Esto no contradice al teorema de compacidad porque a partir de los axiomas de ZFC no puede demostrarse que para cada conjunto finito de axiomas tiene un modelo
y en otro post anterior:
porque sucede que en ZFC se puede demostrar la existencia de modelos de cualquier cantidad finita de axiomas de ZFC
No capto bien la diferencia entre estas 2 cosas. Puede ser que tengas modelos con una cantidad determinada de axiomas de ZFC pero escogidos adecuadamente, y no de cualquier selección aleatoria de axiomas de ZFC (finita tambien). Porque es la única manera que se me ocurre de entender ambas afirmaciones para que no se contradigan
Es sutil, pero no se contradicen. Ante todo, por simplificar, observa que hablar de un conjunto finito de fórmulas es a estos efectos equivalente a hablar de una única fórmula, porque siempre puedes formar la conjunción de todas ellas. Pues bien, dada una fórmula concreta \( \phi \) (por simplificar supondremos que no tiene variables libres, aunque no es imprescindible), podemos asociarle su versión formal \( \ulcorner \phi\urcorner \), que es una sucesión finita. Por ejemplo, si \( \phi\equiv \exists x\forall y\lnot (y\in x) \) y formalizamos el lenguaje de la teoría de conjuntos conviniendo, por ejemplo, que los signos lógicos son números naturales, de modo que, por ejemplo, \( \ulcorner \exists \urcorner = 0 \), \( \ulcorner \forall \urcorner = 1 \), \( \ulcorner \lnot \urcorner = 2 \), etc., entonces \( \ulcorner \phi\urcorner = (0,10,1,11,2,3,11,4,10,5) \), donde he asignado códigos también a las variables, a los paréntesis, etc.
Es importante no confundir la fórmula (metamatemática) \( \phi \) con su formalización \( \ulcorner \phi\urcorner \). Por ejemplo, podemos afirmar que \( \ulcorner \phi \urcorner\in \mathbb N^{<\omega} \) (es decir, que \( \ulcorner \phi\urcorner \) pertenece al conjunto de sucesiones finitas de números naturales, pero sería un sinsentido escribir \( \phi\in \mathbb N^{<\omega} \), es decir: \( \exists x\forall y\lnot(y\in x)\in \mathbb N^{<\omega} \).
Pues bien, lo que afirma el teorema de reflexión es que, para cualquier fórmula metamatemática \( \phi \) que quieras considerar (en principio sin variables libres), en particular para cualquier conjunción finita de axiomas de ZFC, puedes demostrar en ZFC el teorema siguiente:
\( \exists M\ (M\vDash \ulcorner \phi\urcorner\leftrightarrow \phi) \).
Esto es la versión precisa de lo que estaba diciendo en la segunda de las dos afirmaciones que citabas. La primera, en cambio, quiere decir que no puedes demostrar en ZFC algo así como
\( \forall \phi\in \mbox{Form}(\mathcal L)\exists M (M\vDash \phi\leftrightarrow \phi) \),
donde \( \mbox{form}(L) \) representa el conjunto de las fórmulas del lenguaje de ZFC. No es que lo anterior no se pueda demostrar, sino, más aún, que ni siquiera se puede enunciar rigurosamente, pues en la "expresión" anterior la \( \phi \) es una variable (o si no, no tendría sentido escribir \( \forall\phi \)), pero entonces, si bien tiene sentido \( M\vDash \phi \), no tiene sentido alguno escribir \( \cdots \leftrightarrow \phi \), pues \( \phi \) es una mera sucesión finita de números naturales. No tiene sentido tratarla directamente como si fuera una fórmula metamatemática. Para que tuviera sentido tendríamos que poder definir \( V\vDash \phi \), donde \( V \) es la clase de todos los conjuntos, pero \( \vDash \) sólo puede definirse en ZFC cuando lo que va a la izquierda es un conjunto, y no una clase propia.
Por otra parte, ocurre como siempre, al final la consistencia de una teoría T probada a partir de los axiomas de esa teoría T, es una demostración si me lo permites un tanto vacia, puesto que lo único que demuestra es que esa demostración llega a una conclusión verdadera ( la existencia de modelos para la teoría), pero sólo en la suposición de que la teoría lo sea ( que es lo que ya asumíamos de partida) ¿no?
Cierto, pero lo que tiene interés ahí es saber que una fórmula muy concreta, como es la que afirma la consistencia de ZFC, no puede demostrarse en ZFC. Esto no es trivial ni vacío.
Por ejemplo, si supones la existencia de algo llamado un "cardinal inaccesible", entonces puedes construir un modelo de ZFC, lo cual implica la consistencia de ZFC. Pero, como sabemos que dicha consistencia no puede demostrarse en ZFC, este hecho nada trivial nos da como consecuencia otro hecho nada trivial, y es que no podemos demostrar en ZFC la existencia de cardinales inaccesibles (si es que ZFC es consistente, claro).
