¿Por qué dices que añadiendo axiomas "te cargas conjuntos"? También pareces pensar que si llegas a una teoría completa tendrás un único modelo, pero no es así, una teoría completa tiene infinitos modelos no isomorfos entre sí. Todos ellos serán elementalmente equivalentes, pero en ZFC puedes demostrar que los hay de todos los cardinales infinitos. En particular, una teoría completa tiene modelos numerables, como cualquier otra, luego en cierto sentido, se puede decir que "le faltan conjuntos".
Por otro lado, sigo sin saber con qué clase de axiomas "te cargas modelos con menos conjuntos". Por ejemplo, puedes elegir si empiezas a completar ZFC con \( 2^{\aleph_0}=\aleph_1 \) o con \( 2^{\aleph_0}=\aleph_2 \), o con \( 2^{\aleph_0}=\aleph_3 \), etc. ¿y cuál de estas opciones tienes que elegir para "tener más conjuntos"?
Perdona si soy pesado, pero la verdad es que mientras no "te metas en harina" y veas cómo va eso de construir modelos con más o menos subconjuntos de \( \mathbb N \) no te vas a hacer una idea clara de cómo funcionan las cosas. De las cosas que dices se desprende que tienes unas ideas esencialmente erróneas sobre la relación entre los axiomas de una teoría y sus modelos, y sobre las relaciones posibles entre modelos distintos, etc. Y se trata de errores conceptuales de base que son difíciles de corregir. Es como si alguien aprende inglés y pronuncia mal todas las palabras. Luego le costará más aprender a pronunciar correctamente que a alguien que parte de cero, pues es más difícil abandonar un vicio adquirido que aprender a pronunciar bien sin falsas referencias. Aquí es igual. Necesitarías "reaprender" muchas cosas despacio y con atención y, lo que es más importante, evitando dar por hechos ideas preconcebidas que no tienen justificación.
