¿ Todos los modelos de ZFC, son isomorfos a uno transitivo \( V_\lambda \)?
Si yo cojo ordinales \( \alpha \) lo suficientemente grandes, parece ser que puedo hacer que \( V_\alpha \), sea un modelo de ZFC, aunque por supuesto, la existencia del ordinal \( \alpha \) es consistente ( por lo que sabemos) pero no se puede deducir de ZFC. Por otra parte, de esa manera, puedo demostrar que existe un modelo mayor dentro de otro de ZFC, ¿no? Pero y si resulta que esos ordinales \( \alpha \) son contradictorios con ZFC, ya no podría demostrarlo ¿no?
Lo que no hay problema es en demostrar que hay conjuntos de mi modelo de ZFC ( el que sea) que , con la relación natural \( \in{} \),son modelos de cualquier subcolección finita de axiomas de ZFC
O por ejemplo, podría demostrarlo a partir de un modelo numerable , que puedo fabricar otro numerable que lo contiene, pero aquí si no suponemos que todos los modelos son numerables, tampoco nos vale ( quizá sí, pero)
Por otra parte, mi universo \( V \) de \( ZFC \)va a estar formado por \( \displaystyle\sum_{\alpha}^n{} V_\alpha \). Dices que no tiene sentido hablar de una cota superior para los ordinales de mi modelo ( vistos desde dentro), pero por ejemplo, mi modelo puede no tener un cardinal inaccesible, y otro modelo si tenerlo. Los ordinales de mi modelo entonces tendrán una cota superior (por ejemplo ese cardinal inaccesible) , ¿ por qué no se puede dar una cota superior mínima entonces? En cualquier caso habrá que dar una definición de esos \( \alpha \) para definir a mi modelo como\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha} V_\alpha \)que contiene mi modelo para poder definirlo completamente.
Por otra parte, si no existe modelo máximo y mi modelo definido puede estar contenido dentro de otro modelo , ¿cómo se sabe para que \( \lambda \) del modelo exterior mi modelo es precisamente \( V_\lambda \) en el modelo exterior?
