Es decir, no puedo hacer matemática si no conozco las reglas del juego.
No, eso no es así. Estás aplicando patrones de razonamiento que son totalmente válidos cuando se aplican a la matemática formal, pero que dejan de serlo cuando te sales de ella. Es como si naufragas en una isla desierta y te indignas porque no encuentras ningún enchufe para conectar tu ordenador portátil. Las reglas de juego de una isla desierta no son las mismas que las de una ciudad. De hecho, en una ciudad sabes a priori lo que puedes y lo que no puedes hacer, mientras que en una isla desierta sólo puedes probar si algo que te propones funciona o no funciona, pero no puedes quedarte sin hacer nada sólo por no saber a priori si lo que pretendes funcionará.
Y no has de olvidar que las ciudades se han construido sobre territorios salvajes donde no había reglas, de modo que lo que un ser "civilizado" considera "las reglas del juego de la vida" no son "las reglas", sino un paraíso artificial que nos permite el lujo de olvidarnos de que "lo que hay de verdad" no tiene nada que ver con esas reglas. Creo que toda la metáfora vale para el razonamiento "civilizado" matemático y el razonamiento "salvaje" intuitivo.
Lo que quiero decirte es que cuando tienes que juzgar si un razonamiento es concluyente o no lo es, no necesitas encontrar principios generales que harían concluyente a cualquier otro razonamiento que se basara en los mismos principios. Tu problema real es juzgar si ése razonamiento concreto te convence de que la conclusión es necesaria o te da pie a dudar si no podría ser falsa. Lo de fijar unas reglas a priori y luego limitarse a aplicarlas es uno de los lujos de la matemática formal "artificial", pero pedir eso en la naturaleza es como dar un curso de derechos humanos a un león que está a punto de comerte. En el razonamiento "natural" uno escucha el argumento y se plantea si eso es convincente o no, sin buscar una regla general que, supuesto que se acepte, aseguraría la validez del argumento. Esa forma de proceder es inútil porque obligaría a razonar si la regla general es convincente o no, y es mucho más complicado razonar si una regla general va a ser fiable en cualquier caso en el que se pretenda aplicar que razonar si un caso concreto de dicha regla es fiable o no.
De la misma manera que razonamos que toda afirmación en AP es "intuitiva",
entonces se podría razonar que toda afirmación de los Axiomas de Peano de 2do orden también es intuitiva.
Discrepo radicalmente.
Allí aparecen unas "propiedades" P sobre las cuales se puede cuantificar.
Ése es el problema. Como ya te decía en mi mensaje anterior, el hecho de que sepamos dar un sentido intuitivo a ciertas propiedades de los números naturales (y fíjate que propiedad es lo mismo que subconjunto de \( \mathbb{N} \)) no quiere decir que sepamos dar un sentido intuitivo a "todas las propiedades de los números naturales". Yo no sé lo que significa que todo subconjunto de \( \mathbb{N} \) cumpla tal o cual cosa.
La lógica de segundo orden sólo se puede interpretar en el contexto de una teoría de conjuntos (salvo que consideres interpretaciones parciales, en las que "para toda propiedad P" lo interpretes como "para toda propiedad con ciertas características "controlables", como "para toda propiedad recursiva", o aritmética, o cosas así, en cuyo caso no has ganado nada conceptualmente con el paso a segundo orden.
Si ahora quiero demostrar que los naturales intuitivos son un modelo de esa teoría (¿se denota AP2?), entonces tendría que decir quiénes son esas "P" en el modelo "intuitivo".
¿Cómo se hace esto?
No sé. Yo sólo soy capaz de entender que los números naturales son un modelo de AP2 como un teorema de la teoría de conjuntos (de cualquier teoría de conjuntos mínimamente potente como para expresar y demostrar eso). No sé darle una interpretación intuitiva, porque no sé qué significa intuitivamente "para toda propiedad".
¿Resulta de nuevo que todas las propiedades P(n) son intuitivas?
No te puedo decir ni que sí ni que no, porque no sé lo que significa "todas las propiedades P(n)". Para mí esa afirmación no tiene sentido.
(Estoy mirando los axiomas tal como se enuncian en Wikipedia, aunque el artículo de ahí me parece que tiene algunas cosas ridículas, no sé: http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano).
Lo he mirado así por encima, al margen de que no me parece que se centre en lo esencial, el caso es que habla alegremente de conjuntos, lo cual sólo tiene sentido (o al menos yo sólo le sé encontrar un sentido) en el seno de una teoría de conjuntos.
Otra cuestión es esta:
Supongamos que P(n) es una afirmación de los naturales intuitivos n.
Supongamos que P(n) es verdadera para todo n, pero que no es demostrable en las teorías axiomáticas conocidas de los naturales.
¿Qué significa que P(n) es verdadera para todo n?
¿O qué significa que P(n) es verdadera o falsa, aunque no sepamos demostrarlo?
¿Qué significar que la conjetura de goldgach es verdadera, "intuitivamente"?
¿Cómo recorro infinitos casos con la intuición, para poder establecer que algo es verdadero o no lo es?
Es que no se trata de establecerlo. Se trata de saber lo que significa. No es lo mismo. Yo no sé si el rey Alfonso XII de España era hijo de su padre o no. Las malas lenguas insinúan que no lo era. Y no se me ocurre cómo se podría averiguar. Pero sé lo que significa que suceda un caso o que suceda el otro. No necesito presentar un procedimiento científico viable de análisis de ADN de unos restos disponibles para explicar qué significa que Alfonso XII fuera hijo de su padre. Puedo explicar lo que significa sin dar un procedimiento para verificarlo.
Si voy recorriendo los naturales pares n, intuitivos, a ver si son todos suma de dos primos, y si por más que busque no obtengo un contraejemplo, ¿cómo puedo afirmar que vale la conjetura de Goldbach?
Es que no se trata de afirmar que vale. Eso sería demostrarlo. Lo único que necesitas para reconocer que la conjetura de Goldbach tiene un significado intuitivo, sin saber si es cierta o falsa, es comprender que será cierta si es imposible encontrar un contraejemplo (que no es lo mismo que no haberlo encontrado). Llama P(n) a la propiedad de la conjetura de Goldbach (n es impar, n es menor o igual que 2 o bien n es suma de dos primos). Yo sé lo que significa P(0), y sé que es cierto, sé lo que significa P(1), y sé que es cierto, etc.
Entonces, sé que existen dos posibilidades, y que no pueden darse las dos a la vez: o bien avanzando en la sucesión de los números naturales termino encontrando un n para el que P(n) es falso, o bien por mucho que avance nunca podré encontrarme con tal contraejemplo. Sólo puede darse uno de los dos casos, o está el contraejemplo en algún sitio esperando a ser encontrado, o no lo hay y es inútil buscarlo. En el primer caso decimos que la conjetura es falsa, y en el segundo que es verdadera.
Compara esto con: "Todo conjunto totalmente ordenado completo y con la condición de cadena numerable es homeomorfo a \( \mathbb{R} \)". Ahora no puedo decir que esta afirmación tenga que ser verdadera o falsa. A lo sumo podré esperar que exista una demostración en ZFC de que es verdadera o una demostración de que es falsa, pero si no existiera una demostración ni de lo uno ni de lo otro, no puedo decir "no sé si es cierta o falsa, pero seguro que lo es o no lo es". En cambio, con la conjetura de Goldbach, sin hacer ninguna referencia a ninguna teoría axiomática y, más en general, sin hacer referencia a mis posibilidades de demostrarla o refutarla, sí que puedo afirmar que es verdadera o falsa y que, si fuera verdadera y tomara como axioma que es falsa, aunque la teoría resultara consistente, sería una teoría falsa, que no describiría los números naturales de verdad, porque un axioma postularía la existencia de un número natural (un contraejemplo) que no puede ser ni cero, ni uno, ni dos, etc.
Eso equivale a decir algo como \( P(1) \wedge P(2) \wedge P(3) \wedge ..., \)
y no sé qué sentido darle a una conjunción infinita, sin una teoría formal.
Pues el sentido es que si programas a un ordenador para que vaya comprobando P(n) para cada n y pare sólo cuando encuentre un contraejemplo, el ordenador nunca parará.
¿Si entro en tu hilo de C y te planto un programa que he diseñado yo (en realidad no se nada de C, pero es un suponer) y te pido que lo analices para ver si se parará o entrará en un bucle infinito, me dirás que no entiendes lo que te estoy preguntando? Si el programa que te planteo es el que va comprobando P(n), una respuesta honesta por tu parte sería que no sabes si se parará o no, porque saberlo equivaldría a demostrar o refutar la conjetura de Goldbach, pero no puedes decirme que no entiendes lo que te estoy preguntando. (Obviamente, decir que en cualquier caso parará cuando el ordenador se sature sería una trivialidad que no respondería realmente a la pregunta.)
una parte hermosísima de las matemáticas que, por tus inquietudes, te tiene que encantar por fuerza.
Claro que me gustaría, pero no se puede avanzar con lagunas, y menos aún "creyendo" todo lo que se dice, porque si realmente me voy a dedicar a este tema, será con la esperanza de encontrar algo nuevo, y no se puede encontrar nada nuevo aceptando las cosas tal como otros las creen o presentan.
Mi consejo no era "tú créetelo todo y no preguntes". El problema es que lo que intentas no es estudiar una teoría sino criticarla. Y lo que te digo es que para criticar algo necesitas conocerlo antes. Una crítica a priori es siempre una crítica infundada y sin valor. La historia está llena de gente que ha criticado libros que no ha leído ni entendido. Obviamente, en tu caso no se da la mala fe que es evidente en los casos a los que me refiero, pero la "disfunción" es la misma. Lo que te digo es: si sospechas que los lógicos "juegan sucio" cuando montan sus teorías, lo que tienes que hacer es estudiar lo que dicen como si estudiaras una religión. Podrías hacerte un experto en la religión romana sin necesidad de creer que existe Júpiter. Se trata de que sepas qué diría un romano cuando le preguntan si Júpiter era soltero o casado, y cosas así.
Pero esto es sólo el primer paso. El segundo paso (sin el cual el primero se desvirtúa) es hacer lo que pretendes hacer ahora: plantearte si "eso que dicen los lógicos" (y que, completado el paso primero, ya sabes exactamente lo que es) es concluyente o tiene lagunas.
La verdad es que sería más natural combinar los dos procesos de conocimiento y crítica: tomas un libro, miras lo primero que dice y lo analizas críticamente, luego miras lo segundo que dice y lo analizas críticamente, etc. Pero he observado que eso no funciona contigo, porque tus críticas suelen ir encaminadas a buscar principios generales cuando éstos no son necesarios en absoluto, y por eso no se me ocurre otra forma de sacarte del atasco que sugerirte que avances acríticamente hasta que llegues a estar en condiciones de darte cuenta de que toda la teoría tiene sentido y es concluyente sin necesidad de esos principios generales que a priori pretendes exigir como indispensables. Digo, pues, que la única forma que se me ocurre de que acabes convenciéndote de que lo que tu crítica considera indispensable no lo es realmente es que avances en la teoría olvidando tu crítica para que, cuando hayas abarcado lo suficiente, puedas darte cuenta de que tus requisitos no eran imprescindibles.
Es como si te niegas a emprender un viaje porque juzgas que tienes poca agua, y yo te aseguro que no necesitarás más agua que la que ya tienes. Si no te convences de ello, lo único que se me ocurre es aconsejarte que inicies el viaje pese a tus reticencias y que, si al final pasas sed, vengas a quejarte, convencido de que en realidad no pasarás sed.
El primer axioma de la ciencia es la crítica. 
(O en todo caso, el primer axioma que ejerzo yo).
Sí, en teoría eso suena muy bien, pero, desde mi punto de vista, que obviamente no es el tuyo, tus críticas están impregnadas de prejuicios sobre "cómo se deben hacer las cosas", de modo que cuando criticas algo (una definición, un modo de razonar) lo haces más bien porque no cuadra con tus esquemas preconcebidos (que son simplemente los esquemas adecuados para trabajar en una teoría formal. Tu único error es creer que el razonamiento formal es el único razonamiento posible.) Y la crítica con prejuicios impide el avance de la ciencia. Y la única forma que se me ocurre de vencer prejuicios es aplicar aquello de que "el movimiento se demuestra andando". Tú mira el resultado y luego mira si tienes algo que objetar, pero mira primero el resultado, no te niegues a conocerlo porque va en contra de tus principios. Mira y critica, pero primero mira y luego critica.
"haciendo como que te lo crees todo" y luego
Puedo intentar hacer eso, pero quizás no me parezca una actitud suficiente para "emparchar" la situación, ya que si voy a investigar ese tema será con la intención de producir algo nuevo.
Para eso no basta con convencerse de lo hecho por otros, sino estar seguro de qué pasos son válidos y qué pasos no lo son, en un razonamiento. O bien, ¿de qué estamos hablando?
Pero es que en ningún momento te he aconsejado que aceptes acríticamente lo que han hecho otros. Lo que te sugiero es que entiendas qué dicen exactamente esos otros y
después reflexiones sobre si sus conclusiones te parecen justificadas o no. Pero no te pares en las consecuencias triviales de una definición, que te puedan parecer sospechosas, y que te dan pie a cuestionarte si así se puede llegar o no a alguna parte. Párate cuando hayas llegado a alguna parte (o cuando el libro que leas afirme haber llegado a alguna parte) y entonces vuelve atrás y plantéate únicamente las objeciones que a tu juicio pueden invalidar el camino recorrido. No se trata de decir "esto es dudoso", sino más bien, "este asunto dudoso que señalo afecta o no a la validez de la conclusión a la que se pretende llegar".
Por ponerte un ejemplo a mano: en mi hilo de modelos tienes una demostración detallada de que la hipótesis del continuo no es refutable. Si llegas (acríticamente) hasta el final (sáltandote incluso algunas digresiones intermedias sobre incompletitud y cardinales inaccesibles) tendrás una idea fiel de en qué se basan los matemáticos que afirman convencidos que es imposible refutar la hipótesis del continuo. Después, cuando ya sepas cuál es la historia, podrás (y deberás) plantearte críticamente: ¿después de leer esto estoy convencido de que si alguien me presenta una prueba en ZFC de que la hipótesis del continuo es falsa yo podría responder con una prueba de que ZFC es contradictorio? Y ahí es donde podrás juzgar si los inconvenientes que encuentras en las definiciones y en los razonamientos empleados realmente ponen en cuestión la conclusión, o si por el contrario resulta que tus objeciones suponían exigir a priori mucho más de lo que realmente se necesitaba para llegar a esta conclusión.
A mi modo lo estoy intentando...
Sí, pero creo que ya llevas muchos años estancado como para empezar a plantearte si otro modo de proceder no podría llevarte mejor (o simplemente llevarte) a conseguir exactamente lo que pretendes (no otra cosa).
