no es más que:
\( (a+b)^{n+2} ± c=(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) ± c \).
Si (i) es condición necesaria, entonces en (ii) no será una excepción, consecuentemente Z y D tienen un factor común con \( (a+b)^n \). Si no lo tuvieran no seria una potencia.
De \( A+B=C \) y \( A+B'=C' \) no se deduce que \( B=B' \) y \( C=C' \).
Hola.
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
Consideremos que \( (a+b)^n = (a-1)(a^n)(a+1) \) (iii);
\( b = (a^{n+2} - a^n)^{1/n} – a \).
Pero claro, si establecemos (iii) nos reducimos solo al caso de que \( (a+b)^n = (a-1)(a^n)(a+1) \) e indirectamente:
\( (a)^{n+2} = a^n + (a-1)(a^n)(a+1) \).
\( (a+b)^{n+2} ± c= (a)^{n+2} \).
\( a^n=(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) ± c \).
Luis, ese indirectamente, ¿es deducible?
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
Consideremos que \( (a+b)^n = (a-1)(a^n)(a+1) \) (iii);
\( b = (a^{n+2} - a^n)^{1/n} – a \).
Pero claro, si establecemos (iii) nos reducimos solo al caso de que \( (a+b)^n = (a-1)(a^n)(a+1) \) e indirectamente:
\( ¿?^{n+2} = ¿?^{n} + (a-1)(a^n)(a+1) \)
\( (a)^{n+2} = a^n + (a-1)(a^n)(a+1) \).
\( ¿?^{n+2} = (a+b)^{n+2} ± c= (a)^{n+2} \).
\( ¿?^{n} = a^n=(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) ± c \).
Luis, ¿se puede deducir?, que si \( (a+b)^n = (a-1)(a^n)(a+1) \) entonces existirá la ecuación tal que, \( ¿?^{n+2} = ¿?^{n} + (a-1)(a^n)(a+1) \)
Aunque si \( (a+b)^n = (d-1)(d^n)(d+1) \); (iii)
Siendo: \( (d)^{n+2} =(d)^n+(d-1)(d)^n(d+1) \);
\( (d-1)(d)^n(d+1) = d^{n+2} - (d)^n \);
Volviendo a (iii).
\( (a+b)^n = (d-1)(d^n)(d+1) \); (iii)
\( (a+b)^n = d^{n+2} - (d)^n \);
\( (d)^n + (a+b)^n = d^{n+2} \);
¿Es trivial que \( (a+b)^n \) sea multiplo de d?
Si Luis entendido. Si dos de los cocientes son números naturales el tercero tambien lo es por ser suma o resta de enteros.
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
Consideremos que \( (a+b)^n = (d-1)(d^n)(d+1) \) (iii);
\( (a+b)^n = d^{n+2} – d^n \);
\( (a+b)^n = (d^2 - 1) d^n \);
Vuelvo a la ecuación inicial:
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \);
\( (a+b)^{n+2} =(d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \); (iii).
Hacemos la suposición de que existe (iv) tal que:
\( d^{n+2} +c =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \); (iv).
Igualo (iii) y (iv) tal que:
\( (a+b)^{n+2} = d^{n+2} +c \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \).
Recordemos que \( (a+b)^n = (d^2 - 1) d^n \).
¿Entonces c es múltiplo de d?
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
\( (a+b)^n = (d-1)(d^n)(d+1) \).
Si se cumplen ambas premisas podemos afirmar que la conjetura es cierta.
\( (a+b)^3 =a+b+(a+b-1)(a+b)(a+b+1) \). (i)
\( (a+b)^3 =a^3+3ab(a+b) +b^3 \).
\( (a+b)^3 =a^3+ b^n \). (ii)
\( (a+b)^3 =a^3 – c +3ab(a+b) + b^3+ c \). (iii)
Igualemos (i) y (iii) tal que:
\( a+b = a^3 – c \).
\( (a+b-1)(a+b)(a+b+1) = 3ab(a+b) + b^3+ c \). Hacemos el despeje de b.
\( b = a^3 - a – c \).
De (ii) y (iii) deducimos que c es múltiplo de b, es decir:
\( b^n =3ab(a+b) + b^3+ c \).
Entonces b y a son múltiplos. ¿Cierto?
Ahí no sólo es que iguales (i) y (iii) sino que impones una cierta igualdad en tres los dos términos de la derecha de cada ecuación, lo cual todavía es una imposición más fuerte¿Y que? No vulnero ningún principio matemático. ¿Cierto?
Lo que sabes es que a y b tienen factores comunes. Pero eso lo sabes desde el momento que supones que se cumple (ii).
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \).
\( (a+b)^n = (d-1)(d^n)(d+1) \).
Recordemos la sistematica de la respuesta 146. Entonces:
\( d^{n+2} +c =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \).
Si d y c son múltiplos. Asignemos valores a las variables tal que:
\( d^{n+2} +c =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \).
\( d^{m} =d^n +d^t \). (iv)
Quizas haya más posibles combinaciones. Aunque si c y d son múltiplos, las bases de (iv) son múltiplos. Cumpliendose la conjetura de Beal.
CitarAhí no sólo es que iguales (i) y (iii) sino que impones una cierta igualdad en tres los dos términos de la derecha de cada ecuación, lo cual todavía es una imposición más fuerte¿Y que? No vulnero ningún principio matemático. ¿Cierto?
\( (a+b)^3 =a+b+(a+b-1)(a+b)(a+b+1) \). (i)
\( (a+b)^3 =a^3+3ab(a+b) +b^3 \).
\( (a+b)^3 =a^3+ b^n \). (ii)
Si pero es trivial que \( 3ab(a+b) +b^3 = b^n = b^k v^k \).
Es decir, si \( 3ab(a+b) +b^3 \) es igual a potencia, entonces entre sus productos estará b.
Lo que sabes es que a y b tienen factores comunes. Pero eso lo sabes desde el momento que supones que se cumple (ii).
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \);
Consideremos que \( (a+b)^n = (d-1)(d^n)(d+1) \) (iii);
\( (a+b)^n = d^{n+2} – d^n \);
\( (a+b)^n = (d^2 - 1) d^n \);
Vuelvo a la ecuación inicial:
\( (a+b)^{n+2} =(a+b)^n+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \);
\( (a+b)^{n+2} =(d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) \); (iii).
Hacemos la suposición de que existe (iv) tal que:
\( d^{n+2} +c =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \); (iv).
Igualo (iii) y (iv) tal que:
\( (a+b)^{n+2} = d^{n+2} +c \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) =(d-1)(d^n)(d+1)+d^n +c \). (*)
Recordemos que \( (a+b)^n = (d^2 - 1) d^n \).
De (*):
\( d^n = A^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+c = B^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) = C^x \).
Aunque:
\( d^n = A^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1) = B^x \).
\( (d-1)(d^n)(d+1)+(a+b-1)(a+b)^n(a+b+1) + c = C^x \).
Aunque pueden adoptar más posibles distribuciones, pero, con la condición de que todas las variables tienen un factor común.
Las variables d, a+b, c todas ellas son múltiplos entre si. Por lo tanto, de (*), cualquier combinación de potencias a modo de conjetura de Beal, cumplirían la conjetura.
Centremonos en:
\( 3ab(a+b) +b^3 \) porque los demás miembros son potencias.
Si \( 3ab(a+b) +b^3 \) es potencia, entre los términos de su producto aparecerá b.
\( 3ab(a+b) ± c +b^3 ± c \);
Igualo con \( (b-1)b(b+1) + b^n \) (n ≥ 2). tal que;
\( 3ab(a+b) ± c = (b-1) b^n (b+1) \).(*) donde n ≥ 2.
\( b^3 ± c = b^n; ± c = b^n - b^3 \).(i*)
De (*) hacemos el despeje de c: (suposición n = 2) pude adoptar cualquier entero mayor.
\( ± c = b (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \);
\( ±c = b (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \). (ii*)
Igualo (i*) y (ii*);
\( b^n - b^3 = b (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \);
\( b^{n-1} - b^2 = (-3 a^2 - 3 a b + b^3 - b) \);
Entonces \( a \) y \( b \) son múltiplos.
Hola.
\( A^x +B^y = C^z \). Siendo C un número natural par.
\( A^x +B^y = (a+b)^z \). a y b son pares o impares los dos.
\( A^x = a^z \).
\( B^y = b^z + (a+b)^z –a^z –b^z \). Deducimos que \( b^z \) es múltiplo de \( B^y \).(i)
\( B^y \) es una potencia tal que:
\( B^y = B^{y-2} + (B-1) B^{y-2} (B+1) \). (ii) Por tanto igualo (i) y (ii) tal que:
\( B^{y-2} = b^z - c \) (iii) y \( (B-1) B^{y-2} (B+1) = (a+b)^z –a^z –b^z + c \) (iv).
De (i) deducimos que \( b^z \). es múltiplo de \( B^y \). Entonces de (iii) observemos que c es múltiplo de b.
Consecuentemente de (iv):
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) +b^z -c = (a+b)^z –a^z \) (v).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) +b^z -c \) es multiplo de \( b^z \) y cumpliendo con (v) \( (a+b)^z –a^z \) es multiplo de \( b^z \). Consecuentemente a y b tienen algún factor común primo. ¿Cierto?
De acuedo con Luis, \( B^y \) es múltiplo de \( b \).
Si es múltiplo entonces \( B^y = (b·k·g·…)^y \). ¿Cierto?
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) + b^z - B^{y-2} \). Dividimos todo entre b.
\( (B-1) B^{y-2} (B+1)b^{-1} = 2 a (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) + b^{z-1} - B^{y-2}·b^{-1} \).
¿Que ocurre si volvemos a dividir entre b?
Luis decía que \( B^y \) es múltiplo de b. Pues entonces existirá:
\( B^y = k^yb^y \).
FALSO en general.
Por ejemplo \( 6^3 \) es múltiplo de \( 27 \), pero \( 6^3 \) no es igual a \( (27\cdot k)^3 \).
Luis el ejemplo no se ajusta a:
\( B^3 - b^3 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \);
Mi sensación es que continuamente no entendéis que el hecho de que unas premisas y una conclusión sean ciertas, no quiere decir que el argumento que se supone que llevó de unas a otras sea correcto.
Por ejemplo. Uno puede considerar las premisas:
A- Los felinos tienen cuatro patas.
B- Un gato tiene cuatro patas.
y de ahí decir: "por tanto
C- Un gato es un felino".
Es cierto que un felino tiene cuatro patas, es cierto que un gato tiene cuatro patas, y es cierto que un gato es un felino, pero lo que no está bien es que el hecho de que un gato sea un felino se deduzca únicamente que del hecho de que el gato y los felinos tengan cuatro patas.
Siguiendo con la analogía cuando yo te digo que para \( n=2 \) o para los irracionales tu "argumento" claramente falla, es como si yo te dijese en este caso si tu razonamiento estuvise bien se podría deducir que:
A- Los felinos tienen cuatro patas.
B- Un perro tiene cuatro patas.
y por tanto:
C- Un perro es un felino.
Lo cual ahora es falso; un perro no es un felino. Y tu simplemente dices, "no es que yo ya dije antes que los perros no eran felinos". ¿Y qué?. Lo que digo es que el mismo esquema de razonamiento que empleas para los gatos, empleados para los perros lleva a una conclusión errónea. Entonces el esquema de razonamiento está mal.
Sea \( (b-1)b(b+1)+b \) (i).
Intentemos obtener (i) con solo uno de sus términos de suma sin un factor común.
\( (b-1)b(b+1)+b \) por ejemplo \( (3-1)3(3+1)+3 = 2·3·4+3 = 2·3·4 + 1+2 \).
Con las premisas mostradas hay dos sumandos que no tienen el factor común de 3. Pero qeueremos que solo haya un número que no tenga el factor común.
Probemos con \( 2·3·4+3 = 3·4+3·4+3 \) tampoco.
Probemos con \( 2·3·4+3 = 2·(1+2)·4 +3 = 8 +16 +3 \) tampoco.
¿Con esta sistematica podemos afirmar que no podemos obtener solo un número sin un factor común a modo de suma desde esta ecuación? A priori son dos los números sin factor común. Parece imposible obtener un número sin factor común de \( (b-1)b^n(b+1)+b^n \). ¿Cierto?
\( A^x +B^y = C^z \). Siendo C un número natural par. A y B son impares.
\( A^x +B^y = (a+b)^z \). a y b son pares o impares los dos.
\( A^x = a^z \).
\( B^y = b^z + (a+b)^z –a^z –b^z \). Deducimos que \( B^y \) es múltiplo de \( b \).(i) Recordemos que \( B^y \) es impar. Entonces \( b \) también es impar.
\( B^y \) es una potencia tal que:
\( B^y = B^{y-2} + (B-1) B^{y-2} (B+1) \). (ii) Por tanto igualo (i) y (ii) tal que:
\( B^{y-2} = b^z - c \) (iii) y \( (B-1) B^{y-2} (B+1) = (a+b)^z –a^z –b^z + c \) (iv).
Observemos la siguiente secuencia (*):
\( (a+b)^3-a^3-b^3 = 3 a b (a + b) \).
\( (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( (a+b)^5-a^5-b^5 = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) \).
\( (a+b)^7-a^7-b^7 = 7 a b (a^5 + 3 a^4 b + 5 a^3 b^2 + 5 a^2 b^3 + 3 a b^4 + b^5) \).
Introduzco \( (B-1) B^{y-2} (B+1) = (a+b)^z –a^z –b^z + c \) (v). Sustituyo la secuencia (*). Consideremos por ejemplo \( (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) + c \). Sustituyo c.
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) + b^z - B^{y-2} \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) + B^{y-2} - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) - B^{y-2}+ b^z \).
\( (B-1) B^{y-2} (B+1) + B^{y-2} - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
\( B^y - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
¿Es incorrecto considerar que \( B^y= b^j·m^t \)?
\( b^j·m^t - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \) donde j y t es igual o mayor que y.
SpoilerBien. Partimos de que:
\( A^x+B^y=C^z \)
y con tus restricciones y notación:
\( A^x=a^z,\qquad C^z=(a+b)^z \)
De ahí lo que sabemos es que:
\( B^y=C^z-A^x=(a+b)^z-a^z \)
y que tu escribes sumando y estando un término como:
\( B^y=b^z+(a+b)^z-a^z-b^z \)[cerrar]
Pero de ahí NO se deduce que \( b^z \) es múltiplo de \( B^y \). Lo que se deduce es que \( b \) es un divisor de \( B^y \) o equivalentemente que \( B^y \) es un múltiplo de \( b \), dado que \( (a+b)^z-a^z \) es múltiplo de \( b \):
De acuedo con Luis, \( B^y \) es múltiplo de \( b \).
Si es múltiplo entonces \( B^y = (b·k·g·…)^y \). ¿Cierto?
FALSO en general.
Por ejemplo \( 6^3 \) es múltiplo de \( 27 \), pero \( 6^3 \) no es igual a \( (27\cdot k)^3 \).
HolaLuis decía que \( B^y \) es múltiplo de b. Pues entonces existirá:
\( B^y = k^yb^y \).
Te acabo de decir que NO es así en mi mensaje anterior y te he puesto un ejemplo:FALSO en general.
Por ejemplo \( 6^3 \) es múltiplo de \( 27 \), pero \( 6^3 \) no es igual a \( (27\cdot k)^3 \).
Es decir \( B=6 \), \( y=3 \), \( b=27 \) se cumple que \( B^3=6^3=216=27\cdot 8 \) es múltiplo de \( b=27 \), pero no es cierto que \( 6^3=(k^3\cdot 27^3) \) para ningún valor entero de \( k \).
Pues no lo entiendo.
Porque si \( a=b^xc^yd \) siendo b,c,d números coprimos entre ellos y x y d números naturales. Entonces:
\( a^3=b^{3x}c^{3y}d^3 \) entonces implica que cualquier número del producto que este incluido en \( a^3 \) tiene que ser potencia.
1) ¿Entiendes las objecciones que hago a tus intentos de demostración?.
2) ¿Cuándo no entiendes alguna objección concreta vuelves a preguntarme sobre ella para contraargumentarla o intentar que te la explique mejor?.
3) ¿Has entendido que By múltiplo de b, NO implica que By sea múltiplo de bj con j>1?.
4) Si no lo has entendio, ¿por qué no me has preguntado de nuevo sobre ese punto o lo has contraargumentado? (me refiero sobre ese punto concreto, no volver a escribir otras cosas).
Hola.
Porque si \( a=b^xc^yd \) siendo b,c,d números coprimos entre ellos y x y d números naturales. Entonces:
\( a^3=b^{3x}c^{3y}d^3 \) entonces implica que cualquier número del producto que este incluido en \( a^3 \) tiene que ser potencia.
5) Si lo habías entendido, ¿cómo es posible entonces que reincidas en el error tres veces más?.
Citar1) ¿Entiendes las objecciones que hago a tus intentos de demostración?.
En general si. Aunque hay algunas, por ejemplo, \( B^4=b·m \) y que b no sea necesariamente potencia. Con estas premisas me cuesta entender las objecciones.
En general si, aunque, en algunas premisas cuesta entender. A veces no entiendo sus explicaciones. Tambien es cierto que soy un pelin impulsivo y deberia reflexionar un pelin sus indicaciones.
Citar3) ¿Has entendido que By múltiplo de b, NO implica que By sea múltiplo de bj con j>1?.
No, no lo entendido.Citar4) Si no lo has entendio, ¿por qué no me has preguntado de nuevo sobre ese punto o lo has contraargumentado? (me refiero sobre ese punto concreto, no volver a escribir otras cosas).
Interpreto que \( B^4=b^4m^4 \) no tiene porque se cierto. Pero interpreto que \( B^4=b^k·m^v \) si que puede ser cierto.
Porque si \( a=b^xc^yd \) siendo \( b,c,d \) números coprimos entre ellos y x y d números naturales. Entonces:
\( a^3=b^{3x}c^{3y}d^3 \) entonces implica que cualquier número del producto que este incluido en \( a^3 \) tiene que ser potencia.
De la respuesta 310.
\( B^y - b^z = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) \).
Consideremos dos premisas:
i) \( b = k^y \). Consecuentemente, \( B^y = k^y·m^y \).
\( k^y·m^y – k^{y·z} = 2 a k^y (2 a^2 + 3 a k^y + 2 k^{2·y}) \).
¿De lo expuesto se deduce que he entendido sus indicaciones?
ii) \( b = b \). Donde b es un número primo.
\( B^y \) es múltiplo de b. Si b es primo entonces, \( B^y = b^y·m^y \).
¿Luis, estás de acuerdo? De tu afirmación o no, se deduce que entendido o no tus indicaciones.
\( a^x + b^y = (A+B)^z \);
\( \color{red} A^x = a^z \color{black} \).
\( b^y \) es múltiplo de \( B \).
Por medio de \( a^x + b^y \) intento obtener \( (A+B)^z \). Tal que:
\( a^x + (b-1)b^{ y-2}(b+1) + b^{ y-2} \). Suponiendo que \( y \) es mayor que \( z \). Y que \( x \) y \( z \) son iguales.
Supongo que los exponentes \( \color{red}y – 3 = k = x\color{black} \).
\( a^x + (b-1)b^{ y-2}(b+1) + b^{ y-2} \);
\( a^x + (b-1)b^{ y-2}(b+1)+ b^{y-3}·(b-1)+ b^{y-3} \);
\( a^x + (b-1)b^{ y-2}(b+1)+ b^{y-3}·(b-1)+ b^{k} \);
\( a^x + (b-1)b^{ y-2}((b+1+ b^{y-1})+ b^{k} \);
(b-1)b^{y-2}(b+1)+b^{y-3}(b-1)=(b-1)[b^{y-2}(b+1)+b^{y-3}]=(b-1)b^{y-3}(b^2+b+1)
\( (b-1)b^{ y-2}((b+1+ b^{y-1}) = (b - 1) b^{y – 3} (b^y + b^2 + b) \);
Luis, de \( a^x+b^y=(a+B)^x \) descomponer \( b^y \) hasta obtener la suma tal que \( b^y = d +B^x \). Es decir:
\( a^x+b^y= a^x + d +B^x \). Entonces aplicar el triangulo de Pascal, tal que d es igual a una de las siguientes ecuaciones:
\( (a+b)^3-a^3-b^3 = 3 a b (a + b) \).
\( (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) = 2·a·b ((2(a^2+b^2)+3ab) \).
\( (a+b)^5-a^5-b^5 = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) \).
\( (a+b)^7-a^7-b^7 = 7 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2)^2 \).
Entonces:
\( b^y = d +B^x; d = b^y-B^x \). Si por ejemplo x es igual a cinco.
\( d = b^y-B^x = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) \).
Si \( b^y \) es múltiplo de B, y q es el factor común. Consecuentemente:
\( d = b^y-B^x = q^x() = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) \).
b pose el factor común q, pero si a no lo posee, entonces la suma de a y b tampoco.
Consecuentemente \( (a^2 + a b + b^2) \) no posee el factor común.
\( d = b^y-B^x = \color{red}q^ñ(q-1)\color{black} = 2 a B (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) \).
En \( 2 a B (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) \) necesito \( q^ñ \). B tiene el factor común q. Pero no es suficiente para obtener \( q^ñ \). Suponiendo que \( a \) no tiene factor común con B, entonces a tampoco tendrá un factor con q. En consecuencia \( (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) \) de esta suma tampoco obtenemos el q que neceito para obtener \( q^ñ \). ¿Cierto?
Pues bien, planteo la conjetura de Beal tal que:
\( (a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \);
\( (a)^n= a^3+3ab(a+b) +c \) (iv);
\( (d)^m= b^3 - c \);
\( (a)^n+(d)^m = (a+b)^3 \).
(iii) Es una identidad que se cumple siempre. Por lo tanto (iv) debe cumplir con (iii). Porque \( (a)^n \) el exponente n es mayor o igual que 5 aunque puede ser 4. Supongo que es 5. Por lo tanto (iv) puede adoptar alguna de estas ecuaciones \( (a)^n= a^3+(a-1)a^3(a+1) \). Consecuentemente, \( (a)^n= (a-1)a(a+1)+a+(a-1)a^3(a+1) \). Cierto?
Luis decía que \( (a)^n= a^3+3ab(a+b) +c \) puede ser igual a \( s^n(a)^n= a^3+3ab(a+b) +c \) (a y b no tendrían un factor común). Cierto, es un caso que puede existir. Pero entonces (iv) seria \( s^n(a)^n= a^3+3ab(a+b) +c \) ecuación que no procede en el caso que se pretende analizar, el que se quiere analizar es la ecuación (iv) original. Cierto?
Hola.
\( (a)^n= a^3+3ab(a+b) +c \) (i);
\( (d)^m= b^3 - c \);
\( (a)^n+(d)^m = (a+b)^3 \).
De (i) obtenemos que c tiene un factor común con a. Consecuentemente:
(i) \( (a)^n= a^3+3ab(a+b) +c \);
\( (a)^n= a(a^2+3b(a+b) +c/a) \).
Para que se cumpla (i) la ecuación \( (a^2+3b(a+b) +c/a) \) debe ser igual a una potencia de a.
Hola.
\( a(a+1)(a+2) + a(a+1)(a+2) = (2a+2)a(a+2) \);
\( a(a+1)(a+2) + (a+1)(a+2)(a+3) = (2a+3)(a (a + 3) + 2) \);
\( (a(a+1)(a+2) + (a+2)(a+3)(a+4))= (2a + 4) (a (a + 4) + 6) \);
\( a(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)(a+5)) =(2 a + 5) (a (a + 5) + 12) \);
\( a (a + 1) (a + 2) + (a + 4) (a + 5) (a + 6) = (2a +6) (a (a + 6) + 20) \) (iii);
\( (2a +6) (a (a + 6) + 20) \) (i);
Mediante la secuencia de ecuaciones, se puede modelizar, estas por medio de:
\( (A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1)) \) (i);
Para modelizar hay que tener en cuenta que:
\( a(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)(a+5) = (A-1)(A)(A+1) + (B-1)(B)(B+1) \) en relación a la posición de los números del producto;
\( (2a+5) (a (a + 5) + 12) = (A+B)((A-1)(B+1) +(A-1)(B-A)(B-A-1)) =(A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1)) \);
Esta es nuestra nueva identidad, \( (A+B)(A-1)(B+1) +(A+B)(A-1)(B-A)(B-A-1)) +A +B \) que no es más que \( A^3+B^3 \). En el marco de la conjetura de Beal, la ecuación es:
\( a^3+b^3+3ab=(a+b)^3 \);
\( a^3+b(b^2+3a)=(a+b)^3 \);
\( a^3+c^n(d^n)=(a+b)^3 \); (n es mayor que 3)
\( a^3+(cd)^n=(a+b)^3 \);
\( a^3+(cd)^n+cd^3=(a+b)^3+cd^3 \);
\( a^3+cd^3=(a+b)^3+cd^3-(cd)^n \); (introducimos los valores \( a^3+cd^3 \) en (ii))
\( (a+cd)(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n \) (i); (n es por ejemplo 7, cualquier valor entero mayor que 3)
Si introducimos (i) en https://www.wolframalpha.com y se escribe, solve (i) for a, lanza:
\( a =\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{4 b c^7 d^7 - b^4}- 3 b^2}{6 b} \).
Entonces a y b tienen un factor común??
Hola.
\( a^3+(cd)^3=(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n \); (respuesta 332) (*)
De \( a^3+b^3=(a+b)(a*b+(b-a-1)(b-a+1)+1) \) (**) introducimos en (*) tal que:
\( (a+cd)x =(a+b)^3+(cd)^3-(cd)^n \);(despeje de x)
\( c d!=0, a + c d!=0, x = (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + c d^3 - (c d)^n)/(a + c d) \)
Visto (**) y \( (a+cd)x \). En (**) introduzco los valores \( a, cd \) siendo;
\( x=(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + (c d)^3 - (c d)^n)/(a + c d) \).
Introducimos \( (acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + c d^3 - (c d)^n)/(a + c d) \). en wolfram.
En Alternate form assuming a, b, c, d, and n are positive, lanza la siguiente ecuación:
\( c (c^2 - 1) d^3 + (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2) \). (***).
En el post, respuesta 332, \( d=(b^2+3a(a+b))= (3 a^2 + 3 a b + b^2) \).
Con tiempo y mucha paciencia, encontré, \( a^3+b^3=(a+b)(a*b+(b-a-1)(b-a+1)+1) \)(ii).
Se igualan las x. Es decir:
\( x=(acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + (c d)^3 - (c d)^n)/(a + c d) \).
Luis, que no son equivalentes?? A que se refiere??
Introducimos \( (acd+(cd-a-1)*(cd-a+1)+1)= (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + \color{red}c d^3\color{black} - (c d)^n)/(a + c d) \). en wolfram.
En Alternate form assuming a, b, c, d, and n are positive, lanza la siguiente ecuación:
\( c (c^2 - 1) d^3 + (c d)^n = b (3 a^2 + 3 a b + b^2) \)
\( b(b-x) = ab \);
\( b(b-x) = ab \);
\( (b-x) = a \);
\( b=a+x \).
\( a^3+b^3= a^3+(a+x)^3=(a+a+x)(\color{red}aax\color{black}+(a+x-a)^2) = (2a+x)( \color{red}x a^2\color{black}+(x)^2) \);
\( a^3+(a+c)^3=(2a+c)(a(a+c)+c^2)= (2a+c)(a(a+c))+(2a+c)c^2)= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3 \);
\( a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3 \);
\( a^3+(a+c)^3= d^3 +c^3 \);
\( c^3 ≠ (a+c)^3 ; c^3= a^3 \). Cierto??
Si \( c^3≠ a^3 \);
\( a^3 – c^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2-(a+c)^3 \);
\( a^3 – c^3= x-(a+c)^3 \);
\( a^3 ≠ (a+c)^3; c^3 ≠ (a+c)^3 \).
Si introducimos en wolfram, solve * for c, siendo * \( a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3 \) dicha variable esta en función de a:
\( c = (\sqrt(3)\sqrt(4 a d^3 - 5 a^4) - 3 a^2)/(6 a) \), d tiene un factor con a.
Hola.
La ecuación inicial es \( a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3 \). Donde \( (2a+c)(a(a+c))+2ac^2=d^3 \) (*).
Donde d introducimos (*), en la ecuación, \( c = (\sqrt(3)\sqrt(4 a d^3 - 5 a^4) - 3 a^2)/(6 a) \), c y a tienen un factor común.
¿Porque dice que es falso \( c^3≠(a+c)^3\vee c^3=a^3 \)?
[texx] 7^3+7^4=14^3; 14^3-7^3=7^4; (a+c)^3-a^3 [/texx].
[texx] 3^3+6^3=3^5; a^3+(a+c)^3 [/texx].
Lo curioso de esta ecuación, [texx] a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=d^3+c^3 [/texx], es por la rigidez de las potencias.
Es decir, [texx] 3^3+6^3=d^3+e^3 [/texx]. Si intento obtener de [texx] 3^3+6^3 [/texx] dos potencias con distintas bases a las dos inicales pero con los mismos exponentes, tal que [texx] d^3+e^3 [/texx], es muy difícil (creo que es imposible), por que;
[texx] 6^3=(2*3)^3=2^3*3^3=(1+7)*3^3=3^3+7*3^3[/texx] y ahora le sumo [texx] 3^3 [/texx], por lo tanto, [texx] 3^3+7*3^3+3^3=2*3^3+7*3^3[/texx] no se ajusta a los requisitos. Por esa poca flexibilidad de las potencias, se deduce
(si [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx] con la restricción de [texx] (2a+c)(a(a+c))+2ac^2=d^3 [/texx]) que [texx] a^3=c^3 [/texx].
Porque si se manipulan las potencias no se ajustan a los requisitos. Aunque, creo que, si que hay números que cumplen con [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx] .
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html.
Aunque no se ajustan a [texx] a^3+(a+c)^3=d^3+c^3 [/texx], en todos ellos se iguala una suma de tres potencias a una potencia, debiendo ser la igualdad suma de dos potencias a ambos lados de la igualdad , o resta de dos potencias a ambos lados de la igualdad.
\( a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3 \). De esta ecuación concreta, podemos afirmar que cumple con \( a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3 \) habiendo dos potencias en la primera ecuación, en la siguiente solo hay una potencia de grado 3, si ambas son iguales la expresión \( (2a+c)(a(a+c))+2ac^2 \), es una potencia, cierto??
\( a^3+(a+c)^3 \), por ejemplo, \( 3^3+6^3 \) es igual a \( 3^5 \), el \( 3^5 \), mediante sumas de potencias, solo lo podemos obtener si \( 3^3+6^3 \). Cierto?
Consecuentemente, \( a^3+(a+c)^3= (2a+c)((a+c)*a+c^2) \), para cada uno de los valores de \( (2a+c)((a+c)*a+c^2) \), solo hay dos valores para a y c (uno para cada uno de ellos), que lo cumplen. Es decir, si \( 3^3+6^3=3^5 \), entonces, \( a=3, a+c=6, c=3 \), solo estos valores, con potencias de 3, nos brindan el resultado de \( 3^5 \).
Cierto?
\( a^3+(a+c)^3= (2a+c)(a(a+c))+2ac^2+c^3=3^5 \). La pregunta es, ¿existe algún número c distinto que a que cumpla con, \( 3^3+6^3 =(2a+c)(a(a+c))+2ac^2 +c^3 = 3^5 \)?
Si [texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4 [/texx] entonces, [texx] c = b^3 [/texx] v [texx] c = b^2 [/texx] v [texx] c = b [/texx]. Cierto??
[texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4 [/texx] v [texx] (2a+c)(a(a+c)+c^2)=b^4 [/texx].
Luis indica que, [texx] (c)(-a(a+c)+(2a+c)^2) =b^4=p^4q^4 [/texx] siendo [texx] c=p^4[/texx], en consecuencia, [texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) =q^4 ; (-a(a+c)+(2a+c)^2)-q^2 =(q-1)(q^2)(q+1) [/texx]. Pues si esta ecuación la escribimos tal que:
[texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) - (q-1)q^2(q+1) (even, par) [/texx] v
[texx] (-a(a+c)+(2a+c)^2) - q^2 (even, par) [/texx].
Sea la siguiente identidad [texx] a^3=(a-1)a(a+1)+a [/texx]. En consecuencia toda potencia de grado 3, entre sus productos [texx] (a-1)a(a+1) [/texx] estaran [texx] 2·3·x [/texx]. Es decir (introduzco una tabla para intentar explicar la idea):
[texx] (a-1)(a)(a+1) = 6·x;(a)(a+1)/2 [/texx];
[texx] 1·2·3 = 6·1; 3 [/texx].
[texx] 2·3·4 = 6·4; 6[/texx].
[texx] 3·4·5 = 6·10;10[/texx].
[texx] 4·5·6 = 6·20; 15[/texx].
[texx] 5·6·7 = 6·5·7; 21[/texx].
[texx] 6·7·8 = 6·56; 28[/texx].
[texx] 7·8·9 = 6·7·12; 36[/texx].
Esta progresión sigue hasta el infinito. Consideremos que [texx] a^3+y=c^3 [/texx], con la progresión indicada, intentemos obtener y. Lancemos un par de ejemplos:
[texx] 2^3+y=5^3 [/texx];
[texx] 1·2·3+2+y=4·5·6+5 [/texx];
[texx] 1·2·3+2+y= 6·1+2+y=6(1+(3+6+10)) + 5 [/texx].
La suma de [texx] (3+6+10) [/texx] no es más que la suma de la columna [texx] (a)(a+1)/2 [/texx]. Desde [texx] 1·2·3 [/texx] a [texx] 3·4·5 [/texx] que es la inmediatamente a [texx] 4·5·6 [/texx].
Pues de esa suma, [texx] 6((3+6+10)) [/texx] no obtendremos ningún número tal que [texx] (a-1)(a·)(a+1) [/texx] porque para obtenerlo, debemos introducir el 1, tal que, [texx] 6(1+(3+6+10)) [/texx].
Es decir [texx] 2^3+y=5^3 [/texx]; [texx] 6·1+2+y=6(1+(3+6+10)) + 5; y= 6(3+6+10)+5-2; y=6·19+3 [/texx].
[texx] 5^3+y=13^3 [/texx]. En la imagen esta representado la suma (lo que esta griseado) para obtener desde una potencia inicial, [texx] 5^3 [/texx], la potencia obtenida[texx] 13^3 [/texx]. ¿Se entiende?
[texx] (a-1)a(a+1)+3*(a(a+1)+(a+1)(a+2))=(a+1)(a+2)(a+3) [/texx];
[texx] (a-1)a(a+1)+3*(a(a+1)+(a+1)(a+2)+(a+2)(a+3))=(a+2)(a+3)(a+4) [/texx];
[texx] (a-1)a(a+1)+3*(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))=(a+n-1)(a+n)(a+n+1) [/texx];
Suponiendo que [texx] (a-1)a(a+1)+a+(n-1)n(n+1)+n= (a+n-1)(a+n)(a+n+1)+(a+n) [/texx];
Aunque si es asi, se llega a, [texx] a^3+n^3=(a+n)^3 [/texx] que claramente es falso. Entonces??
[texx] (a-1)a(a+1)+a+3*(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))+n=(a+n-1)(a+n)(a+n+1)+(a+n) [/texx];
[texx] 3*(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))+n [/texx]. Esta ecuación, para que sea igual a potencia, n solo puede tomar un valor que es
[texx] (a-1)a(a+1) [/texx]. Ver adjunto.
Sea la ecuación.
[texx] (a-1)a(a+1)+a+3(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))+n=(a+n-1)(a+n)(a+n+1)+(a+n) [/texx].
La entidad, [texx] 3(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))+n [/texx] (***), la podemos modelizar mediante dos ecuaciones simples, según sea par o impar la n, es decir:
- Par, [texx] 3n(a+n/2)^2+(n/2)^3+(n/2)^3 [/texx] (*).
- Impar, [texx] 3na(a+n)+n^3 [/texx] (**).
Consideremos que;
[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3[/texx].
Si suponemos que [texx] 3na(a+n)+n^3 [/texx] es una potencia de grado 3, la ecuación (***), debería responder a (*) ó (**). Es decir, inicialmente partimos de [texx] a^3 [/texx] y a esa potencia le añadimos (***). Pues en este caso concreto partimos de [texx] n^3 [/texx] y [texx] 3na(a+n) [/texx] no es igual a (*) ó (**).
¿Esta idea, demostraría el UTF para n =3?
Sea la ecuación.
[texx] a^3+3·(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))+n= (a+n)^3 [/texx].
Esta ecuación[texx] 3(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))+n [/texx] (***).la podemos modelizar mediante dos ecuaciones simples, según sea par o impar la n, es decir:
- Par, [texx] 3n(a+n/2)^2+(n/2)^3+(n/2)^3 [/texx] (*).
- Impar, [texx] 3na(a+n)+n^3 [/texx] (**).
Lancemos un ejemplo, para que se entienda, cualquier valor debe cumplir:
[texx] a=222, n=17 [/texx];
[texx] a^3+3·(a(a+1)+(a+1)(a+2)+...+(a+n-1)(a+n))+n= (a+n)^3 [/texx]. 17 es impar. (**).
[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx];
Apliquemos [texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx] (****); [texx] 17^3 [/texx] puede ser a o n. Siendo cualquiera de los valores, se llega a una contradicción. Suponiendo que [texx] a=17^3 [/texx], entonces, [texx] 17^3+3·17·222(222+17)+n^3 = (a+n)^3 [/texx]. El [texx] n^3 = 0 [/texx]. Claramente se ve que no cumple (****).
De todas formas, de [texx] a^3+3na(a+n) [/texx], si se intenta obtener una potencia de grado 3, suponiendo que [texx] n=a [/texx], vemos que no obtendremos ninguna potencia de grado 3.
[texx] a^3+3na(a+n)=a^3+3a^2(2a)=a^3+6a^3 [/texx]. Se entiende??
[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx], extraemos [texx] a^3, (a+n)^3 [/texx] ;
[texx] 3na(a+n)+n^3 [/texx];
[texx] n(3a(a+n)+n^2) [/texx], [texx] (n=c^3) [/texx];
[texx] c^3(3a(a+c^3)+c^6) [/texx], extraemos [texx] c^3 [/texx];
[texx] 3a(a+c^3)+c^6 [/texx]. Si esta ecuación es una potencia de grado 3, dicha potencia, debe tener un factor común con c. Porque, si dicha ecuación es igual a [texx] (d-1)d(d+1)+d [/texx], el sumando [texx] (d-1)d(d+1)[/texx], entre los números de ese producto, se encuentra 3 y d puede o no tener ese factor común. Recordemos que cualquier producto de tres números consecutivos naturales, entre sus productos esta el 3, por ejemplo, [texx] 5·6·7, 7·8·9, 9·10·11, etc. [/texx].
Es decir, por ejemplo:
[texx] 3a(a+c^3)+c^6 (c=5) [/texx]; [texx] 3a(a+5^3)+5^6[/texx]. Dicha ecuación no es igual a por ejemplo a [texx] (d-1)d(d+1)+d (d=7) [/texx]; [texx] (7-1)7(7+1)+7 [/texx].
Es decir:
[texx] 3a(a+c^3)+c^6 ? (d-1)d(d+1)+d [/texx];
[texx] 3(…)+c^6 ? 3(….)+d [/texx];
[texx] 3(…)+5^6 ≠ 3(….)+7 [/texx].
Adopten, los valores que adopten [texx] 3(…) [/texx] y [texx] 3(….) [/texx], c y d, deben tener un factor común para que la igualdad cumpla. Cierto?
[texx] (3 z(z+1)+1)(n^3) = n^3 x^3 [/texx];
[texx] 3 z(z+1)+1 [/texx] no cumple con los requisitos requeridos para ser potencia de grado 3, es decir, [texx] (z-1) z(z+1)+z [/texx]. Se necesitan un producto de tres números correlativos y además la suma del número central. Por ejemplo, si z es igual a 4, [texx] 3·4·(5)+1 [/texx] nos faltaría la suma del 4.
Entonces, ¿se puede afirmar que no existen soluciones enteras para [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]?
[texx] a^3+3na(a+n)+n^3 = (a+n)^3 [/texx], extraemos [texx] a^3, (a+n)^3 [/texx] ;
[texx] 3na(a+n)+n^3 [/texx] (*).
Si [texx] 3 a n (a + n) + n^3 [/texx] es igual a [texx] n^3 x^3 [/texx] en la ecuación [texx] 3 a n (a + n) [/texx] debe haber un [texx] n^3 [/texx], es decir:
[texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (n=a).
[texx] 3 n^2 (2n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx];
[texx] 6n^3 + n^3 = n^3 x^3 [/texx];
[texx] 7 n^3 = n^3 x^3 [/texx].
Aunque [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (zn=a)). Porque de [texx] 3 a n (a + n) [/texx] hay que obtener un [texx] n^3 [/texx].
[texx] (3 z (z + 1) + 1) =(b-1)(b(b+1)+1)+1 [/texx]. Despeje. Wolfram.
[texx] b = 1/2^{2/3 }, z = -1/2 [/texx]. Lo cual es imposible.
Si se supone que [texx] (a+n)=y^3[/texx];
Y que [texx] (y^3+(a-1)a+(n-1)n - na)[/texx] es una potencia de grado tres:
\( (((a+n)+z)^3)=((a+n)^3+a(a-1)+n(n-1)-an) \);
Si hacemos el despeje de a y n, Wolfram, vemos que las dos variables tienen un factor común. Cierto?
Si [texx] 3 a n (a + n) + n^3 = n^3 x^3 [/texx]. (zn=a)). Porque de [texx] 3 a n (a + n) [/texx] hay que obtener un [texx] n^3 [/texx].
Lo que pasa es que NO es cierto que \( w^3=3an(a+n)+n^3 \) implique que \( w \) sea múltiplo de \( n \). Por ejemplo podría ser \( n=p^3 \) y \( w \) múltiplo de \( p \).
x es par porque es la suma de dos números impares coprimos.
[texx] a^3+n^3 = (x^3)((x-1)x^4(x+1)+x^4 - 3na) [/texx];
[texx] ((x-1)x^4(x+1)+x^4 - 3na) [/texx].
La suma de [texx] x^4 - 3na [/texx] es un número impar. Se necesita un número par para que su suma con [texx] (x-1)x^4(x+1) [/texx] sea potencia. Es decir, que cumpla con [texx] ((x-1)x^n(x+1)+x^n ) [/texx] Cierto?
[texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx];
[texx] n(3a(a+n)+n^2) = p^3(3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx]; (a y n son dos coprimos impares).
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+2·3·s+p^6-2·3·s)) [/texx];
[texx] w^3 = ((w-1)w(w+1)+w)) [/texx];
[texx] 3a(a+p^3)+2·3·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-2·3·s=w [/texx];
UTF
[texx] s = 1/6 ((-3 a^2 - 3 a p^3 - p^6)^{1/3} + p^6), w = -(-3 a^2 - 3 a p^3 - p^6)^{1/3} [/texx].
w es una raíz con números negativos, eso implica que no hay soluciones con números naturales. Cierto?
[texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx];
[texx] n(3a(a+n)+n^2) = p^3(3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx]; (a y n son dos coprimos impares).
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+6·s+p^6-6·s)) [/texx];
[texx] w^3 = ((w-1)w(w+1)+w)) [/texx];
[texx] 3a(a+p^3)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];
[texx] 6·a((a+p^3)/2)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx] (t=(a+p^3)/2) [/texx];
[texx] 6·a(((a+p^3)/2)+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx]( t=(a+p^3)/2) [/texx];
[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];
[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1)[/texx];
Se divide todo entre w.
UTF
[texx] 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx]; (wolfram despeje de p)
[texx] 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1)=(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx];
[texx] p = (6 s - w)^{1/6} ; a = -(6 s + w^3 - w)/(6 t) [/texx];
Si es cierto. ¿Demuestra para ese caso concreto el UTF? Que si, que Wiles ya lo demostro, pero si lo escrito es cierto, lo demuestra?
Mi intención es encontrar una ecuación tal que:
Bc
[texx] 6·(a·t+s)/\color{red}( p^6-6·s)^2\color{black}=(w-1)(w+1)=(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx]; (wolfram despeje de p)
[texx] 6·(a·t+s)/( (2t-a)^3-6·s)^2=(w-1)(w+1)=((2t-a)^3-6·s+1)((2t-a)^3-6·s-1) [/texx];
[texx] p = w^{1/6} (w^3 - w - 1)^{1/6} ; s = 1/6 w^2 (w^2 - 1) [/texx].
[texx] a^3+3 a n (a + n) + n^3 =(a+n)^3; n=p^3 [/texx]; (a y n son dos números impares coprimos).
Intento demostrar que [texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx] ** no puede ser igual a una potencia de grado 3.
[texx] 3 a n (a + n) + n^3; n=p^3 [/texx];
[texx] n(3a(a+n)+n^2) = p^3(3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+p^6)) [/texx];
[texx] w^3 = (3a(a+p^3)+6·s+p^6-6·s)) [/texx];
[texx] w^3 = ((w-1)w(w+1)+w)) [/texx];
[texx] 3a(a+p^3)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];
[texx] 6·a((a+p^3)/2)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx] (t=(a+p^3)/2) [/texx];
[texx] 6·a(((a+p^3)/2)+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx]. [texx]( t=(a+p^3)/2) [/texx];
[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];
[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1)[/texx];
Se divide todo entre w.
UTF
[texx] 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx]; (wolfram despeje de p) *
[texx]6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1)=(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx];
[texx] \color{red}p = (6 s - w)^{1/6}; a = -(6 s + w^3 - w)/(6 t)\color{black} [/texx];
a es una variable positiva, (UTF, Beal). Pues wólfram dice que en caso que todas las potencias sean cúbicas a, es negativa. Recordemos la ecuación inicial;
[texx] a^3+3 a n (a + n) + n^3 =(a+n)^3; n=p^3 [/texx]; (a y n son dos números impares coprimos). a tiene que ser positiva. Contradicción?
De * [texx] 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx] ecuación que meto en wólfram. Es equivalente:
[texx] 6·(a·t+s)=(w-1)w(w+1) =(p^6-6·s+1)w(p^6-6·s-1) [/texx]; (potencia de grado 3).
Al dividir todo entre w:
[texx] 6·(a·t+s)/w=(w-1) (w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1) [/texx] (ecuación que se pone en wólfram);
Recordemos que:
[texx] 3a(a+p^3)+6·s=(w-1)w(w+1) ; p^6-6·s=w [/texx];
Aunque si la potencia ** es igual a un grado mayor que 3, por ejemplo 4, entonces:
[texx] 6·a(((a+p^3)/2)+s)=(w-1)w^2(w+1) ; p^6-6·s=w^2 [/texx]. Se divide todo entre [texx] w^2 [/texx].
[texx] 6·a(((a+p^3)/2)+s)/w^2=(w-1)(w+1) ; (p^6-6·s-1) (p^6-6·s+1)[/texx] ([texx] t= (a+p^3)/2)[/texx]);
[texx] 6·a(t)+s)/w^2=(w-1)(w+1) ; (p^6-6·s-1) (p^6-6·s+1)[/texx].
Ecuación de la Respuesta #379.
Se entiende?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+6%C2%B7%28a%C2%B7t%2Bs%29%2F%28+p%5E6-6%C2%B7s%29%3D%28w-1%29%28w%2B1%29+%3D%28p%5E6-6%C2%B7s%2B1%29%28p%5E6-6%C2%B7s-1%29+for+p
Suponiendo que w>0.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+6%C2%B7%28a%C2%B7t%2Bs%29%2F%28+p%5E6-6%C2%B7s%29%3D%28w-1%29%28w%2B1%29+%3D%28p%5E6-6%C2%B7s%2B1%29%28p%5E6-6%C2%B7s-1%29%3B+w%3E0+for+a
No se que le has metido a Wolfram, pero esas fórmulas en rojo están MAL.
- Si \( p^6-6s=w \) entonces \( p=(6s+w)^{1/6} \).
- Si además \( w^3=3a(a+p^3)+p^6 \) y \( t=(a+p^3)/2 \) entonces \( a=\dfrac{w^3-p^6}{6t}=\dfrac{w^3-w-6s}{6t} \)
[texx] (a+p^3)^3=a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 = 3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 =p^3 (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx];
[texx]·w^3 = (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx];
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28a%2Bp%5E3-1%29%28a%2Bp%5E3%2B1%29%3D%28a%5E3%2Bp%5E3w%5E3+-%28a%2Bp%5E3%29%29%2F%28a%2Bp%5E3%29%3D+%28a%5E3%2Bp%5E3%28%28a%2Bp%5E3%293a%2B+p%5E6%29-+%28a%2Bp%5E3%29%29%2F%28a%2Bp%5E3%29%3B+a%3E0%3B+p%3E0%3B+w%3E0+for+a
De la respuesta 381, en concreto:
[texx]·solve 6·(a·t+s)/( p^6-6·s)=(w-1)(w+1) =(p^6-6·s+1)(p^6-6·s-1); a>0; t>0; s>0; p>0; w>0 for a[/texx];
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+6%C2%B7%28a%C2%B7t%2Bs%29%2F%28+p%5E6-6%C2%B7s%29%3D%28w-1%29%28w%2B1%29+%3D%28p%5E6-6%C2%B7s%2B1%29%28p%5E6-6%C2%B7s-1%29%3B+a%3E0%3B+t%3E0%3B+s%3E0%3B+p%3E0%3B+w%3E0+for+a
Al igualar y hacer el despeje de p:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+1%2F6+%28sqrt%283%29+sqrt%284+w%5E3+-+p%5E6%29+-+3+p%5E3%29+%3D+%28w%5E3+-+p%5E6%29%2F%286+%28%28a%2Bp%5E3%29%2F2%29%29%3B++w%3E0%3B+p%3E0+%3B+a%3E0+for+p
P y w, ¿tienen un factor común?
De todas formas sería bueno que pusieses algún interés en aprender de estos palos de ciego para no estar repitiendo una y otra vez los mismos errores.
- Si no usas de manera decisiva que las variables implicadas son enteras, no puedes llegar a contradicción alguna.
- El uso indiscriminado de variables auxiliares que complican ecuaciones sencillas, sin criterio alguno, lo único que sirve es para confundirte a ti mismo.
- El uso de identidades triviales con las que pareces creer haber descubierto la pólvora como \( w^3=(w-1)w(w+1)+w \)... no vale para nada, más que para de nuevo, liarte tu mismo.
Reflexiona.
Mi intención, acertada o no, es que al añadir más variables, identidades, nuevas ecuaciones, estas matizan, definen, modelizan en mayor medida la ecuación del UTF o Beal. Es decir un sistema de ecuaciones de dos variables, requiere de dos ecuaciones. En el Beal son seis variables, entonces, posiblemente para tratar dicha conjetura necesitemos seis ecuaciones.
El enlace esta en el adjunto. Creo que no hay cocientes de números complejos.
Al clicar el enlace del adjunto, ¿wolfram le facilita las cinco soluciones de la imagen del adjunto?
De las cinco propuestas de soluciones que lanza wolfram, alguna de ellas, sera la de la ecuacion original. Cual es?
Eliminemos las soluciones del ruido y de las cinco que hay, ¿cual es la que responde a la de la ecuación original?
Sea la que sea. Cualquiera de las cinco, no lanzara un número entero. Cierto?
Tomando: \( 2y+1=w \) ya eliminas una incógnita. NO APORTA NADA QUE USES LAS DOS VARIABLES. O usas \( y \) o usas \( w \).
\( 6s=p^6-w \)
Luis me referia a p. De las soluciones primera y tercera, el conjunto de valores que propone wolfram, para p, hace que las soluciones no cumplan con lo de que todas las variables sean enteras.
Es decir, Wolfran propone las soluciones pero las condiciona a un conjunto de valores para cada una de las variables. Cierto??
[texx] (a+p^3)^3=a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] a^3+p^3·w^3 = a^3+3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 = 3a·p^3(a+p^3)+ p^9 [/texx];
[texx] p^3·w^3 =p^3 (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx];
[texx]·w^3 = (3a·(a+p^3)+ p^6) [/texx].
Por poner un ejemplo, si tomas \( w=19 \), \( p=3 \) y resuelves obtienes:
\( a=33.6761... \)
Todos los términos positivos. Así que no vienen a cuento las restricciones de Wolfram.
De esta ecuación [texx] d·b^3 = c^5 [/texx], se deduce:
- que \( d \) es un número entero, porque si \( b \) y \( c \) son dos números primos, entonces \( d \) es un entero.
[texx] d^4(3a(a+d^4)+d^8)=d^4t^4;[/texx]
[texx] d^4(3a(a+d^4)+d^8)= \color{red}d^2t^2 + (d^2t^2+1)(d^2t^2)(d^2t^2-1)\color{black};[/texx]
Si [texx] ((3 a^2)/d^2 [/texx] es igual a un número entero, hay tres posibles casos.
1_ [texx] a = d = 3 [/texx].
2_ [texx] a = d [/texx].
3_[texx] a = k·s; d= k [/texx].[/tex]
[texx] a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b)^3[/texx].
[texx] 3ab(a+b)+b^3[/texx] es una potencia. Dos casos.
I) [texx] 3ab(a+b)+b^3 = b^n[/texx]. a tiene un factor común con b.
II) [texx] 3ab(a+b)+b^3; b = d^n; n>3[/texx];
[texx] 3a·d^n(a+d^n)+d^{3n};[/texx]
[texx] 3a·d^n(a+d^n)+d^{3n}=d^n·t^n;[/texx]
[texx] d^n·t^n[/texx] se puede reescribir tal que [texx] (d + x·d)^{3n}[/texx] en consecuencia:
[texx] 3a·d^n(a+d^n)+d^{3n}=(d + x·d)^{3n};[/texx] (!!) Despeje de a.
[texx] a = (1/6) d^{-n} (\sqrt{12 d^n (d (x + 1))^{3n} - 3 d^{4n}} - 3 d^{2n}) [/texx] *;
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3a%C2%B7d%5En%28a%2Bd%5En%29%2Bd%5E%283n%29%3D%28d+%2B+x%C2%B7d%29%5E%283n%29+for+a
Numerador [texx] (\sqrt{12 d^n (d (x + 1))^{3n} - 3 d^{4n}} - 3 d^{2n}) [/texx].
Denominador [texx] 6 d^n [/texx].
¿Es posible que el numerador y denominador sea el mismo número? Entonces [texx] a=1 [/texx]. Caso trivial. Aunque si a es distinto de 1, si que tendría un factor común. ¿Cierto?
a y b son dos números primos e impares.
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^{12}[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b^2)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
Para que [texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx] cumpla
, [texx] (3a^2+3ab^4+b^8)[/texx] es igual a un número impar. Cierto?
Porque, [texx] (impar+impar)^3 = impar^3 + impar·(¿?)[/texx].
[texx] (d+b^2)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b^2)^4 [/texx] d debe ser par. Par + impar = impar = (¿?).
Pero es que ese \( d \), mediante similitud con el triángulo de Pascal, es igual a a y/o 3.
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^{12}[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar; d es par;
Si [texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar ¿se puede considerar que?
[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (p·3·a+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.
¿Es cierta esta afirmación? ¿Se cumple siempre?
Me refiero a esta afirmación:
[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (p·3·a+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.
a y b son dos números coprimos e impares.
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + 3a^2b^4+3ab^8+b^12[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+b^8)[/texx];
[texx] (a+b^4)^3 = a^3 + b^4(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx];
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar; d es par;
Si [texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx] = número impar ¿se puede considerar que?
[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) = (\color{red}\underbrace{p·3·a}_d\color{black}+b)^4[/texx] = número impar. p= número par.
Si es que de aquí:
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx]
se puede deducir que \( d=3ap \), es decir, que \( d \) es múltiplo de \( 3 \) y de \( a \), en principio no veo porqué tendría que ser así. Lo que si es cierto es que siendo \( a,b \) impares, \( d \) es par.
Si se supone que esta afirmación es cierta, (equivocado o no) entonces:
[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) –p^4·3^4·a^4 – b^4 = (p·3·a+b)^4 –p^4·3^4·a^4 – b^4 [/texx];
[texx] (3a^2+3ab^4+(b^2)^4) –p^4·3^4·a^4 – b^4 = 6 a b p (18 a^2 p^2 + 9 a b p + 2 b^2)[/texx];
[texx] -81 a^4 p^4 + a (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 a b p x[/texx];
[texx] -81 a^3 p^4 + (3 a + 3 b^4) + (b^4 - 1) b^4= 6 b p x[/texx] *; b es coprimo con a.
Entonces
[texx] (b^4 - 1) =2 a·[/texx];
Hola.
[texx] (d+b)^4 =(3a^2+3ab^4+(b^2)^4)[/texx]
d es preciso que sea múltiplo de a o de 3 o de a y 3. Cierto?
Hola.
a, b^3, c, impar, impar, par, respectivamente.
[texx] a^3 +3ab^3(a+b^3)+b^9 = (a+b^3)^3 = c^3[/texx];
[texx] (Impar)^3 + (Impar)^n = (Par)^3 = c^3[/texx];
Consideremos que:
[texx] 3ab^3(a+b^3)+b^9 = (b^3+x·b^3)^4 [/texx]; ([texx] a^3 +(b^3+x·b^3)^ 4= (a+b)^3 = c^3 [/texx]).
[texx] 3ab^3(a+b^3)+b^9 = (b^3+x·b^3)^4 [/texx]; (Debe ser un número impar). En consecuencia b impar, x par.
[texx] 3ab^3(a+b^3)+b^9 = (b^3+x·b^3)^4 [/texx]; wolfram (solve for a)
[texx]a = 1/6 ((3^{1/2}) (b^6 (4 b^3 (x + 1)^4 - 1))^{1/2} - 3 b^3) [/texx];
¿a y b tienen un factor común?
a, b, c, impar, impar, par, respectivamente.
[texx] (Par)^3 = 2^3 c^3 = (Impar)^3 + (Impar)^4 [/texx];
[texx] (a+b)^3= (2c)^3 = 2^3·c^3 = c^3 + c^3·(2^3-1) [/texx];
Aquí, me asalta una pregunta.
[texx] (a+b)^3= (2c)^3 = c^3 + c^3·(2^3-1) [/texx];
[texx] (a+b)^n= (2c)^n = c^n + c^n·(2^n-1) [/texx];
El sumando [texx] c^n·(2^n-1) [/texx] nunca será potencia tal que [texx] c^n·d^n [/texx], porque [texx] 2^n-1\neq d^m[/texx], siendo (n, m)>=3. ¿Cierto?
Para que una potencia tal que el enunciado de la conjetura se debe cumplir con:
[texx] (a+b)^3= (2c)^3 = c^3 + c^3·(2^3-1) [/texx];
[texx] (a+b)^3= a^3 + 3ab(a+b) + b^3 = a^3 +b(3a(2c)+b^2) [/texx];
En consecuencia, [texx] b(3a(2c)+b^2) = a^3·(2^3-1) [/texx];
Luis si no respondo a sus respuestas es porque estoy de acuerdo con lo que propone.
a, b, impar e impar.
[texx] (a+b)^3= (2c)^3 = c^3 + c^3·(2^3-1) [/texx];
Si [texx] 2^{n-1} ≠ d^n[/texx], siendo n>=3. Entonces:
[texx] (a+b)^3= (2c)^3 = c^3 + c^t [/texx] siendo t >= 4. Condición (*) necesaria para que se cumpla con el enunciado de la conjetura de beal. Aunque si es así, de
[texx] c^3·(2^3-1) [/texx] únicamente obtenemos una potencia [texx] c^n[/texx] siendo n>=4. ¿Cierto?
Ahora intento encontrar la segunda ecuación:
[texx] (a+b)^3= a^3 + 3ab(a+b) + b^3 = a^3 +b(3a(2c)+b^2) [/texx]; (a+b=2c)
[texx] (a+b)^3= a^3 +b(3a(2c)+b^2) [/texx]. Condición necesaria (**).
Si [texx] (a+b)^3= a^3 +b(3a(2c)+b^2) [/texx] debe cumplir con (*);
[texx] (a+b)^3= a^3 + a^3·(2^3-1) [/texx]; Consecuencia de (*).
Hola.
Considerese la entidad [texx] a^2·2+a^2·(a-2) = a^3 [/texx].
[texx] a^2·2+a^2·(a-2) = a^3 [/texx];
[texx] a^3·2+a^3·(a-2) = a^4 [/texx];
[texx] a^3·2+a^3·(a-2) = a^4 [/texx];
[texx] a^3+a^3·(a-2+1) = a^4 [/texx];
[texx] a^3+a^3·(a-1) = a^4 [/texx];
Considere que:
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)(ax)+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)(ax)+x^3=c^4 [/texx];
[texx] x (3 a·(a+x) + x^2) = c^4 [/texx];
Considerando que:
[texx] c·(c^2·2+c^2·(c-2)) = c^4 [/texx];
[texx] x (3 a·(a+x) + x^2) = c^4 [/texx];
Se igualan ambas expresiones:
[texx] c·(c^2·2+c^2·(c-2)) = x·(3 a·(a+x) + x^2) [/texx].
De esta igualdad, ¿se deduce que [texx] c = x [/texx]?
Dani. ¿Por que no?
[texx] c·(c^2·2+c^2·(c-2)) = x·(3 a·(a+x) + x^2) [/texx].
De esta igualdad, ¿se deduce que [texx] c = x [/texx]?
[texx] c·(c^2*2+c^2·(c-2)) = x·(3 a·(a+x) + x^2) [/texx].
De esta expresión se pretende obtener una potencia de grado 4. [texx] c^4 [/texx].
Para que eso ocurra [texx] c=x=a [/texx].
[texx] c·(c^2*2+c^2·(c-2)) = x·(3 a·(a+x) + x^2)=d^4·r^4 [/texx].
d y r no tienen que tener un factor común, ¿cierto?
Si se observa la siguiente secuencia:
[texx] c^2*2+c^2·(c-2) = c^3 [/texx];
[texx] c^3*2+c^3·(c-2) = c^4 [/texx];
[texx] c^3*2+c^3·(c-2) = c^4 [/texx];
[texx] c^3+c^3·(c-2+1) = c^4 [/texx];
[texx] c^3+c^3·(c-1) = c^4 [/texx];
La potencia de mayor grado se obtiene únicamente con c, [texx] c^4 [/texx]. Pues en ese caso concreto [texx] c=d·r [/texx]. ¿Cierto?
[texx] c·(c^2*2+c^2·(c-2)) = x·(3 a·(a+x) + x^2) [/texx].
De esta expresión se pretende obtener una potencia de grado 4. [texx] c^4 [/texx].
Para que eso ocurra [texx] c=x=a [/texx].
No, no. Es falso que para que eso ocurra tiene que darse \( c=x=a \). Si \( c=x=a=7 \), se cumple; pero no has dado ningún motivo para que no pueda haber otras posibilidades. Por ejemplo si son números reales, trivialmente hay infinitas soluciones tomando \( c=\sqrt[4]{x·(3 a·(a+x) + x^2)}. \)
La potencia de mayor grado se obtiene únicamente con c, [texx] c^4 [/texx]. Pues en ese caso concreto [texx] c=d·r [/texx]. ¿Cierto?
Luis indicarle que se trata de números enteros. Cierto es que es un ejemplo sencillo. Aunque creo, que si que es cierto que, c y x, deben tener un factor común. Es decir:
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)(ax)+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)(ax)+x^3=c^4 [/texx];
\( c^4 \), puede estar compuesto de un único número o distintos números. Pues entre ellos debe estar x. Y si esta, entre los números que generan la potencia cuarta, debe estar elevado a la potencia cuarta, la expresión \( 3x a·(a+x) \) debe ser igual, entre otros, a \( x^3 \) y eso implica que a y x tienen un factor común.
Por ejemplo \( c^4=x^4·y^4 \). Eso implica que \( 3·x· a·(a+x)= x^3·z^3 \) y en consecuencia a=x ó entre los productos de números que forman a debe estar x. ¿Cierto?
Hola.
a, x, son dos números impares. c par. Todos los números son enteros.
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)=c^4 [/texx];
c =x Ʌ c=x·y·z.
i c=x
[texx] (a+c)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+c)·ac+c^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+c)·ac+c^3=c^4 [/texx];
[texx] a = 1/2 c (\sqrt[ ]{(4 c - 3}) - 1) [/texx].
Si c=x·y·z.
[texx] (a+ x·y·z)^3-a^3=( x·y·z)^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+ x·y·z)·a x·y·z +( x·y·z)^3-a^3=( x·y·z)^4 [/texx];
[texx] 3(a+ x·y·z)·a x·y·z +( x·y·z)^3=( x·y·z)^4 [/texx];
[texx] a = 1/6 (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{(x^2 y^2 z^2 (4 x y z - 1))} - 3 x y z) [/texx].
Luis, en relación a que sean coprimos, pues las conclusiones son inciertas.
Es más fácil, verlo tal que:
a, x, son dos números impares. c par. Todos los números son enteros.
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)=c^4 [/texx];
En este punto, es trivial que [texx] c^4 [/texx] tiene un factor común con x.
Imaginemos que es [texx] c^4 = x^4·z^4[/texx].
Aunque puede considerarse que es [texx] c^4 = x^4[/texx] o igual al producto de n números [texx] c^4 = x^4·(…)^4·z^4[/texx]. Si suponemos que [texx] c^4 = x^4·z^4[/texx]. Entonces:
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)= x^4·z^4 [/texx];
Aquí rebobinemos un paso.
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3= x^4·z^4 [/texx];
Es trivial que [texx] 3(a+x)·a·x = x^3·k[/texx]. En consecuencia, a y x tienen un factor común.
Aquí intentaba ver que a y c tienen un factor común.
Aunque creo que es más fácil verlo tal que se indica con que [texx] 3(a+x)·a·x = x^3·k[/texx].
Si c=x
[texx] (a+c)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+c)·ac+c^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+c)·ac+c^3=c^4 [/texx];
[texx] a = 1/2 c (\sqrt[ ]{(4 c - 3}) - 1) [/texx]
Si c=x·y·z.
[texx] (a+ x·y·z)^3-a^3=( x·y·z)^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+ x·y·z)·a x·y·z +( x·y·z)^3-a^3=( x·y·z)^4 [/texx];
[texx] 3(a+ x·y·z)·a x·y·z +( x·y·z)^3=( x·y·z)^4 [/texx];
[texx] a = 1/6 (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{(x^2 y^2 z^2 (4 x y z - 1))} - 3 x y z) [/texx].
Luis, en relación a que sean coprimos, pues las conclusiones son inciertas.
- O bien \( x \) es múltiplo de \( 3 \).
- O bien \( x \) no es múltiplo de \( 3 \), y entonces de la coprimalidad de \( x \) y \( 3(a+x)a+x^2 \) y de \( x(3(a+x)+x^2)=c^4
\) lo que se deduce es que \( x \) divide a \( c^4 \) (distinto de \( x \) divide a \( c \)) y de hecho es una cuarta potencia. Es decir \( x=d^4 \) con \( d \) factor de \( c \).
Es más fácil, verlo tal que:
a, x, son dos números impares. c par. Todos los números son enteros.
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)=c^4 [/texx];
En este punto, es trivial que [texx] c^4 [/texx] tiene un factor común con x.
Imaginemos que es [texx] c^4 = x^4·z^4c.
Puedes "imaginar" lo que de de la gana. Pero no es lo mismo decir que \( c^4 \) y \( x \) tienen un factor común (que es trivial), que decir, que \( x \) divide a \( c \) (que es lo que has escrito ahí), que NO es obvio.
1. \( x \) es múltiplo de \( 3 \)
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·3 +3^3=c^4 [/texx].
Es trivial que c es múltiplo de 3. Entonces [texx] 3^2(a+x)·a +3^3=(3·m)^4 [/texx]. Además
[texx] 3^2(a+x)·a =3^3·f [/texx], siendo trivial que a, x tienen un factor común. El 3.
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)=c^4 [/texx];
[texx] 5·3^2(f+5^2·3^4)=(5·3·t)^4 [/texx];
[texx] 5·3^2(f+5^2·3^4)=(5·3·t)^4 [/texx];
[texx]5·3^2(f+5^2·3^4)=(5·3·t)^4 [/texx];
[texx]5·3^2·f+5^3·3^6=(5·3·t)^4 [/texx].
Es decir, [texx]x=5·3^2·[/texx] aunque [texx]\color{red}c=(5·3·t)^4\color{black} [/texx]. ¿Se refiere a eso?
Toda suma de tres potencias (a, x, c son números impares) con números enteros, bases y exponentes, cuyos exponentes son iguales o mayores que 3 puede expresarse mediante:
[texx] (a ± x)^n – (± x^n) = c^m [/texx];
[texx] a^n ± n·a^{n-1}·x+ (…) + n·a·x^{n-1} ± x^n – (± x^n) = c^m [/texx];
[texx] a^n ± n·a^{n-1}·x+ (…) + n·a·x^{n-1} = c^m [/texx];
[texx] a·(a^{n-1} ± n·a^{n-2}·x+ (…) + n·x^{n-1} )= c^m [/texx];
[texx] c^m [/texx] y a tienen un factor común. Siendo [texx] a=q^2·w [/texx]. Aunque puede adoptar infinitos valores. Rebobinemos un paso.
[texx] a^n ± n·a^{n-1}·x+ (…) + n·a·x^{n-1} = c^m [/texx];
[texx]( q^2·w)^n+a( ± n·a^{n-2}·x+ (…) + n·x^{n-1}) = c^m [/texx];
[texx]( q^2·w)^n+q^2·w( ± n·a^{n-2}·x+ (…) + n·x^{n-1}) = (q·w·v)^m [/texx];
De esta ecuación se deduce que:
[texx]q^2·w( ± n·a^{n-2}·x+ (…) + n·x^{n-1}) = (q·w·v)^m - ( q^2·w·t)^n [/texx];CitarConsecuentemente a, x y c tienen un factor común.
Toda suma de tres potencias, si y solo si, puede expresarse como tal, si a,x,c tienen un factor común (a, x, c son números impares) con números enteros, bases y exponentes, cuyos exponentes son iguales o mayores que 3.
Consecuentemente a, x y c tienen un factor común
No, esa consecuencia te la sacas de la manga. No se deduce de nada de lo que has escrito antes. Si piensas que si razona detalladamente el porqué.
En consecuencia hay que analizar los sumandos centrales del triángulo de Pascal desde la potencia de grado 3 hasta el infinito. Siendo conscientes que entre los números que forman el producto de dicho número, estará formado entre otros por [texx] q^3·w^3 [/texx]. Recordemos que [texx] a=q^2·w [/texx]. Entonces se requiere mínimamente de [texx] a^3=q^6·w^3 [/texx].
Grado 3.
[texx] 3a^2x+3ax^2 = 3a(ax+x^2) [/texx]. En este punto, aunque a sea igual a 3 no se consigue el [texx] a^3 [/texx]. Es decir, [texx] 3a(ax+x^2) = 3·3(3x+x^2) = 9·(3x+x^2)[/texx]. x es igual a 3 para obtener la potencia deseada. Para obtener la potencia [texx] a^3 [/texx] en el producto de [texx] 3a^2x+3ax^2 = 3a(ax+x^2) [/texx] a, x, c tienen un factor común.
a, x, son dos números impares. c par. Todos los números son enteros.
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)=c^4 [/texx];
En este punto, es trivial que [texx] c^4 [/texx] tiene un factor común con x.
Imaginemos que es [texx] c^4 = x^4·z^4[/texx]. Aunque puede considerarse que es [texx] c^4 = x^4[/texx] o igual al producto de n números [texx] c^4 = x^4·(…)^4·z^4[/texx]. Si suponemos que [texx] c^4 = x^4·z^4[/texx]. Entonces:
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)= x^4·z^4 [/texx];
Aquí rebobinemos un paso.
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3= x^4·z^4 [/texx];
Es trivial que [texx] 3(a+x)·a·x = x^3·k[/texx]. En consecuencia, a y x tienen un factor común.
Luis, no es más que la respuesta 439, justificada para la enésima potencia.
a, x, son dos números impares. c par. Todos los números son enteros.
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)=c^4 [/texx];
En este punto, es trivial que [texx] c^4 [/texx] tiene un factor común con x.
Imaginemos que es [texx] c^4 = x^4·z^4[/texx]. Aunque puede considerarse que es [texx] c^4 = x^4[/texx] o igual al producto de n números [texx] c^4 = x^4·(…)^4·z^4[/texx]. Si suponemos que [texx] c^4 = x^4·z^4[/texx]. Entonces:
[texx] x·(3(a+x)·a +x^2)= x^4·z^4 [/texx];
Aquí rebobinemos un paso.
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3= x^4·z^4 [/texx];
Es trivial que [texx] 3(a+x)·a·x = x^3·k[/texx]. En consecuencia, a y x tienen un factor común.
Cierto que no tiene porque ser así.
[texx] a=b^2·d·e^3 [/texx];
Si suponemos que \( a,x \) son coprimos. Entonces el único posible factor común de \( x \) y \( 3(a+x)a+x^2 \) es el \( 3 \).
Entonces hay dos opciones:
- O bien \( x \) es múltiplo de \( 3 \).
- O bien \( x \) no es múltiplo de \( 3 \), y entonces de la coprimalidad de \( x \) y \( 3(a+x)a+x^2 \) y de \( x(3(a+x)+x^2)=c^4
\) lo que se deduce es que \( x \) divide a \( c^4 \) (distinto de \( x \) divide a \( c \)) y de hecho es una cuarta potencia. Es decir \( x=d^4 \) con \( d \) factor de \( c \).
Entonces hay dos opciones:
- O bien \( x \) es múltiplo de \( 3 \).
- O bien \( x \) no es múltiplo de \( 3 \), y entonces de la coprimalidad de \( x \) y \( 3(a+x)a+x^2 \) y de \( x(3(a+x)+x^2)=c^4
\) lo que se deduce es que \( x \) divide a \( c^4 \) (distinto de \( x \) divide a \( c \)) y de hecho es una cuarta potencia. Es decir \( x=d^4 \) con \( d \) factor de \( c \).
(pero ahora intercambiando los papeles de \( a \) y \( x \)) verías que el caso no trivial aparece cuando \( a=d^4 \) con \( d \) divisor de \( c \) (pongamos \( c=df \)).
Entonces de:
\( a^3+3ax(a+x)=c^4 \)
Lo que se deduce es:
\( d^{12}+3d^4x(d^4+x)=d^4f^4 \)
\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \)
Aunque si añadimos x, es decir, la ecuación inicial:
\( d^{12}+3d^4x(d^4+x)+x^3=d^4f^4+x^3 \)
Al dividir todo entre \( d^4 \) el resultado no es un número entero, ¿cierto?
\( d^8+3x(d^4+x)+\displaystyle\frac{x^3}{d^4}=f^4+\displaystyle\frac{x^3}{d^4} \)
\( d^{12}+3d^4x(d^4+x)=d^4f^4 \)
\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \)
\( d^8+3x(d^4+x)=f^4 \);
\( d^8+3x(d^4+x)=(d^2+\sqrt[ ]{x}·s)^4 \)
Entonces d y x ¿tendrían un factor común? ¿cierto?
[texx] (a+x)^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] a^3+3(a+x)·ax+x^3-a^3=c^4 [/texx];
[texx] 3(a+x)·a·x +x^3=c^4 [/texx];
[texx] x=d^4; c^4=q^4·d^4[/texx];
[texx] 3(a+ d^4)·a·d^4 + d^{12}= q^4·d^4 [/texx];
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= q^4 [/texx];
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= (\color{red}3^{1/4}·a^{1/4}·z+d^2\color{black})^4 [/texx];
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx];
[texx] 3 a^2 + 3 a d^4 + d^8 = 4·3^{3/4}a^{3/4} d^2 z^3 + 4·3^{1/4}·a^{1/4}·d^6 z + 6 (3)^{1/2}(a)^{1/2} d^4 z^2 + 3a z^4 + d^8 [/texx];
[texx] 3 a^2 + 3 a d^4 = 4·3^{3/4} a^{3/4} d^2·z^3 + 4·3^{1/4} a^{1/4} d^6 z + 6(3)^{1/2} (a)^{1/2}·d^4 z^2 + 3 a z^4 [/texx];
[texx] 3 a (a + d^4) = a^{1/4}· z (3 a^{3/4}· z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4}d^4 z + 4·3^{3/4}·(a) ^{1/2} d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx];
De la ecuación* [texx] a^{1/4} z (3 a^{3/4} z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4} d^4·z + 4·3^{3/4}·(a)^{1/2}·d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx]
hay que obtener un producto tal que uno de sus factores sea, a, es decir [texx] 3 a (a + d^4) [/texx].
Si se observa la ecuación*, en concreto, [texx](3 a^{3/4} z^3 + 6 (3)^{1/2} a^{1/4} d^4·z + 4·3^{3/4}·(a)^{1/2}·d^2 z^2 + 4·3^{1/4}·d^6) [/texx] todos sus sumandos tienen a, entre los factores de los productos, excepto [texx] 4·3^{1/4} d^6[/texx].
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)^{1/4}·z+d^2)^4 [/texx].
Se supone que el 3a debe ser el producto del primer sumando de [texx] (3a+d^2)^4 [/texx]. Porque al sumar todos los sumandos del triángulo de Pascal hay que obtener un número multiplicado por 3a más [texx] d^8[/texx].
Debe de poner:
[texx] 3(a+ d^4)·a + d^8= ((3·a)+d^2)^4 [/texx]. Caso más general.
[texx] 3·a(a+ d^4) + d^8= (x+d^2)^4; [/texx].
[texx] 3·a(a+ d^4) + d^8= x^4+4·x^3·d^2 + 6·x^2·d^4+ 4·x·d^6+ d^8 [/texx].
[texx] 3·a(a+ d^4) = x^4+4·x^3·d^2 + 6·x^2·d^4+ 4·x·d^6 [/texx].
[texx] 3·a(a+ d^4) = x(x^3+4·x^2·d^2 + 6·x·d^4+ 4·d^6 )[/texx].
Y de ahí no se deduce ninguna contradicción y relación de las variables, ¿cierto?
Consideremos las siguientes igualdades.
[texx] (a+b-1)(a+b)(a+b+1)= a (a (a + 3 b) + 3 b^2 - 1) + b (b^2 - 1) = b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a (a^2 - 1) [/texx] (i)
[texx] b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) = a (3 a b + 3 b^2) + b (b^2 - 1) [/texx] (ii)
Si se considera que:
[texx] a^3+(a+b)^3=(a+c)^3 [/texx]
[texx] a^3+(a+b-1)(a+b)(a+b+1)+a+b = (a+c-1)(a+c)(a+c+1)+a+c [/texx] Sustituimos (i);
[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a (a^2 - 1)+a+b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) + a (a^2 - 1)+a+c [/texx];
[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) + a^3+b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) + a ^3+c [/texx] ;
[texx] a^3+ b (3 a^2 + b (3 a + b) - 1) +b = c (3 a^2 + c (3 a + c) - 1) +c [/texx] Sustituimos (ii);
[texx] a^3+ a (3 a b + 3 b^2) + b (b^2 - 1) +b = a (3 a c + 3 c^2) + c (c^2 - 1)+c [/texx];
[texx] a^3+ a (3 a b + 3 b^2) + b^3 = a (3 a c + 3 c^2) + c^3[/texx];
Para conseguir la expresión deseada, [texx] a^3 + b^3 = c^3[/texx], [texx] a (3 a b + 3 b^2) = a (3 a c + 3 c^2) [/texx], en consecuencia b=c. Aunque si es así, se llega a una contradicción, porque [texx] a^3+(a+b)^3=(a+c)^3 [/texx] nunca se cumplira para números enteros, si b=c.
¿Demuestra fermat para n=3?
Cierto, simultáneamente no impide que pueden cumplirse por separado.
\( a^3+(a+b)^3=(a+b+c)^3 \);
\( a^3=(a+b+c)^3 - (a+b)^3 \);
\( a^3= c (3 a^2 + 6 a b + 3 a c + 3 b^2 + 3 b c + c^2) \).
Si se considera que c=a, entonces, \( a^2= (3 a^2 + 6 a b + 3 a c + 3 b^2 + 3 b c + c^2) \) y si es así \( b=-2a Ʌ b=-a \). ¿Cierto?
\( a^3 + (a + b)^3 = (a + b + c^3)^3 \).
(iii) \( a=c·p \)
\( (c p)^3 + (c p + b)^3 = (c p + b + c^3)^3; \)
\( (c p)^3 = (c p + b + c^3)^3-(c p + b)^3; \)
\( (c p + b + c^3)^3-(c p + b)^3=b (3 b c^3 + 3 c^6 + 6 c^4 p) + c^9 + p (3 c^7 + 3 c^5 p); \)
\( b (3 b c^3 + 3 c^6 + 6 c^4 p) + c^9 + p (3 c^7 + 3 c^5 p)= (c p)^3; \)
\( c^3 (3 b^2 + 3 b c^3 + 6 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) = c^3 p^3; \)
\( (3 b^2 + 3 b c^3 + 6 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) = p^3. \)
O todas las variables son cero o hay algún valor negativo en las variables.
Hola.
\( a^3 + (a + b)^3 = (a + b + c^3)^3 \). (*)
Luis dices que “Las soluciones enteras que te está devolviendo vienen de considerar las soluciones triviales de la ecuación, donde necesariamente alguna de los tres cubos es nulo.”
Ese necesariamente, ¿en relación a las soluciones triviales o en general?
Plantearle otra cuestión.
\( (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\( (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \);
Es decir:
\( (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)\color{red}= (b + c^3)^3·x^3\color{black}=(c·p + b)^3 \) (*).
2. \( \color{red}3 c^2 p^2·(b + c^3) =(b + c^3)^3·y\color{black}; y = (3 c^2 p^2)/(b + c^3)^2; p = ± (\sqrt[ ]{y}) (b + c^3))/(\sqrt[ ]{3}( c) \);
3. \( z+y+1=x^3 \).
De 1, para que z sea entero, se deduce que \( z = (3 c p)/(b + c^3) \) que b=c·n, ¿cierto?
De (*) en concreto \( (b + c^3)^3·x^3=(c·p + b)^3 \), ¿ se deduce que \( c=p^2 \)?
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \);
\( (c·p + b)^3 =(b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)=\color{red} (b + c^3)^3·x^3\color{blakc}=(c·p + b)^3 \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·x^3 \).
\( (b + c^3)^3·x^3 \) no puede ser, porque de \( (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) \) hay que obtener una potencia de grado 3. Y entre, sus factores, debe estar, \( (b + c^3) \) en consecuencia \( (b + c^3)^3 \). Aunque eso implica que:
1. \( 3 c p (b + c^3)^2=(b + c^3)^3·z; 3 c p =(b + c^3)·z \).
2. \( 3 c^2 p^2·(b + c^3) =(b + c^3)^3·y; 3 c^2 p^2 =(b + c^3)^2·y \).
3. \( z+y+1=(b + c^3)^n \) siendo n=1, 2, 3…
\( (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\( (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \) (*);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3 + 3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) \).
De ahí \( (c·p + b)^3 \).
\( (b + c^3)^3·x^3 \) (**);
(**) la deduzco de, si \( 8^3+8^2·y+8·z =q^3·t^3 \), entonces necesariamente, \( q^3·t^3=8^3·s^3 \). ¿Cierto?
Es cierta si \( (b+c^3) \) es coprimo con \( (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \); en otro caso no tiene porque ser cierta.
Aunque si es así \( 8^3+8^2·y+8·z = 8^3·(1+j+ñ) \), implica que y, z, tienen un factor común con 8. ¿Cierto?
\( (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\( (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \);
Si se considera que dicha igualdad es igual a \( (b + c^3)^3·x^3 \) entonces \( (b + c^3) \) es coprimo con\( (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) \).
De todas formas al estar analizando el UTF, dicha solución propuesta, es la única, ¿cierto?
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) = (b + c^3)^3·x^3 \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3 \);
Aquí quiero preguntarle en relación a la siguiente secuencia, si es correcta o no.
\( (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3 \) (1).
Suponiendo que \( 3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·y \) (2)
Cosecuentemente \( (b + c^3)^3+(b + c^3)^3·y = (b + c^3)^3·x^3 \). ¿Cierto?
Entonces:
\( 3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)= (b + c^3)^3·y \).
\( 3 c p (b + c^3) + 3 c^2 p^2= (b + c^3)^2·y \).
En consecuencia.
\( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z \).
\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \).
Aunque si es asi \( (b + c^3) \) no es coprimo con\( (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) \). Ambas sumas tienen el factor común de c.
Hola.
Si se considera que:
\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \). (*)
\( 3 c p (b + c^3)^2 + (b + c^3)^3 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3 \).
\( (b + c^3) = c^2·k \).
\( (b + c^3) = c^2·k \).
Si a \( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \) se le suma \( c^3 \) la suma es \( c^2·k \). Más concretamente \( c^2 ((3 p^2)/z - c) + c^3 = c^2 (((3 p^2)/z - c + c)·= c^2 ((3 p^2)/z)= c^2·k \).
En relación a \( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \) recordemos que la z viene de:
\( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z \). Aunque si \( (b + c^3) = c^2·k \).
\( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z \);
\( (b + c^3) = c^2·k \).
Entonces \( z=3 ó z=p^2 \). ¿cierto?
Puede que el cociente no sea entero. Puede que si, puede que no. Aunque tampoco podemos garantizar que no sea entero, ¿cierto?
Frente a esa incertidumbre me pongo en el peor de los casos y que sea entero, pudiendo existir un contraejemplo al UTF n=3. Aunque esta secuencia intenta demostrar, que en el caso de que sea entero dicho cociente, no existe un contraejemplo.
\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \).
\( 3 c p (b + c^3)^2 + (b + c^3)^3 + 3 c^2 p^2·(b + c^3) = (b + c^3)^3·x^3 \).
\( (b + c^3) = c^2·k \).
Consecuentemente:
\( 3 c p (c^2·k)^2 + (c^2·k)^3 + 3 c^2 p^2·( c^2·k)= (c^2·k)^3·x^3 \).
\( 3 p c^5·k^2 + c^6·k^3 + 3 c^4 p^2·k= c^6·k^3·x^3 \).
Necesariamente, \( p=k·c·j \), porque todos los sumandos, excepto \( 3 c^4 p^2·k \) entre sus factores esta \( c^5·k^2 \) ¿cierto?
\( (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \);
\( (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3-(c p)^3 \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b^2 + 2 b c^3 + 3 b c p + c^6 + 3 c^4 p + 3 c^2 p^2) \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \);
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2)\color{red} = (b + c^3)^3·x^3\color{black} \);
\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \); \( k = ((3 p^2)/z ;(b + c^3)·= c^2·k \);
No. Nada te asegura que el cociente \( 3p^2/z \) sea entero.
¿Estás entendiendo que estás tomando \( (3 p^2)/z=k \) y que nada garantiza que ese cociente sea entero? ¿Si o no? Por favor contesta de manera explícita. Habitualmente no contestas nada; más que una nueva lista de fórmulas con algún error. En fin...
No. No tiene porqué. Vuelves erre que erre a presuponer que \( 3p^2/z \) es entero. Si defiendes eso. ¡Arguméntalo!. Argumentar no es dar una lista de ecuaciones sin mayor explicación.
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) = (b + c^3)^3·x^3 \);
Que \( (b + c^3) \) y \( (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \) sean primos. Pues no lo veo.
Si se analiza \( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \) para el UTF solo existe la opción de que \( (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3 x^3 \) ó \( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (b + c^3)^2 \). ¿cierto?
1) ¿Estás de acuerdo en que \( (3 p^2)/z \)no tiene por qué ser entero?
Decía en uno de sus respuestas que podía ser no entero y haber un contraejemplo.
\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \). Sea entero o no el quebrado, el que si tiene que ser entero es b.
Aunque si la propuesta de la respuesta 483 es cierta, explicaría de forma sencilla, el UTF y enlazaría con la conjetura de Beal. Porque implica que p y z, comparten el factor común de c. Eso no implica necesariamente que \( (3 p^2)/z \) sea entero. Pero si que necesariamente b debe ser entero. ¿Cierto?
Aunque he analizado todos los casos, creo, en los que \( (3 p^2)/z \) puede ser entero, y ninguno de ellos satisface el sistema de ecuaciones que se plantea.
Con las siguiente ecuaciones:
\( (c·p + b)^3 = (b + c^3)^3+3 c p (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2·(b + c^3)\color{red} = (b + c^3)^3·x^3 \color{black} \).
\( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z \).
\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \).
Analizo que ocurre si \( z=3p^2 \), \( z=3 \), \( z=p \), \( z=p^2 \), \( p=j·s·c; z=c \), \( p=j·s·c; z=c^2 \).
2) En caso de que SI estés de acuerdo. ¿Por qué insisten hasta cinco veces en considerarlo entero?
Si que estoy de acuerdo en que \( (3 p^2)/z \) no tiene que ser entero. Pero si debe serlo b.
De la respuesta 483 \( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z= c^2·k·z= c^2·k·c·r=c^3·k·r \). Necesariamente b es entero. Aunque si esta propuesta es correcta indica que el UTF es cierto y al haber uno de los exponentes mayor que 3 enlaza con la conjetura de Beal, habiendo un factor común, c. ¿Cierto?
\( A^3=B·C; A^3=B·(B^2)·C·(1/B^2); A^3=B^3·C/B^2; A^3=B^3·x^3 \).
Si x es un entero, C y B tienen algún factor primo común.
¿Cierto?
\( 3 c^2 p^2= (b + c^3)·z \).
\( b = c^2 ((3 p^2)/z - c) \); \( k = ((3 p^2)/z ;(b + c^3)·= c^2·k \);
(...)
\( 3 c p +z= (k·c^2)·x^3- (k·c^2) \). Siendo z divisible por c.
Para que esta ecuación opere solamente con enteros, k debe ser un entero,
en consecuencia p y z,c tienen un factor primo en común, excepto en el caso c=3. Consecuentemente al aplicar \( (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \) del UTF se pasa a Beal. ¿Cierto?
\( A^3=B·C; A^3=B·(B^2)·C·(1/B^2); A^3=B^3·C/B^2; A^3=B^3·x^3 \).
Si x es un entero, C y B tienen algún factor primo común.
Entones se contradice con su respuesta 486. ¿Cierto?
p y z,c tienen un factor primo en común. Consecuentemente al aplicar \( (c p)^3 + (c·p + b)^3 =(c p + b + c^3)^3 \) del UTF se pasa a Beal. Es decir, en \( (c p)^3 \) donde debe haber una potencia con exponente de 3 (UTF) la hay de un exponente mayor a 3 (Beal) ¿Cierto?
Hola\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) = (b + c^3)^3·x^3 \);
Que \( (b + c^3) \) y \( (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \) sean primos. Pues no lo veo.
Es decir para poder deducir de:
\( A^3=B\cdot C que A^3=B\cdot C=B^3\cdot x^3 \)
necesitas que \( B \) y \( C \) no tengan factores primos comunes.
Hola\( (c·p + b)^3 = (b + c^3) (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) = (b + c^3)^3·x^3 \);
Que \( (b + c^3) \) y \( (3 c p (b + c^3) + (b + c^3)^2 + 3 c^2 p^2) \) sean primos. Pues no lo veo.
Es decir para poder deducir de:
\( A^3=B\cdot C que A^3=B\cdot C=B^3\cdot x^3 \)
necesitas que \( B \) y \( C \) no tengan factores primos comunes.
Si p y z,c tiene un factor primo en común, es imposible que se de el UTF, en consecuencia el exponente de \( (c p)^3 \) es mayor de grado 3, conjetura de Beal y además las trs potencias, sus bases, tienen un factor común primo.
\( a^3 + 3 a b (a + b) + b^3 \);
\( a^3 + 3 a b (a + b) =a^4·d^4 \);
\( a(a^2+3b(a+b))=a^4·d^4 \);
\( (a^2+3b(a+b))=a^3·d^4 \).
En consecuencia b y a tienen un factor común,¿ cierto?
Aunque si a adopta el valor de \( a^4 \):
\( a^{12} + 3 a^4 b (a^4 + b) = (a^3 + a b x)^4=a^4·d^4 \);
\( a^{12} + 3 a^8 b + 3 a^4 b^2 = a^{12} + 4 a^{10} b x + 6 a^8 b^2 x^2 + 4 a^6 b^3 x^3 + a^4 b^4 x^4 \);
\( 3 a^4 b (a^4 + b) = a^4 b x (4 a^6 + 6 a^4 b x + 4 a^2 b^2 x^2 + b^3 x^3) \);
\( 3 (a^4 + b) = x (4 a^6 + 6 a^4 b x + 4 a^2 b^2 x^2 + b^3 x^3) \).
Suponiendo que \( x =1 \) , valor mínimo que puede adoptar, aun en ese caso:
\( 3 (a^4 + b) < (4 a^6 + 6 a^4 b+ 4 a^2 b^2 + b^3) \).
Consecuentemente, \( a^{12} + 3 a^4 b (a^4 + b) \neq (a^3 + a b x)^4\neq a^4·d^4 \). ¿Cierto?
Luis, preguntarle, porque la siguiente secuencia de ecuaciones no demuestra el UTF n=3.
\( a^3+(a+b)^3=(a+b+c)^3 \). Reescribiéndose, tal que:
\( c^3 = a^3 + c (-3 a^2 - 6 a b - 3 b^2) + c^2 (-3 a - 3 b) \);
\( a=c \);
\( c^3 + (c + b)^3 = (c + b + c)^3 \);
\( c^3 + (c + b)^3 = (b+2c)^3 \);
\( (b + 2 c) (b^2 + b c + c^2)= (b + 2 c)^3 \);
\( (b^2 + b c + c^2) = (b + 2 c)^2 \);
\( b^2 + b c + c^2 = b^2 + 4 b c + 4 c^2 \);
\( -3 b c - 3 c^2 = 0 \);
\( - b = c \).
Siendo una contradicción. Porque ambas variables deben ser positivas.
\( a^{12} + 3 a^4 b (a^4 + b)=a^4·d^4 \);
\( a^4(a^8+ 3 b (a^4 + b)) =a^4·d^4 \);
\( (a^8 + 3 b (a^4 + b)) =d^4=(a^2+bx)^4 \);
\( (a^8 + 3 b (a^4 + b)) =d^4=a^8 + b (4 a^6 x + b (6 a^4 x^2 + b (4 a^2 x^3 + b x^4))) \);
\( 3 b (a^4 + b) = b (4 a^6 x + b (6 a^4 x^2 + b (4 a^2 x^3 + b x^4))) \).
Para cualquier valor de x, \( 3 b (a^4 + b) < b (4 a^6 x + b (6 a^4 x^2 + b (4 a^2 x^3 + b x^4))) \).
¿Cierto?
Consecuentemente \( (a^8 + 3 b (a^4 + b)) <(a^2+bx)^4 \) y en consecuencia \( d^4≠(a^2+bx)^4 \), ¿cierto?
En relación a las siguientes ecuaciones:
\( a^3+(a+b)^3=(a+b+c)^3 \). Reescribiéndose, tal que:
\( c^3 = a^3 + c (-3 a^2 - 6 a b - 3 b^2) + c^2 (-3 a - 3 b) \);
\( a=x·c \);
\( (x·c)^3+(x·c+b)^3=(x·c+b+c)^3 \);
\( (b + 2 c x) (b^2 + b c x + c^2 x^2) = (b + c x + c)^3 \).
\( b^3 + 3 b^2 c x + 3 b c^2 x^2 + 2 c^3 x^3 = b^3 + 3 b^2 c x + 3 b^2 c + 3 b c^2 x^2 + 6 b c^2 x + 3 b c^2 + c^3 x^3 + 3 c^3 x^2 + 3 c^3 x + c^3 \).
\( c^3 x^3 = 3 b^2 c + 6 b c^2 x + 3 b c^2 + 3 c^3 x^2 + 3 c^3 x + c^3 \).
Consecuentemente, \( c^3 x^3 < 3 b^2 c + 6 b c^2 x + 3 b c^2 + 3 c^3 x^2 + 3 c^3 x + c^3 \).
¿Cierto?
Hola.
La conclusión es que si se cumple la siguiente secuencia:
\( a^3 + 3 a b (a + b) + b^3 \);
Citar\( a^3 + 3 a b (a + b) =a^4·d^4 \);
Supongo que este es tu punto de partida, algo así como:
\( (a+b)^3-b^3=a^4d^4 \) (*)
Supuesto que las variables son números naturales, si. Ahora no se que se supone que pretendes concluir de ahí. Por cierto recuerda que sería deseable que pusieras PALABRAS además de fórmulas. "Suponemos cierta está igualdad...", "...operando...", "... de ahí concluimos que, porque..."....
En consecuencia b y a tienen un factor común. Y a no puede adoptar el valor de \( a^4 \) porque:
, quizás sea una buena táctica para atacar a la conjetura de Beal, ¿no cree?
Sean estas expresiones:
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(c-1)·c·(c+1)[/texx] (*);
La única solución que cumple con la ecuación es:
[texx] 3·4·5+3·4·5=4·5·6[/texx].
Quizás sea la única solución a (*). ¿Cierto?
Desde otra perspectiva:
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx];
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)+a+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF);
[texx] c=a+b [/texx] ó [texx] d^3·c=a+b[/texx];
Hola.
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx].
La igualdad la obtengo de wolfram.
Luis invoco el UTF porque es la suma de tres potencias todas ellas de grado 3. Que es la siguiente ecuación.
[texx] (a-1)·a·(a+1)+a+(b-1)·b·(b+1)+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF n=3);
En referencia a los dos casos, estoy suponiendo que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es igual a una potencia de grado 3.
[texx] c=a+b [/texx] ó [texx] d^3·c=a+b[/texx];
Aunque [texx] a+b[/texx], ¿puede adoptar mas valores? Si se supone que [texx] (a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] es una potencia de grado 3. ¿Cierto?
Sea esta expresión:
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2) [/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2-x+x) [/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-a·b + b^2-x)+(a+b)x [/texx];
Suposición [texx] c=(a+b)x[/texx] y [texx] (c-1)c(c+1)=((a + b) x - 1) ((a + b) x) ((a + b) x + 1)[/texx] *.
¿Es correcta?
Si es correcta, de *, wolfram, despeje de [texx] x = (a^2 - a b + b^2)^{1/3}/((a + b)^2)^{1/3}[/texx].
El denominador es mayor que el numerador, en consecuencia x no es un número entero. ¿Cierto?
[texx]a^3 + b^3 = (a + b) c^2 x^3, a + b = c [/texx].
Si \( x \) no es entero [texx]a^3 + b^3 = c^3 x^3, a + b = c [/texx], entonces no hay entero que cumpla para dicha ecuación, ¿cierto?
[texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1) + a + b = 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x + a + b -x= (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)+ 3·p·q[/texx];
[texx] (a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1); a + b -x= 3·p·q[/texx].
Despeje de x.
[texx] x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1); x= -3·p·q + a + b[/texx].
[texx] (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1)≠-3·p·q + a + b[/texx]. Contradicción.
¿Cierto?
[texx] (a+b)^3=a^3+p^3·q^3[/texx];
[texx] (a+b)^3=a^3+3·a·b·(a+b)+b^3=a^3+b·(3·a·(a+b)+b^2)[/texx];
[texx] b·(3·a·(a+b)+b^2-1+1)=b·(3·a·(a+b)+b^2-1)+b=(p·q)(p·q-1)(p·q+1)+ p·q[/texx];
[texx]b-x=p·q; b·(3·a·(a+b)+b^2-1)+x= (p·q)(p·q-1)(p·q+1)[/texx];
Despeje de x.
[texx]x=-p·q +b; x= (p·q)(p·q-1)(p·q+1)-b·(3·a·(a+b)+b^2-1)[/texx];
[texx]-p·q +b≠(p·q)(p·q-1)(p·q+1)-b·(3·a·(a+b)+b^2-1)[/texx]. Contradicción.
¿Cierto?
La x. Si todas las variables son enteras, la x, adopta dos valores distintos.
[texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx] *;
[texx] x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b-1)(a^2-ab+b^2); x= -3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].
[texx] (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b-1)(a^2-ab+b^2)\neq -3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].
[texx] (3·p·q)·z-k·(a^2-ab+b^2)\neq -3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].
Para satisfacer la ecuación *, todas las variables deben ser enteras y la x, solo debe adoptar un único valor [texx] (3·p·q)·z-k·(a^2-ab+b^2) [/texx].ó [texx]-3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx]. Siendo ambos valores distintos. Es decir [texx] t·w = t[/texx]. Esa afirmación es falsa si w es distinta de 1 ¿cierto?
[texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1) + a + b = 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x + a + b -x= (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)+ 3·p·q[/texx];
[texx] (a+b)(a^2-ab+b^2-1)+x = (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1); a + b -x= 3·p·q[/texx].
Despeje de x.
[texx] x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1); x= -3·p·q + a + b[/texx]**.
[texx] (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1)=-3·p·q + a + b[/texx].
Nota:
[texx] (3·p·q-1)(3·p·q+1)+1=9·p^2·q^2; (3·p·q-1)(3·p·q+1) =9·p^2·q^2-1 [/texx].
[texx] (3·p·q)( 9·p^2·q^2-1)-(a+b)(a^2-ab+b^2-1)=-3·p·q + a + b[/texx].
[texx] (3·p·q)( 9·p^2·q^2)- 3·p·q -(a+b)(a^2-ab+b^2)+a+b=-3·p·q + a + b[/texx].
[texx] (3·p·q)( 9·p^2·q^2)-(a+b)(a^2-ab+b^2)= 0[/texx].
Consecuentemente ** es imposible. Porque
[texx] x =-3·p·q + a + b + Q; x= -3·p·q + a + b[/texx]. Siendo Q distinto de cero.
[texx] (a-1)·a·(a+1)+a= (a-1)·a·(a+1)-x+a+x=c^3[/texx], al realizar el despeje de la x, adopta distintos valores, en consecuencia es incongruente, consecuentemente, el siguente
argumento, ¿es cierto?
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(c-1)·c·(c+1)[/texx] (*);
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx];
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)+a+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF);
[texx] c=a+b [/texx] ó [texx] d^3·c=a+b[/texx];
[texx] c=a+b [/texx];
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)+a+b=(c) (a^2 - a b + b^2 – 1)+c[/texx] (**).
Si [texx] (c) (a^2 - a b + b^2 – 1)+c[/texx] es igual a una potencia de grado 3:
[texx] (a^2 - a b + b^2 – 1)=(c-1)·(c+1)=(a+b-1)(a+b+1)[/texx];
[texx] (a^2 - a b + b^2 – 1)=(a+b-1)(a+b+1)[/texx];
[texx]a^2 - a b + b^2 - 1 = a^2 + 2 a b + b^2 – 1[/texx];
[texx] - a b = 2 a b [/texx]. Contradicción.
¿Es correcto?
Hola.
Sean estas expresiones:
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(c-1)·c·(c+1)[/texx] (*);
La única solución que cumple con la ecuación es:
[texx] 3·4·5+3·4·5=4·5·6[/texx].
Quizás sea la única solución a (*). ¿Cierto? Desde otra perspectiva:
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)[/texx];
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)+a+b=(a + b) (a^2 - a b + b^2 – 1)+a+b[/texx] (**) (UTF);
[texx] c=a+b [/texx] ó [texx] d^3·c=a+b[/texx];
[texx] c=a+b [/texx];
[texx] (a-1)·a·(a+1)+(b-1)·b·(b+1)+a+b=(c) (a^2 - a b + b^2 – 1)+c[/texx] (**).
Si [texx] (c) (a^2 - a b + b^2 – 1)+c[/texx] es igual a una potencia de grado 3:
[texx] (a^2 - a b + b^2 – 1)=(c-1)·(c+1)=(a+b-1)(a+b+1)[/texx];
[texx] (a^2 - a b + b^2 – 1)=(a+b-1)(a+b+1)[/texx];
[texx]a^2 - a b + b^2 - 1 = a^2 + 2 a b + b^2 – 1[/texx];
[texx] - a b = 2 a b [/texx]. Contradicción.
¿Es correcto?
Atentamente.
Luis lo que intento decir es que si se intentar intercalar una x tal que:
[texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b-1)(a^2-ab+b^2) + a^2-ab+b^2 = 3^3·p^3·q^3[/texx];
[texx] a^3+b^3=(a+b-1)(a^2-ab+b^2)+ x+ a^2-ab+b^2 -x= (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)+ 3·p·q[/texx];
[texx] (a+b-1)(a^2-ab+b^2)+x = (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1); a^2-ab+b^2 -x= 3·p·q[/texx].
Despeje de x.
[texx] x =(3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b-1)(a^2-ab+b^2); x= -3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].
[texx] (3·p·q)(3·p·q-1)(3·p·q+1)-(a+b-1)(a^2-ab+b^2)≠-3·p·q + a^2-ab+b^2[/texx].
Si se simplifica se llega a que [texx] a^3+b^3= 3^3·p^3·q^3[/texx].
¿Dónde está la x? ¿Puede considerarse que la x es igual a 0?
Aunque si a estas tres potencias se le permite que en el grado de sus potencias haya uno o más grados mayores que 3, entonces, ese aumento de grado puede reflejarse mediante la suma de z a la ecuación **, es decir, [texx] z –a·b=2·a·b[/texx], obteniendo de esa forma las soluciones a la Conjetura de Beal. ¿Cierto?