[Yonapla]

Hola tengo el siguiente ejercicio para demostrar y no se ni como empezar:
Sea \( p \) un primo, y sea \( g \) un primo que divide a \( p-1 \).

1) Sean \( a \) perteneciente al conjunto de los coprimos con \( p \), llamado \( U_{p} \) y sea \( b=a^{\frac{p-1}{q}} \). Probar que o bien \( b=1 \) o bien \( b \) tiene orden \( q \).

2) Supongamos que buscamos un elemento de \( U_{p} \) de orden \( q \). Usando el ítem anterior, podemos elegir aleatoriamente elementos \( a \) -perteneciente a \( U_{p} \) y chequear si \( b=a^{\frac{p-1}{q}} \) satisface \( b\neq1 \). >Qué probabilidades tenemos de tener éxito? En otras palabras, calcular el cociente
  
  \( \frac{ \#\left\{ a\in U_{p}:a^{\frac{p-1}{q}}\neq 1 \right\}}{p-1} \).

Gracias
  

[teeteto]

Para el 1). Observa que \( b^q\equiv 1\pmod{p} \), por tanto el orden de \( b \) divide a \( q \); es decir, es \( 1 \) ó \( q \). Pero si el orden de \( b \) es \( 1 \) es porque \( b=1 \).

Para el 2) observa que estás buscando elementos de \( U_p \) distintos de \( 1 \) que NO sean potencias de exponente \( q \). Si miras por aquí, por ejemplo:

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Power_residue

serás que el cardinal de tu numerador es, pues, \( \frac{p-1}{q}-1 \)