Autor Tema: Ecuación diofántica lineal: ax+by=c

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22 Noviembre, 2014, 06:50 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Buenas, lo que no entiendo es cómo calcular los números x' y y' que dices. Por ejemplo, en la ecuación 7x-5a=1.
El primer paso es hallar el mcd (7,5) que es igual a 1; y como 1 es múltiplo de 1 pues la ecuación tiene soluciones enteras.
Ahora bien, para calcular la solución particular ¿cómo lo hago?
Me lo he leído todo pero no logro entender cómo hallar esta solución particular.

Muchas gracias.

P.S. Si no recuerdo mal, había un método para calcularla que se basa en realizar una caja pero el problema es que tampoco me acuerdo de cómo se hacía :-\

Tienes que usar el algortimo extendido de Eculides. Lo tienes (con ejemplos) descrito aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,26742.0.html

Saludos.

22 Noviembre, 2014, 08:31 pm
Respuesta #11

numerosprimos

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Muchas gracias, ya lo he entendido.
Saludos.

05 Enero, 2015, 12:34 pm
Respuesta #12

minette

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Hola

Según el_manco la ecuación \( ax+by=c \) tiene la solución particular siguiente cuando
\( a \) , \( b \) son coprimos:

\( x_0=cx' \) ; \( y_0=cy' \)

sustituyendo

\( acx'+bcy'=c \)

\( ax'+by'=1 \)

esto es imposible salvo que \( x' \) o \( y' \) sean uno positivo y otro negativo.

Y también es necesario que \( a \), \( b \) no sean ambos pares. Lo cual se cumple al ser coprimos.

¿Estáis de acuerdo?

Saludos.

05 Enero, 2015, 12:58 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Según el_manco la ecuación \( ax+by=c \) tiene la solución particular siguiente cuando
\( a \) , \( b \) son coprimos:

\( x_0=cx' \) ; \( y_0=cy' \)

sustituyendo

\( acx'+bcy'=c \)

\( ax'+by'=1 \)

esto es imposible salvo que \( x' \) o \( y' \) sean uno positivo y otro negativo.

Y también es necesario que \( a \), \( b \) no sean ambos pares. Lo cual se cumple al ser coprimos.

¿Estáis de acuerdo?

Si. Aunque no sé si quieres llegar a algún sitio con esa observación.

Saludos.

P.D. Pones "según el_manco"; aclaro que aunque el post es mío, lo que he escrito es la teoría sobre ecuaciones diofánticas lineales que viene en todos los libros que tratan el tema.

05 Enero, 2015, 05:34 pm
Respuesta #14

minette

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Hola

Gracias el_manco.

Esta puntualización mía la puedo poner en Rincón Matemático y no en cualquier libro sobre las ecuaciones diofánticas.

Rincón Matemático, y para sus foristas, lo considero mejor a cualquier libro sobre el asunto. Además hace posible el diálogo.

Pienso que mi observación no es inútil. Y me ayuda a formarme en el tema.

Ahora otra observación.

La solución general que incluyes es

\( x=x_0+Kb \) ; \( x=cx'+Kb \)
\( y=y_0-Ka \) ; \( y=cy'-Ka \)

También para \( a \), \( b \) coprimos.

Mi pregunta ahora es si la solución general también se puede expresar así:

\( x=cx'-Kb \)
\( y=cy'+Ka \)

Y es equivalente a la anterior.

Saludos.

07 Enero, 2015, 10:08 am
Respuesta #15

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

La solución general que incluyes es

\( x=x_0+Kb \) ; \( x=cx'+Kb \)
\( y=y_0-Ka \) ; \( y=cy'-Ka \)

También para \( a \), \( b \) coprimos.

Mi pregunta ahora es si la solución general también se puede expresar así:

\( x=cx'-Kb \)
\( y=cy'+Ka \)

Y es equivalente a la anterior.

Si.

Saludos.

16 Diciembre, 2020, 10:09 pm
Respuesta #16

dycm

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Una programación en GAP sería, en sentido totalmente numérico, es

gap> ecuadiofan:=function(a,b,c)
> local mcm, res, num, resul;
> mcm:=Gcd(a,b);
> res:=RemInt(c,mcm);
> num:=c/mcm;
> resul:=num*GcdRepresentation(a,b);
> if res=0 then return resul;
> else Print("No es posible operar");
> fi;
> end;;

#Ejemplo: Una solución entera de 3200x+1536y=256 es
gap> ecuadiofan(3200,1536,256);
[ 2, -4 ]
Es decir: 3200(2) + 1536(-4) = 256

15 Marzo, 2021, 08:22 pm
Respuesta #17

Quarkbite

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Sabemos que los resultados de una ecuación diofantica, si los hay, son infinitos. Pero ¿es posible demostrar que alguno de esos resultados sea menor a un número dado?. Es decir,por ejemplo, es posible demostrar que para Ax+By=C existe alguna solución menor a (B+2)^2?, o B+3 o B+4… Dónde B>A.

15 Marzo, 2021, 09:29 pm
Respuesta #18

robinlambada

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Lo primero, bienvenido al foro. Recuerda leer y respetar  las normas del foro, en concreto has de usar latex para las matemáticas.

Sabemos que los resultados de una ecuación diofantica, si los hay, son infinitos. Pero ¿es posible demostrar que alguno de esos resultados sea menor a un número dado?. Es decir,por ejemplo, es posible demostrar que para Ax+By=C existe alguna solución menor a (B+2)^2?, o B+3 o B+4… Dónde B>A.

Un matiz respecto a tu pregunta, para una ecuación diofántica se pueden considerar solo los valores naturales de las variables, según el contexto en que se plantee la ecuación, en este caso puede haber un número finito de soluciones.

Respecto a demostrar que las soluciones son menores a un determinado número, pues también dependerá del contexto, si como solución en principio pueden darse cualquier valor entero, es fácil demostrar que el conjunto de soluciones no esta acotado ni superiormente ni inferiormente.

Ten en cuenta que las soluciones dependen de un parámetro entero \( t \) , y si este parámetro no esta limitado entonces no hay cota superior ni inferior en las soluciones. de aquí es evidente la demostración de que siempre habrá soluciones mayores o menores a un valor dado.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Marzo, 2021, 11:13 pm
Respuesta #19

Carlos Ivorra

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Sabemos que los resultados de una ecuación diofantica, si los hay, son infinitos. Pero ¿es posible demostrar que alguno de esos resultados sea menor a un número dado?. Es decir,por ejemplo, es posible demostrar que para Ax+By=C existe alguna solución menor a (B+2)^2?, o B+3 o B+4… Dónde B>A.

Como \( x \) está determinado salvo un múltiplo de \( b \) siempre tienes una solución con \( |x|\leq |b| \) (suponiendo que \( d=(a, b)=1 \), o, en caso contrario incluso \( |x|\leq |b/d| \), donde \( d=(a, b) \)).

Eso quiere decir que si buscas una solución "a lo bruto", sólo tienes que mirar los posibles valores de \( x \) entre \( -b \) y \( b \), y comprobar si \( c-ax \) es múltiplo de \( b \).