[Weierstrass]

He leído que la consistencia de la matemática puede reducirse a la consistencia de la aritmética. Esta a su vez a la de la lógica.
¿Se pudo demostrar que la lógica es consistente de manera absoluta?
Por ejemplo, tengo un SAF de la lógica. ¿Puede decir algo de su consistencia?

[Carlos Ivorra]

He leído que la consistencia de la matemática puede reducirse a la consistencia de la aritmética.

Pues has leído mal.

Esta a su vez a la de la lógica.

Esto tampoco es cierto.

¿Se pudo demostrar que la lógica es consistente de manera absoluta?

Sí. Eso se llama teorema de corrección de la lógica de primer orden.

Por ejemplo, tengo un SAF de la lógica. ¿Puede decir algo de su consistencia?

No sé. Tendría que saber primero qué es un SAF.

[Fernando Revilla]

Sí. Eso se llama teorema de corrección de la lógica de primer orden.

Ciertamente. Esto unido al teorema de adecuación satisface los paladares más exquisitos: los teoremas del cálculo de predicados \( K_{\mathcal{L}} \) de primer orden son exactamente las fórmulas lógicamente válidas i.e. verdaderas en cualquier interpretación. Lo que nos hace sufrir es añadir axiomas matemáticos. 

[Weierstrass]

Se han encontrado modelos que reducen la consistencia de la geometrías no euclideanas a la geometría euclideana. Hilbert demostró la consistencia relativa de la geometría euclideana respecto de la teoría de los números reales. Esto a su recurren a los racionales. Y la cadena culmina en una consistencia del sistema axiomático formal (SAF) para los números naturales. Russell - Frege encuentran un modelo para el sistema de Peano utilizando la teoría de conjuntos. Por lo que la consistencia queda reducida a la teoría de conjuntos.
Zermelo en 1908 dio a conocer un sistema axiomático formal para la T.de conjuntos. Hasta el momento no se si se pudo demostrar si es consistente. De ahi, leí que la consistencia de la matemática quedó reducido a la de la lógica de alguna forma.
Por otro lado, los metateoremas de Godel nos hacen sentir que la consistencia absoluta no podrá demostrarse dentro del sistema. ¿Entonces?

[Cristian C]

Hola Weierstrass.

Por otro lado, los metateoremas de Godel nos hacen sentir que la consistencia absoluta no podrá demostrarse dentro del sistema. ¿Entonces?

Bueno, esto más que un sentimiento es una certeza.

Cualquiera de las teorías de conjuntos típicas, como la de Zermelo, son teorías aritméticas (porque en ellas se pueden recrear y demostrar los axiomas de Peano) y recursivas (dada una fórmula disponemos de un criterio finito para determinar si es o no un axioma)

Si una teoría es aritmética y recursiva, es posible expresar su consistencia mediante una fórmula de la propia teoría. Lo que afirma el segundo teorema de Gödel es que esa fórmula es demostrable en la teoría si y solo sí, la teoría es contradictoria. Así, si la teoría es consistente, esa fórmula es indemostrable en ella.

Por supuesto, podemos construir otra teoría más fuerte donde esa sentencia sea demostrable, pero entonces estará en duda la consistencia de esa otra teoría.

En el caso de la aritmética, disponemos de pruebas metamatemáticas de consistencia. Es decir, podemos probarla utilizando criterios informales que muy pocos pondrían en duda.

El caso de la teoría de conjuntos es distinto. Si entendemos a la teoría de conjuntos como una teoría donde no solo la aritmética sino todo razonamiento metamatemático puede formalizarse, entonces no puede haber ningún razonamiento metamatemático que pruebe su consistencia ya que cualquiera que hubiera podría formalizarse dentro de la teoría y entonces tendríamos una prueba formal de su consistencia, lo cual contradice el segundo teorema de Gödel.

Bueno, esto último es lo que dice Carlos, si no lo malinterpreto. A mi, personalmente me cuesta precisar la extensión del concepto "todo razonamiento metamatemático". Aunque debo conceder que cualquiera que se me haya ocurrido hasta ahora, efectivamente se puede formalizar en ZFC.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Se han encontrado modelos que reducen la consistencia de la geometrías no euclideanas a la geometría euclideana.

Cierto.

Hilbert demostró la consistencia relativa de la geometría euclideana respecto de la teoría de los números reales.

Cierto.

Esto a su recurren a los racionales.

Esto ya es capcioso. Los números reales pueden construirse a partir de los números racionales Y los axiomas de la teoría de conjuntos. Y eso es fundamental.

Y la cadena culmina en una consistencia del sistema axiomático formal (SAF) para los números naturales.

Eso es falso. Si uno no es excesivamente restrictivo con los razonamientos metamatemáticos que considera aceptables, puede considerar como un hecho la consistencia de una axiomática para los números naturales, e incluso la consistencia de una axiomática para los números racionales, pero NO para los números reales. Eso requiere suponer la consistencia de una teoría de conjuntos que permita formalizar la reducción de la que hablas (que en principio se realiza en ZF).

Russell - Frege encuentran un modelo para el sistema de Peano utilizando la teoría de conjuntos. Por lo que la consistencia queda reducida a la teoría de conjuntos.

Eso es cierto, pero no por las implicaciones que indicas, que tienen pasos en falso, sino porque, trivialmente, todas las teorías mátemáticas que has citado (y cualquier otra) son formalizables en ZFC. Las reducciones que citas (tanto las ciertas como las falsas) son irrelevantes para ello.

Zermelo en 1908 dio a conocer un sistema axiomático formal para la T.de conjuntos. Hasta el momento no se si se pudo demostrar si es consistente.

Se pudo demostrar que no se puede demostrar que sea consistente (Gödel).

De ahi, leí que la consistencia de la matemática quedó reducido a la de la lógica de alguna forma.

Eso era falso en tu mensaje anterior y sigue siéndolo en éste.

Por otro lado, los metateoremas de Godel nos hacen sentir que la consistencia absoluta no podrá demostrarse dentro del sistema. ¿Entonces?

Pues eso, que si no puedes demostrar la consistencia de ZFC dentro de ZFC, tampoco puedes demostrarla de ninguna otra forma convincente, pues todo razonamiento matemático convincente es formalizable en ZFC. Puedes demostrarla a partir de axiomas más fuertes, como la existencia de cardinales grandes, pero una prueba de consistencia a partir de esas hipótesis no es "convincente", ya que la consistencia de que existan tales axiomas es más fuerte que la consistencia que demuestras a partir de ellos.

[Carlos Ivorra]

Bueno, esto último es lo que dice Carlos, si no lo malinterpreto. A mi, personalmente me cuesta precisar la extensión del concepto "todo razonamiento metamatemático". Aunque debo conceder que cualquiera que se me haya ocurrido hasta ahora, efectivamente se puede formalizar en ZFC.

Ciertamente, no se puede ir por ahí haciendo alegremente afirmaciones sobre "todo razonamiento metamatemático", pues es un concepto igual de "difuso" que "todos los conjuntos de números naturales" y cosas así. Tienes razón en que concretar la extensión de ese concepto es muy difícil, si no es que es simplemente imposible. Ahora bien, en este caso en concreto lo que puedes plantearte es qué no puede formalizarse en ZFC. Tú mismo te has encontrado alguna vez con algún razonamiento que en realidad no podía formalizarse en ZFC (como cuando intentabas definir la relación \( \vDash \) sobre modelos que no eran conjuntos) y, en general, ¿cuándo pasan esas cosas? ¿a qué clase de razonamientos pone trabas ZFC? Y la respuesta es que ZFC sólo pone trabas a razonamientos que involucran clases propias. Mientras un razonamiento verse exclusivamente sobre los elementos de un conjunto (por grande y alejado de la intuición que esté) ZFC no pone traba alguna, porque permite demostrar la existencia de cualquier subconjunto que se nos pueda ocurrir definir dentro de un conjunto dado. Sólo cuando pretendemos definir conjuntos que involucran parámetros no acotados dentro de un conjunto dado, por ejemplo, todos los ordinales, todas las aplicaciones con imágenes en una clase propia (y éste fue el caso que te encontraste tú), entonces ZFC pone restricciones "artificiales" que te prohíben definir conceptos que uno consideraría "razonables" admitiendo que los conceptos implicados tienen sentido (por lejanos que estén de la intuición), pero que ZFC prohíbe preventivamente para no caer en contradicciones.

De este modo, a partir de un conocimiento de cómo funciona ZFC (no de todos los razonamientos metamatemáticos posibles) podemos concluir que para encontrarnos en la situación de estar razonando algo y que alguien nos haga notar que nuestro razonamiento es muy coherente, pero que no "cabe" en ZFC, es necesario que ese razonamiento involucre objetos que en ZFC no quepan en ningún conjunto. En particular, tienen que ser conceptos que no puedan definirse en ZFC como subconjuntos de \( \mathcal P\mathbb N \), o de \( \mathcal P\mathcal P\mathbb N \), o de \( \mathcal P\mathcal P\mathcal P\mathbb N \), etc. Y en este punto, creo que no es necesario reflexionar mucho sobre el alcance de nuestra intuición para darnos cuenta de que ésta dista mucho de permitirnos trabajar con un objeto que no quepa en recipientes así de grandes. Ésa es la idea de fondo.

[Weierstrass]

Gracias por sus valiosas respuestas