Que no se puedan demostrar todos los axiomas, lo puedo entender de forma directa, pero lo que no entiendo es qué bloquea el axioma de compacidad. He leído y releído la explicación pero no, "no llego".
La hipótesis que requiere el teorema de compacidad es:
\( \forall X(X\subset ZFC\land X\mbox{ finito}\rightarrow \exists M(M\vDash X)) \),
donde aquí hay que entender que ZFC representa el conjunto de los axiomas de ZFC. Si pudiéramos demostrar esto en ZFC, entonces podríamos probar, por el teorema de compacidad, que existe un modelo de ZFC. Pero no tenemos una demostración de esto. Lo que tenemos es que, si fijas un conjunto finito concreto de axiomas de ZFC, puedes construir un modelo que los satisface. No tienes un teorema, sino un esquema de infinitos teoremas, un teorema distinto para cada conjunto finito posible de partida.
En los términos del hilo que estoy escribiendo sobre modelos, no puedes partir la demostración diciendo "sea \( X\subset \ulcorner ZFC\urcorner \) finito...", sino que tienes que empezar diciendo: sean \( \phi_1,\ldots, \phi_n \) una colección finita de axiomas (metamatemáticos) de ZFC y consideremos el conjunto \( X = \{\ulcorner \phi_1\urcorner, \ldots, \ulcorner \phi_n\urcorner\} \)...
De todas formas, volvemos a toparnos con las "deficiencias" de los lenguajes en lógicas de orden finito ¿no?
Sí, pero no son exactamente atribuibles a las lógicas de orden finito. Los Principia Mathematica usan una lógica de orden infinito y los teoremas de incompletitud se les aplican igualmente.
Los matemáticos sois muy estrictos (lo cual da un grado de irrefutabilidad que quizás no consigamos en las otras ciencias). No trabajais en lenguajes que no sean de primero orden, o al menos de orden finito. Pero metamatemáticamente tratáis el concepto de finitud tal como lo entiende cualquier persona que no tenga un mínimo de conocimiento de lógica matemática, ( cosa que no se puede hacer en ordenes finitos, porque al menos en primer orden, podemos colar modelos con objetos no estandar, que metamatemáticamente no son finitos en absoluto, ni cualquier persona no ilustrada en la lógica matemática calificaría como finitos, pero que se pueden "camuflar" como objetos finitos, dado que ninguna secuencia de fórmula de primer orden los puede excluirlos de los objetos finitos).
Sí, pero si te pasas a lógica de segundo orden pierdes la completitud semántica. Aunque teóricamente los axiomas determinan el modelo, no puedes demostrar todas las consecuencias lógicas de los axiomas, y eso es peor.
¿No sería necesario ver realmente en que tipo de lógica se ubican los lenguajes naturales?
Los físicos buscan (buscamos) una teoría del todo, desde luego no se puede formular en un lenguaje de primer orden, pues sus teorías son siempre incompletas.
Todas las teorías recursivas aritméticas consistentes (incluidos los Principia Mathematica) son incompletas, no sólo las de primer orden. Y la de primer orden es semánticamente completa, cosa que no es cierta para las de órdenes superiores.
