Hola
De hecho, sigo sin tener muy claro cómo hacerlo. Cuál sería la expresión concreta para esos limites? (igual es una tontería pero ahora no caigo)
Básicamente se trata de saber los máximo y mínimos de la función e intervalos de continuidad y a partir de ahí usar que las funciones continuas en un conexo toman todos los valores intermedios entre otros dos.
Entonces si tienes:
\( \displaystyle f(x) = \frac{(x - 1)^2 - (x + 1)}{2x + 5}=\dfrac{x^2-3x}{2x+5} \)
El dominio es \( \Bbb R-\{-5/2\} \).
La función es continua en los intervalos conexos \( (-\infty,-5/2) \) y \( (-5/2,\infty). \)
Se tiene:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -(5/2)^+}{}f(x)=\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -(5/2)^-}{}f(x)=-\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty}{}f(x)=-\infty \)
Ahora estudiamos el mínimo en \( (-5/2,\infty) \) (de lo anterior el supremo es \( +\infty \)) y el máximo en \( (-\infty,-5/2) \), a través de la anulación de su derivada:
\( f'(x)=\dfrac{2x^2+10x-15}{(5-2x)^2} \)
Se anula para:
\( x_1=\dfrac{-5-\sqrt{55}}{2}\in (-\infty,-5/2) \)
\( x_2=\dfrac{-5+\sqrt{55}}{2}\in (-5/2,+\infty) \)
Se deduce que en \( (-5/2,\infty) \) la función tiene un mínimo en \( x_2 \) y el máximo en \( (-\infty,-5/2) \) se alcanza en \( x_1 \). Por tanto la imagen de la función es:
\( (-\infty,f(x_1))\cup (f(x_2),+\infty) \)
Saludos.
