Autor Tema: Conjetura de Collatz, por Luckdevil

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21 Octubre, 2017, 08:22 pm
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Luckdevil

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(Ir directamente a mi cuarto mensaje, donde creo resolverlo (a veces hay que esperar a que carge para que se vean las fórmulas))
Aquí va mi forma de verlo, iré un poco al grano, sin meterme en muchas cosas:
Ejemplo:
\(  27\cdot{3}+1=82 \longrightarrow{41\longrightarrow{41\cdot{3}+1=124 \longrightarrow{62}\longrightarrow{31}}}  \)

Vamos a ver lo que esta pasando:
\(  \displaystyle{\displaystyle{27+14+21\over 2}+16+24+36+54+81\over 2}+...  \)
Como se puede ver el segundo sumando es \( 14=\displaystyle{27+1\over 2} \) y el tercero es \( 21=\displaystyle{27+14+1\over 2} \)
Relaccionandolo con lo de arriba \( 41=27+14 \) y \( 31=\displaystyle{27+14+21\over 2} \)

Veámoslo en una fórmula:
\(  \displaystyle{\displaystyle{{n+\displaystyle{n+1\over 2}+{n+\displaystyle{{n+1\over 2}+1}\over 2}}}}+\displaystyle{{n+\displaystyle{n+1\over 2}+{n+\displaystyle{{n+1\over 2}+1}\over 2}}+1\over 2}+  \)...Así sería la fórmula si siguiese sin ser divisible entre 2

\(  \displaystyle{\displaystyle{{27+\displaystyle{14}+{21}}}}+\displaystyle{31+1\over 2}+  \)...Aquí pongo la fórmula ajustada al caso del ejemplo, esta un poco cambiada, pero no cambia mucho (me cuesta un poco escribir las fórmulas con el programa)(Releyendo alguna liada he hecho pero así se queda por hoy)

Reduciendo la fórmula teórica en partes daría(para 2,3 y 4 términos):
\( \displaystyle{3n+1\over 2};\displaystyle{9n+5\over 4};\displaystyle{27n+19\over 8} \)

Lo que me lleva a pensar en algo como:
\( \displaystyle{3^{k}n+3^{k}-2^{k}\over 2^{k}} \); es decir: \( \displaystyle{(ni+1)}\displaystyle{3^{k}\over 2^{k}}-1 \)

Probémosla (Por ejemplo para el 69):
(69+1)*1,5-1=104 -> 52 -> 26 -> 13 -> (13+1)*1,5-1 -> 20 -> 5 -> (5+1)*1,5-1=8

Probemosla también un poco con el 27 para ver bien como funciona:
(27+1)*1,5*1,5-1=62 -> 31 -> (31+1)*1,5*1,5*1,5*1,5*1,5-1 -> 242 -> 121 ->...
Se puede ver que el número de veces por el que tengo que multiplicar 1,5 es el número de veces que puedo dividir entre dos el (n+1), es decir, hasta que me de impar

Esto último es un añadido, no tengo tiempo para comprobarlo ahora (parte por no estar a escribirlo) pero si partimos desde 1 y usamos la fórmula al revés añadiendo el *2 elevado a algo que puede ser el que queramos (y lo hacemos varias veces) obtenemos una fórmula en la que parece que eligiendo los exponentes adecuadamente se puede llegar a demostrar que es valido para llegar a cualquier número.

Bueno, esta es mi forma de verlo, cuando tenga tiempo intentaré acabarlo, si has llegado hasta aquí, gracias por leerlo.

21 Octubre, 2017, 11:40 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Hace poco alguien escribió algo parecido en el foro, explicitando una fórmula para una cierta iteración del número inicial:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=98127.0

Saludos.

23 Octubre, 2017, 08:08 pm
Respuesta #2

Luckdevil

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Gracias, no lo había visto.
He avanzado un poco (El mensaje ha sido modificado para añadir la fórmula, hasta el punto 6 es una introducción):
1)Si cumple para los impares cumplirá para los pares.
2) Veamos los valores \(  i*4+1  \), con i impar
En binario son de la forma: \(  x101  \), lo que hace que  \(  3*(x101)+1= 3*(x100)+11+1=3*(x100)+100  \), es decir que es como si el 01 del final se pudiera quitar, lo que viene a decir que si cumple para i cumplirá para i*4+1

3)Veamoslo:
 \( 1,3,(5),7,9,11,(13),15,17,19,(21),23,25,27,(29),31...  \)
Si cumple para 1,3,5,7,9,11,13... cumplirá para 5,13,21,29,37,45,53...

4)Veamos ahora \(  p*4+1  \), con p par
Ejemplos:
 \( \displaystyle{9*3+1\over4}=7 \)     \( \displaystyle{17*3+1\over4}=13 \)     \( \displaystyle{25*3+1\over4}=19 \)

5)Veamoslo:
 \( 1,3,(5),7,(9),11,(13),15,(17),19,(21),23,(25),27,(29),31...  \)
Si cumple para 7,13,19,25,31... cumplirá para 9,17,25,33,41...

6)Desde aquí se podría seguir con fórmulas del tipo:
 \( \displaystyle{5*2-1\over3}=3 \)     \( \displaystyle{11*2-1\over3}=7 \)
para poder seguir viendo relacciones.

Antes de dar una fórmula, hablaré sobre el comportamiento de los números:
El 3 va al 5 , el 7 al 11, el 11 al 17, 15 al 23...
 \( 1,3,(5),,7,,(9),11,(13),15,(17),19,(21),23,(25),27,(29),31,(33),35...53...  \)
 \( 2,5,(8),11,(14),17,(20),23,(26),29,(32),35,(38),41,(44),47,50,(53)...(80)...  \)    \(  x*3+1\over2 \)

Cojamos un número cualquiera de la primera fila y sumemosle 1 y dividamos por 2, cojerémos el 23 por ejemplo:
 \( \displaystyle{23+1\over2}=12=3*2*2 \)
¿Que significa esto?
Podría salir hacía abajo 3*2*2=12
ó podría ir hacia la izquierda (quitando un 3)= 2*2= 4 posiciones hasta el 15
ó la otra opción, podría ir hacia la derecha (quitando un 2)=3*2=6 posiciones hasta el 35

Postdata: el valor irá hacía la derecha hasta que no tenga doses (se le van añadiendo treses por el camino) y llegará a \( \displaystyle{k*3^a} \), desde ahí seguirá su camino hasta convertirse en 1.

7)LA FORMULA (Lo haré con un ejemplo):
el número 23
número de movimientos: 23 al 35 al 53 al 5 al 1 = 4 movimientos \( \rightarrow{23*3^4+3^3} \), siempre es así \( n*3^{n}+3^{n-1} \)
en el 23, debajo esta el 35 que no es divisible \( \rightarrow{2*3^2} \), en realidad si que hay un dos poque sería de 70
en el 35, igual \( \rightarrow{2*2*3^1} \), aquí está un 2 perteneciente a 53 (que era 106) y el otro pertenece al anterior, a 70
en el 53, \( \rightarrow{2^7*3^0} \), son dos de antes, más del 80 que se puede dividir entre 2*2*2*2, más uno más porque 80 en realidad eran 160
en el 5, \( \rightarrow{2^{11}} \), son los 7 que llevabamos, más 3 de dividir el 8, más uno más porque el 8 en realidad eran 16

El resutado:
\( \displaystyle{2^{11}=23*3^4+3^3+2*3^2+4*3+2^7} \)
\( \displaystyle{16*128=23*3^4+3^3+2*3^2+4*3+128} \)

No seguiré más, por mi parte está resuelto.
Y ahora, a por los primos  :banghead:

Un último ejemplo:
Sumemos 1 y dividamos por 2 a la primeras fila:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...
y veamos que pasa (cojeré el 17 de ejemplo (lo que antes era el 33)):
\( 17(-4)\rightarrow{13(-3)\rightarrow{10(+5)\rightarrow{15(-9)\rightarrow{6(+3)\rightarrow{9(-2)\rightarrow{7(-4)\rightarrow{3(-2)\rightarrow{1}}}}}}}} \)
33,25,19,29,11,17,13,5,1
Resta hasta encontrar un par, luego sube hasta dejar de ser par y luego continúa asi hasta llegar a 1, acojonante.

No acabo de acabar, cada valor tiene un incremento asociado si se considera una única dirección(antes lo estaba considerando distinto, 7(-4) ahora sería el 13(-4), el 6 el 11, el 3 el 5...):
1=1,3(+1),5(-2),7(+2),9(-1),11(+3),13(-4),15(+4)... ¿Tendrá algo que ver como funcionan los números primos? Estaría bien analizarla.
O como totales: 1(0), 3(-1), 5(-2), 7(-3)...

25 Octubre, 2017, 12:15 am
Respuesta #3

Luckdevil

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Visto un poco lo anterior, ya casi está (este mensaje ha sido modificado y reducido con el fin de no saturar la página y que se vean las fórmulas):
En las matrices que se muestran, la primera fila son valores y a su izquierda o derecha los valores relaccionados (Ej: \( 3*3+1\over2 \)=5) y las otras, factorizaciones del valor+1
Lo que quiero es que os fijeis en varias cosas:
1)La distancia entre los números de la fila 1 y sus factorizaciónes. La segunda fila va hacía la derecha 3+2=5, la tercera es hacía la izquierda 5-2=3.
2)La relacción entre matrices: 3*2+1=7, 5*2+1=11...
3)Acaban en par

\( \begin{bmatrix}{}&{3}&{5}&{8}\\{2*}&{2}&{3}&{}\\{3*}&{}&{2}&{}\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}{}&{7}&{11}&{17}&{26}\\{2*}&{4}&{6}&{9}&{}\\{3*}&{}&{4}&{6}&{}\end{bmatrix} \)

Ya casi está resuelto, aún faltan algunos números como el 9, 19... que los acabaré de añadir y daré por concluida la demostración (supongo que modificando este mismo mensaje). Fijarse en la relacción \( 2*n+1 \)

Los cuadrados y su fórmula se podrán encontrar directamente. También podría haber hablado de \( n*2^x-1\Leftrightarrow{n*3^x-1} \)

25 Octubre, 2017, 12:22 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 ¿Cuándo dices "ya casi está resuelto"?¿Te refieres a la conjetura de Collatz?.

 Yo no veo ninguna demostración en lo que expones, tan solo una colección de cuentas que pudieran sugerir un camino para intentar algo.

Saludos.

26 Octubre, 2017, 06:50 am
Respuesta #5

Luckdevil

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Aquí va la demostración(Estoy intentando cambiarlo porque nunca se si me explico bien, hay unas explicaciones que están en proceso y un final donde está lo que espero sea una demostración):
Explicaciones previas:
Explicación 1 (Veremos como se mueven los números de una posición a otra):
Dado un número cualquiera se le divide por 2 tantas veces como sea necesario hasta conseguir un impar al que llamaremos N.
A este N al sumarle 1 y obtener su factorización dará, lo hago con un ejemplo:
N=17,  17+1=18,  18=2*9 ó 18=3*6
Pues estos números (9 y 6) están relacionados directamente con los números de donde viene y a donde va:
17*3+1=52,  52/2=26, 26=17+9
17-6=11,    11*3+1=34,   34/2=17
Siempre es así, si el valor (N+1) admite factorización 2*x, N+x es el valor al que va.
Siempre es así, si el valor (N+1) admite factorización 3*y, N-y es el valor del que viene.
Explicaré un poco lo de la factorización(esto lo podeis saltar):   
 (17*3+1)/2=17+(17+1)/2=17+18/2 , tan fácil como eso,
 (17*2-1)/3=(17*2+17-18)/3=(3*17-18)/3=17-18/3, este era más difícil

Explicación 2 (Veremos como se mueven los números hasta un primer par (con par me refiero a que sea par despues de dividir N*3+1 entre 2)):
Elijamos un número impar cualquiera, elegiremos esta vez N=7
N=7,   7+1=8=2*4,   7+4=11,  11+1=12=2*6,  11+6=17,  17+1=18=2*9,  17+9=26
Siempre es así, al impar N siempre se le puede llevar hasta un primer par al que se habrá llegado, como se puede ver, con una succesión, la succesión en este caso es la siguiente, lo haré con el ejemplo (Aunque creo que tambien lo explicaba en mi primer mensaje):
Como para N=7 me daba 4:   7+(4)+(4/2)+((4+4/2)/2)=7+4+6+9=26; (7 iba a 11, 11 a 17 y 17 a 26)
Podría haber elegido un N cualquiera, por ejemplo: N=15, con lo que seria: 15+1=16=2*8,  y la sucesión hubiese sido(me ahorro los números): 15+8+12+18+9
Vamos, en resumen, que el primer número de la sucesión(el 8) está relacionado con el número, y el segundo (el 12) esta relacionado con el primer término de la sucesión y es el primer término de la sucesión más la mitad del número de la sucesión, y el tecer término (el 18) es el segundo término más la mitad del segundo término, y así sucesivamente hasta llegar a un último número de la sucesión que es impar.
Pues bien, saliendo de un impar N cualquiera se podrá llegar siempre a un par, mediante una sucesión que acabará con un término impar, el número de términos de la sucesión también puede saberse pues esta relacionado con el número de veces que se puede dividir entre 2 el N+1.
Este último término impar es al que más adelante he llamado i.
Después de esto se dividirá este par entre 2 tantas veces como se pueda y volveremos a empezar con el núevo impar que nos haya salido.
Esto es un poco la introducción, avanzaré cuando esto lo pueda dar alguien por entendido, aunque me gustaría reducirlo.
En la expresión de abajo (N+...+i) representa este par que será dividido entre 2 tantas veces como se pueda hasta convertirse en impar.
La representación de abajo es solo un cacho pero seguiría hasta otro i, todo entre 2 tantas veces como se pueda, y así sucesivamente.

Final:
El resultado final es 1 porque:

\(  \displaystyle{\displaystyle{N+P_1+P_2+P_3+...+i_1\over2^{k_1}}+P_4+P_5+P_6+...+i_2\over2^{k_2}}+... \), donde las P son números pares.

es igual a:

\(  \displaystyle{N+P_1+P_2+P_3+...+i_1+P_7+P_8+i_2*2^{k_1}+...\over2^r} \) ,

Recordemos que solo en el caso de que N en el que N+1 tuviese factorización \( par*\infty \) no tendría término i, porque de esto depende que tenga término i.
Así que en la práctica, siempre que se de un número impar, habrá un término i.
Recordar también que nunca vuelve a N, como mucho a un número que sea mayor que N aunque este al dividirlo por \( 2^x \) sea menor que N.
Así que como el término de arriba siempre crece, llegará a infinito ó a cuadrado par, pero para que llegue a infinito tendría que salir de un N en el que N+1 que tuviese factorización \( par*\infty \) porque de esto depende que tenga término i.
Repito que no se si me explico.

26 Octubre, 2017, 11:04 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Pues, al menos yo, no entiendo nada. Me es dificil concretar que no entiendo por que simplemente lo le veo sentido.

 Las fórmulas se refieren a sucesivas iteraciones de un número; están escritas de manera algo imprecisa (¿hasta dónde llegan esos puntos suspensivos, ¿quiénes son los \( i_1,i_2 \)?), pero lo que es oscuro y clave, es que no veo ningún razonamiento concreto y explicado que justifique la mera afirmación de que el resultado final siempre es 1.

Saludos.

26 Octubre, 2017, 11:19 am
Respuesta #7

Luckdevil

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Bueno, voy a intentar modificar un poco el mensaje anterior, estoy en ello. Luego modificas el tuyo y así lo voy dejando de manera que se entienda ;D

26 Octubre, 2017, 11:26 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Bueno, voy a intentar modificar un poco el mensaje anterior, estoy en ello. Luego modificas el tuyo y así lo voy dejando de manera que se entienda ;D

No. Eso no es un método de debate muy aconsejable.

Si lo que tienes que hacer es corregir una errata mínima, puedes modificar el mensaje indicándo en ROJO la corrección.

Si el cambio es más sustancial, vale la pena que lo reescribas en un nuevo mensaje. En otro caso el debate será difícil de seguir.

Una buena idea  es que te tomes tu tiempo escribiendo primero las cosas a limpio en un papel y cuando las tengas más claras, escribirlas en el foro.

Saludos.

26 Octubre, 2017, 02:16 pm
Respuesta #9

Luckdevil

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Aún así, lo he modificado, que si que le hacía falta una introducción.