Gracias si los otros estan dificiles
Oye yo trate de sumar \( 1,e^{\displaystyle\frac{2\pi i}{n}},...,e^{2\pi (n-1)} \)
Si, pero no es necesario, como te indico es directo.
Los otros no son muy difíciles. Veamos
(b) Determine todos los valores de a tales que la congruencia
\( ax^4\equiv{2}(\mod 13) \) tiene solución.
Se trata de hallar todos los valores de \( a \mod 13 \). Hay que ir más bien al revés: investiga que valores puede alcanzar \( x^4 \mod 13 \), son bastantes menos de \( 13 \), y halla los valores de \( a \) que les corresponden.
(c) Demuestre que la expansión decimal de la fracción \( \displaystyle\frac{1}{p} \)tiene período \( p − 1 \) si
y sólo si 10 es raíz primitiva módulo p
En general, el período de \( \displaystyle\frac{1}{p} \) es el orden de \( 10 \mod p \), es decir el mínimo \( k \,|\, 10^k \equiv{} 1 \mod p \). Si las cifras del periodo son \( a_1, a_2, \ldots ,a_k \), es decir si \( \displaystyle\frac{1}{p}=0.\overline{a_1a_2\ldots a_k} \), y los restos parciales \( r_1, r_2,\ldots, r_k = 1 \), se tiene que
\( 10 = p\cdot{}a_1 + r_1\;\Rightarrow{} r_1 \equiv{}10 \mod p\\
10\cdot{}r_1 = p\cdot{}a_2 + r_2\;\Rightarrow{} r_2\equiv{}10\cdot{}r_1 \equiv{}10^2 \mod p\\
\ldots \\
10\cdot{}r_{k-1} = p\cdot{}a_k + r_k\;\Rightarrow{} 1 = r_k \equiv{}10\cdot{}r_{k-1}\equiv{}10^2\cdot{}r_{k-2} \equiv{}\ldots\equiv{}10^k \mod p \)
Por tanto, si el período de \( \displaystyle\frac{1}{p} es p-1 \), es que \( p-1 \) es el orden de \( 10 \mod p,\textrm{ y }10 \) es una raíz primitiva \( \mod p \). Y viceversa, si \( 10 \) es una raíz primitiva \( \mod p,\textrm{ es que }10\textrm{ genera }\mathbb{Z}_p\textrm{ y }p-1 \)es el orden de \( 10 \mod p \), por lo que es la longitud del período de \( \displaystyle\frac{1}{p} \).
Saludos,
