Autor Tema: Aritmética de módulos y aplicación a criterios de divisibilidad

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31 Julio, 2011, 05:46 am
Respuesta #30

argentinator

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No entiendo lo que has intentado hacer.

Estás partiendo de suponer que \( (m-c_0)/10 - 2c_0 \) es múltiplo de 7,
y de ahí querrías probar que m es múltiplo de 7.

¿Y entonces?

30 Junio, 2017, 11:10 am
Respuesta #31

Ignacio Larrosa

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Sección 4. Criterios de Divisibilidad

Divisibilidad por 11

Aquí tenemos \( \alpha=0 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_{11} 10 \), \( 100\equiv_{11} 1 \), y luego estos restos se repiten cíclicamente.

\( m\equiv_{11} \sum_{\beta=0}^\infty \sum_{j=0}^1 c_{2\beta+j}r_j, \)

donde \( r_0=1, r_1=10 \).

Esto demuestra que  \( m \) es divisible por 11 si y sólo si la suma de sus cifras pares más 10 veces la suma de sus cifras impares \( m \) es múltiplo de 11.
Este criterio puede simplificarse un poco usando números negativos.
En efecto, observemos que \( 10\equiv_{11}{-1} \). En ese caso, podemos tomar \( r_1=-1 \) en la fórmula anterior, y obtenemos el conocido criterio que dice que \( m \) es múltiplo de 11 si y sólo si lo es la suma de sus cifras pares menos la suma de sus cifras impares.

Esto mismo se puede aplicar para la divisibilidad por \( b + 1\textrm{ en base }b \):

\( m\equiv_{b+1} \sum_{\beta=0}^\infty (-1)^{\beta} c_{\beta} \)

Para nuestra aritmética habitual en base \( 10 \) esto es interesante cuando \( b = 10^k,\; k\geq{}1 \). Par \( k = 1 \) es el conocido criterio de divisibilidad por \( 11 \).

Para \( k = 2 \) tenemos un criterio de divisibilidad por \( 101\textrm{ en base }100 \), que traducido a base \( 10 \) queda en sumar y restar alternativamente las cifras del número agrupadas de dos en dos, de derecha a izquierda.

Más interesante es el caso \( k = 3 \), pues \( 1001 = 7\cdot{}11\cdot{}13 \). Para saber si un número es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) basta agrupar sus cifras de tres en tres a partir de las unidades y sumar y restar estos grupos alternativamente. Si el resultado es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) el número de partida también lo será. Puede pensarse que no es muy práctico, pero en ocasiones si que lo es, como por ejemplo para los años:

¿Cuál es el resto de dividir \( 2017\textrm{ entre }7, 11\textrm{ y }13 \)?  Como

\( 2017\equiv_{1001}-2 + 017 = 15 \)

los restos de dividirlo por \( 7, 11,\textrm{ y }13 \) son respectivamente \( 1, 4\textrm{ y }2 \), y no es múltiplo de ninguno de ellos.

En cambio,

\( 2093\equiv_{1001}-2 + 093 = 91 = 7\cdot{}13 \)

por lo que \( 2093 \) es múltiplo de \( 7\textrm{ y }13 \), aunque no de \( 11 \). Quizás le resulte de utilidad a alguno en unas olimpíadas matemáticas del año \( 2093 \) ...

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

20 Diciembre, 2021, 07:34 am
Respuesta #32

Discípulo

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Divisibilidad por otros números
No lo voy a hacer, pero es de esperar que en la mayoría de los casos se obtengan criterios de divisibilidad complicados, similares al obtenido para la división por 7.
Saludo,

He aquí una forma sencilla de comprobar si un número es divisible por otro número, p.ej:

\[ N_{10}=25837 \], \[ M_{10}=7 \]
\[ 25837-21000=4837 \], \[ 4837-4900=-63 \], \[ |-63|:7=63:7=9 \] y entonces \[ 25837 \] es divisible por \[ 7 \] porque el resto de la división es cero.
Este método se puede aplicar a dos números cualesquiera \[ N_ {10}> M_ {10} \] .Además, a través de este método puedes averiguar el resto de la división de los dos números.

¡Todo lo mejor!
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20 Diciembre, 2021, 11:17 pm
Respuesta #33

Luis Fuentes

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Hola

Divisibilidad por otros números
No lo voy a hacer, pero es de esperar que en la mayoría de los casos se obtengan criterios de divisibilidad complicados, similares al obtenido para la división por 7.
Saludo,

He aquí una forma sencilla de comprobar si un número es divisible por otro número, p.ej:

\[ N_{10}=25837 \], \[ M_{10}=7 \]
\[ 25837-21000=4837 \], \[ 4837-4900=-63 \], \[ |-63|:7=63:7=9 \] y entonces \[ 25837 \] es divisible por \[ 7 \] porque el resto de la división es cero.
Este método se puede aplicar a dos números cualesquiera \[ N_ {10}> M_ {10} \] .Además, a través de este método puedes averiguar el resto de la división de los dos números.

¡Todo lo mejor!

No deja de ser casi casi dividir. Tu estás restando mútliplos de \( 7 \) que "a ojo" se acerquen lo más posible a los números que vamos obteniendo (\( \color{red}\cancel{25873}25837\color{black},4837,-63,\ldots \)). Entonces depende un poco de cuan "fino" se quiera ser en ese acercamiento. Conseguir el "mejor" posible viene a ser exactamente lo que hace un niño (y un adulto) cuando divide entres siete como nos enseñaron en el colegio. Al principio ver el mayor múltiplo de \( 7 \) que se acerca a \( \color{red}\cancel{25873}25837\color{black} \) (mentalmente \( 25 \) entre \( 7 \)); luego restar ese múltiplo y continuar el proceso.

Saludos.

CORREGIDO

21 Diciembre, 2021, 10:20 am
Respuesta #34

feriva

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He aquí una forma sencilla de comprobar si un número es divisible por otro número, p.ej:

\[ N_{10}=25837 \], \[ M_{10}=7 \]

Pero el método que explica Argentinator es sencillo para números pequeños.

25837 tiene cinco cifras. El resto de 10 entre 7 es 3. Ahora, para el resto módulo 100 es el mismo que el de \( 3\cdot10=30
  \); es resto 2. Para el resto de 1000, \( 2\cdot10=20
  \), resto 6. Para el de 10000, \( 6\cdot10=60
  \), resto 4. Y como la última cifra es 7, resto cero.

Ahora, pues eso, se multiplican por las cifras según estén asociadas a las potencias de diez, se van hallando los restos del resultado y al final se suman

\( 2*5=10\Rightarrow r=3
  \), \( 5*4=20\Rightarrow r=6
  \), \( 8*6=48\Rightarrow r=6
  \), \( 3*2=6\Rightarrow r=6
  \).

Suman \( 3+3*6=21
  \), que es múltiplo de 7, el resto es cero y por tanto 25837 es divisible entre 7.

Entonces, sin necesidad de extraer un criterio, particularmente en casos fáciles, también se puede usar para números cortos y divisores de una cifra o incluso dos; no es tan largo y las cuentas se hacen de memoria con números pequeños.

Saludos.

21 Diciembre, 2021, 04:04 pm
Respuesta #35

Discípulo

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Hola

Divisibilidad por otros números
No lo voy a hacer, pero es de esperar que en la mayoría de los casos se obtengan criterios de divisibilidad complicados, similares al obtenido para la división por 7.
Saludo,

He aquí una forma sencilla de comprobar si un número es divisible por otro número, p.ej:

\[ N_{10}=25837 \], \[ M_{10}=7 \]
\[ 25837-21000=4837 \], \[ 4837-4900=-63 \], \[ |-63|:7=63:7=9 \] y entonces \[ 25837 \] es divisible por \[ 7 \] porque el resto de la división es cero.
Este método se puede aplicar a dos números cualesquiera \[ N_ {10}> M_ {10} \] .Además, a través de este método puedes averiguar el resto de la división de los dos números.

¡Todo lo mejor!

No deja de ser casi casi dividir. Tu estás restando mútliplos de \( 7 \) que "a ojo" se acerquen lo más posible a los números que vamos obteniendo (\( 25873,4837,-63,\ldots \)). Entonces depende un poco de cuan "fino" se quiera ser en ese acercamiento. Conseguir el "mejor" posible viene a ser exactamente lo que hace un niño (y un adulto) cuando divide entres siete como nos enseñaron en el colegio. Al principio ver el mayor múltiplo de \( 7 \) que se acerca a \( 25873 \) (mentalmente \( 25 \) entre \( 7 \)); luego restar ese múltiplo y continuar el proceso.

Saludos.
Saludo,

¡No lo entiendo! ¿Qué tiene que ver el número primo \[ 25873 \] con el número \[ 25837 \] en el ejemplo que di?
¡Muchas gracias!

¡Todo lo mejor!
¡NADA SIN DIOS!

21 Diciembre, 2021, 04:29 pm
Respuesta #36

Discípulo

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He aquí una forma sencilla de comprobar si un número es divisible por otro número, p.ej:

\[ N_{10}=25837 \], \[ M_{10}=7 \]

Pero el método que explica Argentinator es sencillo para números pequeños.

25837 tiene cinco cifras. El resto de 10 entre 7 es 3. Ahora, para el resto módulo 100 es el mismo que el de \( 3\cdot10=30
  \); es resto 2. Para el resto de 1000, \( 2\cdot10=20
  \), resto 6. Para el de 10000, \( 6\cdot10=60
  \), resto 4. Y como la última cifra es 7, resto cero.

Ahora, pues eso, se multiplican por las cifras según estén asociadas a las potencias de diez, se van hallando los restos del resultado y al final se suman

\( 2*5=10\Rightarrow r=3
  \), \( 5*4=20\Rightarrow r=6
  \), \( 8*6=48\Rightarrow r=6
  \), \( 3*2=6\Rightarrow r=6
  \).

Suman \( 3+3*6=21
  \), que es múltiplo de 7, el resto es cero y por tanto 25837 es divisible entre 7.

Entonces, sin necesidad de extraer un criterio, particularmente en casos fáciles, también se puede usar para números cortos y divisores de una cifra o incluso dos; no es tan largo y las cuentas se hacen de memoria con números pequeños.

Saludos.
Saludo,

¡No entendí bien este método! Por favor detalle para entender ...
Otro ejemplo de divisibilidad:
\[ N=25637 \], \[ M=143 \]
\[ 25837-28600=-2763 \]
\[ -2763+2860=97 \], y por lo tanto 25837 no es divisible por 143 porque el resto es igual a \[ 97 \] y \[ 0 <97 <143 \] ....
¿Qué obtienes con tu método en este caso? ¡Muchas gracias!

¡Todo lo mejor!
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21 Diciembre, 2021, 04:41 pm
Respuesta #37

Luis Fuentes

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Hola

¡No lo entiendo! ¿Qué tiene que ver el número primo \[ 25873 \] con el número \[ 25837 \] en el ejemplo que di?

 Una cosa es que no entiendas que quiero decir; otra cosa (rara, sinceramente) es que no veas una obvia errata al escribir un número cambiando sin querer la posición de dos cifras. Pero no importa, lo aclaro: fue una errata. Fin de la aclaración.

 
Otro ejemplo de divisibilidad:
\[ N=25637 \], \[ M=143 \]
\[ 25837-28600=-2763 \]
\[ -2763+2860=97 \], y por lo tanto 25837 no es divisible por 143 porque el resto es igual a \[ 97 \] y \[ 0 <97 <143 \] ....

 Lo que yo quiero decir es. ¿por qué restas \( 28600=143\cdot 200\color{red}\cancel{0}\color{black} \)?. Estás haciendo un cálculo a ojo de que múltiplo \( 143 \) tiene las centenas más próximas a \( 258 \) (las centenas de \( 25837 \)). Ese cálculo a ojo es exactamente lo que uno hace cuando divide a mano  \( 25837 \) entre \( 143 \):

 - separa las tres primeras cifras \( 258 \) y estimas que cifra tiene que multiplicar por \( 143 \) para acercarse a \( 258 \) (en tu caso y frente a la división clásica te acercas por exceso).

 Ojo, porque tu método es correcto, por supuesto. Pero casi casi es como dividir directamente.

Saludos.

CORREGIDO

21 Diciembre, 2021, 05:40 pm
Respuesta #38

Discípulo

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Hola

¡No lo entiendo! ¿Qué tiene que ver el número primo \[ 25873 \] con el número \[ 25837 \] en el ejemplo que di?

 Una cosa es que no entiendas que quiero decir; otra cosa (rara, sinceramente) es que no veas una obvia errata al escribir un número cambiando sin querer la posición de dos cifras. Pero no importa, lo aclaro: fue una errata. Fin de la aclaración.

 
Otro ejemplo de divisibilidad:
\[ N=25637 \], \[ M=143 \]
\[ 25837-28600=-2763 \]
\[ -2763+2860=97 \], y por lo tanto 25837 no es divisible por 143 porque el resto es igual a \[ 97 \] y \[ 0 <97 <143 \] ....

 Lo que yo quiero decir es. ¿por qué restas \( 28600=143\cdot 2000 \)?. Estás haciendo un cálculo a ojo de que múltiplo \( 143 \) tiene las centenas más próximas a \( 258 \) (las centenas de \( 25837 \)). Ese cálculo a ojo es exactamente lo que uno hace cuando divide a mano  \( 25837 \) entre \( 143 \):

 - separa las tres primeras cifras \( 258 \) y estimas que cifra tiene que multiplicar por \( 143 \) para acercarse a \( 258 \) (en tu caso y frente a la división clásica te acercas por exceso).

 Ojo, porque tu método es correcto, por supuesto. Pero casi casi es como dividir directamente.

Saludos.
Saludo,

Siempre me disculpo cuando me equivoco, pero no veo qué hice mal al contarles sobre \[ 25873 \] ...
No hago una división directa ... De hecho, hago algunas restas y sumas convenientes para ayudarme a encontrar el resto de la división de los dos números ...
Espero que no le importe si le digo que \[ 143 \cdot 2000 \] no hace \[ 28600 \] .....
¡Muchas gracias!

¡Todo lo mejor!
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21 Diciembre, 2021, 05:48 pm
Respuesta #39

Luis Fuentes

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Hola

Siempre me disculpo cuando me equivoco, pero no veo qué hice mal al contarles sobre \[ 25873 \] ...

No tienes que disculparte. Cualquier correción es bienvenida. Si ves una errata te agradezco que me la corrijas; pero lo que me llama la anteción es que no la detectes como errata. Dijiste algo así (no es textual) como: "No entiendo porque en vez de 25873 has puesto 25837". ¿¡No es la explicación más obvia que me confundí al escribir baliando dos cifras!?.

Citar
Espero que no le importe si le digo que \[ 143 \cdot 2000 \] no hace \[ 28600 \] .....

Aquí lo mismo. Te agradezco la corrección.   :D Estoy torpe. Sobra un cero. Pero la cosa es, ¿más allá de la obvia errata has entendido lo qué quiero decir? Porque eso es lo importante.

Saludos.