A mi siquiera me resulta evidente que si ZFC es consistente, todos los teoremas aritméticos de ZFC son verdaderos en la interpretación natural.
No entiendo el "a mí siquiera". Pareces insinuar que a mí sí que me parece evidente, cuando no lo es en absoluto. No sé si lo dirás por esto:
Obviamente, para que eso pueda ser cierto es necesario que ZFC sea consistente.
Ahí sólo digo que éste es uno de tantos casos en los que la discusión está supeditada al supuesto de que ZFC sea consistente, porque, si no, apaga y vámonos. Ahora bien, la consistencia de ZFC no garantiza que suceda lo que planteas, ni es evidente por ningún motivo que a mí se me ocurra. Como te dije:
Una condición suficiente es que ZFC admita un modelo en el que todos los números naturales sean estándar, es decir, un modelo en el que los únicos objetos que satisfacen la definición de número natural son el objeto denotado por 0, y el denotado por 1, y el denotado por 2, etc.
Y esto no es evidente en absoluto.
No veo porqué debiera ser así.
En efecto, no hay nada (que yo sepa) que nos garantice que sea así. Otra cosa es que, al igual que no tenemos ningún motivo para recelar de la consistencia de ZFC (lo cual no significa que podamos garantizar que lo es), tampoco tenemos ningún motivo para recelar de lo que Gödel llamó su \( \omega \)-consistencia, es decir, que no puede darse el caso de que se pueda probar que existe un número natural que cumpla tal cosa, pero al mismo tiempo se pueda probar que 0 no cumple tal cosa, y 1 tampoco, y 2 tampoco, etc. Es fácil construir extensiones consistentes y a la vez \( \omega \)-contradictorias de ZFC (por ejemplo, añadiendo como axioma que ZFC no es consistente), pero no hay razón para temer que ningún axioma de ZFC implique una falsedad sobre números naturales.
Como decía, no me sorprendería nada que se pudiera probar que no es posible demostrar que ZFC es \( \omega \)-consistente ni siquiera a partir del supuesto de que sea consistente, pero si existe tal prueba la desconozco.
Si al menos ZFC fuera una teoría intuitiva, entonces podríamos decir que si ZFC permite demostrar una fórmula aritmética falsa (en la interpretación natural), tendríamos una contradicción entre nuestras intuiciones aritméticas y nuestras intuiciones conjuntistas. Pero resulta ser que ZFC va mucho más allá de nuestras intuiciones conjuntistas, entonces este argumento no cuadra.
Aquí se me escapa algo. No veo por qué necesitas para decir eso que ZFC fuera una teoría intuitiva. Lo que dices es correcto y, si te entiendo bien, luego vuelves a decir lo mismo admitiendo que ZFC es lo que es.
1. Existen fórmulas aritméticas falsas en la interpretación estandar que son teoremas de ZFC. Si esto es así, siempre suponiendo ZFC consistente, entonces tendríamos una evidencia de que el conjunto \( \mathbb{N} \) definido en ZFC no representa cabalmente a los números naturales intuitivos.
Si este fuera el caso, yo siento que habría allí algo que "arreglar", ya sea tratando de definir a los naturales de otro modo que solucione el problema, o bien tratando de encontrar el o los axiomas que lo están generando.
Totalmente de acuerdo.
Claro, mientras no se encuentre esa anomalía, no tiene sentido hacer nada. Pero mientras no se encuentre, podemos suponer que estamos en el siguiente caso 2.
En efecto, eso también es muy importante. La histeria no ayuda ni en las matemáticas ni en ningún otro contexto.
2. Todos los teoremas aritméticos de ZFC son verdaderos con la interpretación estandar.
Aquí, retomo la vieja pregunta de qué hacer frente a una fórmula independiente de ZFC.
Respecto a este tópico, encuentro relevantes dos clases de fórmulas independientes de ZFC. Sea \( \gamma \) una de esas fórmulas independientes:
a) Para toda fórmula aritmética \( \alpha \) de ZFC se tiene que \( ZFC\vdash\alpha\longleftrightarrow(ZFC+\gamma)\vdash\alpha \), esto es, \( \gamma \) es aritméticamente intrascendente
b) existe una fórmula aritmética \( \alpha \) del lenguaje del ZFC tal que \( no\;(ZFC\vdash\alpha)\wedge(ZFC+\gamma)\vdash\alpha \), en cuyo caso, \( \gamma \) es aritméticamente trascendente pues permite probar un nuevo teorema aritmético.
Ante todo, creo que no hay ningún modo de determinar si una fórmula \( \gamma \), independiente de ZFC es aritméticamente trascendente o no (si es que existen ambos tipos).
Bueno, por empezar por lo obvio, toda fórmula aritmética indecidible en ZFC es aritméticamente trascendente, pues al tomarla como axioma nos permite demostrarla (trivialmente). Un ejemplo es la sentencia Consis ZFC que equivale a la consistencia de ZFC.
Un ejemplo un poco menos trivial es \( \gamma\equiv \) existe un cardinal inaccesible es aritméticamente trascendente, porque esto implica consis ZFC (los detalles de esto los encontrarás en mi hilo de teoría de modelos).
A su vez, toda fórmula que implique la existencia de un cardinal inaccesible es aritméticamente trascendente. Por ejemplo: "Existe una extensión de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de \( \mathbb{R} \)", o también \( \forall n\in\omega\ 2^{\aleph_n}=\aleph_{n+1}\land 2^{\aleph_\omega}=\aleph_{\omega+2} \).
Esta última fórmula no sólo implica Consis ZFC, sino también Consis(ZFC + Consis ZFC) (que es otra sentencia aritmética que no puede probarse a partir de la primera) y también Consis(ZFC + Consis ZFC + Consis(ZFC+Consis ZFC)), etc. De hecho, implica infinitas fórmulas aritméticas no equivalentes entre sí.
Pero si una fórmula \( \gamma \), independiente de ZFC, es aritméticamente trascendente, entonces disponemos de un criterio intuitivo (indirecto pero útil) para determinar si debemos agregarla a ZFC afirmada o negada. En efecto, si \( \gamma \) es aritméticamente trascendente, entonces existe alguna fórmula aritmética \( \alpha \) tal que \( no\;(ZFC\vdash\alpha)\wedge(ZFC+\gamma)\vdash\alpha \), y luego, si \( \alpha \) es verdadera con la interpretación estandar, añadimos \( \gamma \), y si es falsa, añadimos \( \neg\gamma \).
Nada que objetar, salvo mencionarte un hecho que quizá quieras tener en consideración. En la práctica la situación es un poco más complicada, pues si consideras como \( \gamma \) cualquiera de los ejemplos que te acabo de poner, no sabemos exactamente que \( \gamma \) sea independiente de ZFC (cosa que estás dando por supuesto en tu discusión), sino que lo que se sabe es que (si ZFC es consistente) \( \gamma \) no puede demostrarse y "no se puede demostrar que \( \lnot\gamma \) no se puede demostrar" (aquí hay que tomarse un respiro para digerir el trabalenguas
). Si ZFC es consistente, \( \gamma \) implica sentencias aritméticas verdaderas e indecidibles sin ella, pero no podemos descartar que \( \lnot\gamma \) sea un teorema, con lo que añadir \( \gamma \) volvería la teoría contradictoria. En otras palabras, no podemos asegurar la consistencia de ZFC + \( \gamma \) ni siquiera suponiendo la consistencia de ZFC. Por otro lado, lo que hacemos al aceptar ZFC + \( \gamma \) es lo mismo que hacemos al aceptar ZFC, es decir, trabajar en la teoría dado que nada apunta a que sea contradictoria y sabiendo que si es consistente es imposible demostrarlo.
Conclusión:
Si realmente no disponemos de un criterio para saber si una fórmula independiente de ZFC (por ejemplo HC) es aritméticamente trascendente o no, entonces no podemos estar seguros de que no existe un criterio intuitivo para saber como añadirla, como muchas veces afirmamos;
HC es aritméticamente intrascendente. El argumento es como sigue: tomemos una sentencia aritmética \( \alpha \) y supongamos que ZFC + HC implica \( \alpha \). Entonces, como en ZFC se demuestra que la clase L de los conjuntos constructibles es un modelo de ZFC + HC (esto está probado en mi hilo de modelos), concluimos que en ZFC se puede demostrar \( \alpha^L \), pero es fácil probar que las sentencias aritméticas son absolutas para modelos transitivos de ZFC luego \( \alpha^L\rightarrow \alpha \) y concluimos que \( \alpha \) es demostrable en ZFC.
En resumen, si con HC podemos probar una sentencia aritmética, también podemos probarla sin HC.
ya que si esa fórmula es aritméticamente trascendente, entonces en principio, ese criterio sí existe: No podemos añadirla si a partir de ella se demuestra un nuevo teorema aritmético que resulte ser falso en la interpretación estandar. (Poder, podemos. No debemos)
Si estos argumentos son correctos, entonces se abre una nueva veta en aquella charla que tuvimos en tu hilo de la encuesta psicológica.
Espero que se entienda lo que escribí.
Se entiende perfectamente. Pero el problema de la encuesta psicológica era equivalente a HC que, según acabamos de ver, es aritméticamente intrascendente.
