Mostrar que el siguiente resultado es equivalente al teorema del buen orden:
Para cada conjunto infinito $$A$$, existe una biyección entre $$A$$ y $$A\times A$$.
Pista: considera el conjunto $$Z=A\cup h(A)$$, donde $$h(A)$$ es el número de Hartogs de $$A$$.
Ya que el teorema del buen orden y el axioma de elección son equivalentes, este resultado es equivalente al teorema del buen orden si y solo si es equivalente al axioma de elección. Aun así, supongo que la equivalencia en este caso se demuestra directamente y no a través del axioma de elección.
Por otro lado, sé que nunca existe una biyección entre $$A$$ y $$h(A)$$ por definición, por tanto $$|A|\leq |h(A)|$$ siempre.
Un camino que se me ocurre siguiendo la pista es demostrar que $$A$$ puede ser bien ordenado si y solo si $$Z=A\cup h(A)$$ puede ser bien ordenado, y luego ver que $$Z$$ puede ser bien ordenado si y solo si existe una biyección entre $$A$$ y $$A\times A$$, pero no se me ocurre cómo demostrar esas equivalencias (ni siquiera si son ciertas).
Alguna indicación o pista?
