[franma]

Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
El objetivo de este ejercicio es demostrar que los elementos del ordinal \( \omega^\omega \) son exactamente los ordinales \( \alpha \) de la forma:

\( \alpha = n_1 \omega^{p_1}+\cdots +n_k \omega^{p_k} \)

para algunos \( k\in \omega \), \( n_1,...,n_k\in \omega \setminus \{0\} \) y \( p_1,...,p_k\in \omega \) tales que \( p_1>\cdots >p_k \)

(1) Probar que para todos \( n,m\in \omega \setminus \{0\} \) y \( p,q\in \omega \) tales que \( p<q \), tenemos que

\( m\omega^p + n\omega^q = n\omega^q \)

(2) Demostrar que los ordinales \( \alpha < \omega^\omega \) son los de la forma \( \alpha = n_1 \omega^{p_1}+\cdots +n_k \omega^{p_k} \) para algunos \( k\in \omega \), \( n_1,...,n_k\in \omega \setminus \{0\} \) y \( p_1,...,p_k\in \omega \) tales que \( p_1>\cdots >p_k \)

(3) Dados \( \alpha,\beta \in \omega^\omega \) en forma normal de Cantor, calcular \( \alpha+\beta \) en forma normal de Cantor.

La parte (1) la pude hacer sin problema, me quede trancado en la parte (2), intente por inducción transfinita pero al llegar al paso limite no supe que hacer.

¿Alguna idea?

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

El enunciado dice lo siguiente:
El objetivo de este ejercicio es demostrar que los elementos del ordinal \( \omega^\omega \) son exactamente los ordinales \( \alpha \) de la forma:

\( \alpha = n_1 \omega^{p_1}+\cdots +n_k \omega^{p_k} \)

para algunos \( k\in \omega \), \( n_1,...,n_k\in \omega \setminus \{0\} \) y \( p_1,...,p_k\in \omega \) tales que \( p_1>\cdots >p_k \)

¿Seguro que el enunciado dice eso? ¿Cómo te han definido el producto de ordinales? Porque, con la definición usual, debería ser:

\( \alpha = \omega^{p_1}n_1 +\cdots + \omega^{p_k}n_k \).

¿Para ti \( 2\cdot \omega = \omega \) y \( \omega\cdot 2 = \omega + \omega \) o bien \( 2\cdot \omega = \omega+\omega \) y \( \omega\cdot 2 = \omega \)? Lo usual es lo primero, pero el enunciado requiere lo segundo.

[franma]

Hola Carlos,

Perdón, me olvide de aclarar que en clase usamos el convenio \( \beta \alpha:=\alpha\cdot \beta \)

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Perdón, me olvide de aclarar que en clase usamos el convenio \( \beta \alpha:=\alpha\cdot \beta \)

Curioso.

Razonamos por inducción sobre \( \alpha\neq 0 \) (el resultado es falso para \( \alpha = 0 \)), es decir, suponemos que el resultado para todo \( \alpha'<\alpha \) y vamos a probarlo para \( \alpha \).

Como \( \alpha <\omega^\omega \), por definición de la exponenciación ordinal, existe un \( p<\omega \) tal que \( \alpha <\omega^p \). Toma el mínimo \( p \) posible. Si es \( p=0 \), entonces \( \alpha <1 \), pero eso no puede ser, luego \( p = p_1+1 \), y así \( \omega^{p_1}\leq \alpha <\omega^{p_1+1} = \omega^{p_1}\cdot \omega \).

Por definición del producto, existe un \( k<\omega \) tal que \( \alpha <\omega^{p_1}\cdot k \). Nuevamente, el mínimo posible no puede ser \( k=0 \), luego \( k = k_1+1 \), y entonces \( \omega^{p_1}\cdot k_1\leq \alpha <\omega^{p_1}\cdot (k_1+1) = \omega^{p_1}\cdot k_1+\omega^{p_1} \).

Por la definición de la suma, existe un \( \alpha_1<\omega^{p_1}\leq \alpha \) tal que \( \alpha = \omega^{p_1}\cdot k_1+\alpha_1 \).

Ahora aplicas la hipótesis de inducción a \( \alpha_1 \).

El enunciado no dice nada de la unicidad, pero lo cierto es que la expresión es única.

[franma]

Hola Carlos,

Razonamos por inducción sobre \( \alpha\neq 0 \) (el resultado es falso para \( \alpha = 0 \)), es decir, suponemos que el resultado para todo \( \alpha'<\alpha \) y vamos a probarlo para \( \alpha \).

Bien.

Como \( \alpha <\omega^\omega \), por definición de la exponenciación ordinal, existe un \( p<\omega \) tal que \( \alpha <\omega^p \). Toma el mínimo \( p \) posible. Si es \( p=0 \), entonces \( \alpha <1 \), pero eso no puede ser, luego \( p = p_1+1 \), y así \( {\color{red}{}\omega^{p_1}\leq \alpha} <\omega^{p_1+1} = \omega^{p_1}\cdot \omega \).

Bien, encontramos el p por definición de exponenciación ordinal (en este caso es un supremo) y la desigualdad en rojo es por la minimalidad de \( p \). ¿Es así?

Por definición del producto, existe un \( k<\omega \) tal que \( \alpha <\omega^{p_1}\cdot k \). Nuevamente, el mínimo posible no puede ser \( k=0 \), luego \( k = k_1+1 \), y entonces \( \omega^{p_1}\cdot k_1\leq \alpha <\omega^{p_1}\cdot (k_1+1) = \omega^{p_1}\cdot k_1+\omega^{p_1} \).

El razonamiento es idéntico al de la parte anterior.

Por la definición de la suma, existe un \( \alpha_1<\omega^{p_1}\leq \alpha \) tal que \( \alpha = \omega^{p_1}\cdot k_1+\alpha_1 \).

Aquí no me queda claro como garantizar la existencia de ese \( \alpha_1 \) a partir de la definición de suma

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Bien, encontramos el p por definición de exponenciación ordinal (en este caso es un supremo) y la desigualdad en rojo es por la minimalidad de \( p \). ¿Es así?

Sí.

Por la definición de la suma, existe un \( \alpha_1<\omega^{p_1}\leq \alpha \) tal que \( \alpha = \omega^{p_1}\cdot k_1+\alpha_1 \).

Aquí no me queda claro como garantizar la existencia de ese \( \alpha_1 \) a partir de la definición de suma

Bueno, hay que tratar aparte el caso en que \( p_1 = 0 \). Entonces tienes simplemente que \( k_1\leq \alpha <k_1+1 \), y es \( \alpha = k_1 = \omega^0\cdot k_1 \) y ya está.

Si \( p_1>0 \), entonces \( \omega^{p_1} \) es un ordinal límite y puedes aplicar la definición de suma a \( \beta+\lambda \), donde \( \beta = \omega^{p_1}\cdot k_1 \) y \( \lambda = \omega^{p_1} \). Es lo mismo de antes. Existe un \( \alpha_1<\lambda \) tal que \( \alpha = \beta+\alpha_1 \), ¿no?

[franma]

Hola Carlos,

Bueno, hay que tratar aparte el caso en que \( p_1 = 0 \). Entonces tienes simplemente que \( k_1\leq \alpha <k_1+1 \), y es \( \alpha = k_1 = \omega^0\cdot k_1 \) y ya está.

Bien.

Si \( p_1>0 \), entonces \( \omega^{p_1} \) es un ordinal límite y puedes aplicar la definición de suma a \( \beta+\lambda \), donde \( \beta = \omega^{p_1}\cdot k_1 \) y \( \lambda = \omega^{p_1} \). Es lo mismo de antes. Existe un \( \alpha_1<\lambda \) tal que \( \alpha = \beta+\alpha_1 \), ¿no?

Como \( \displaystyle \omega^{p_1}\cdot k_1\leq \alpha <\sup_{\beta<\omega^{p_1}}\omega^{p_1}\cdot k_1+\beta \) entonces existe \( \beta<\omega^{p_1} \) tal que \( \alpha <\omega^{p_1}\cdot k_1+\beta \)

Sea \( \alpha_0 \) el mínimo que cumple lo anterior, entonces tenemos \( \omega^{p_1}\cdot k_1\leq \alpha <\omega^{p_1}\cdot k_1+\alpha_0 \) de donde vemos que \( \alpha_0\neq 0 \) , pero no logro llegar a la igualdad.

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Tienes razón. No es por la definición de suma. Es un resultado de aritmética ordinal. En general, se cumple:

(*)   Si \( \alpha \leq \beta \) existe un \( \gamma \) tal que \( \beta = \alpha + \gamma \)

En este caso, como \( \omega^{p_1}\cdot k_1\leq \alpha \), existe un \( \alpha_1 \) tal que \( \alpha = \omega^{p_1}\cdot k_1+\alpha_1 \), y como \( \omega^{p_1}\cdot k_1+\alpha_1<\omega^{p_1}\cdot k_1+\omega^{p_1} \), tiene que ser \( \alpha_1<\omega^{p_1} \).

¿Conoces (*) o hay que probarlo?

[manooooh]

Hola

¿(*) no está relacionado a la definición de orden en los conjuntos numéricos habituales? Creo que era algo como \( a\leq b \) si y sólo si existe \( c \) tal que \( b=a+c \).

Por ejemplo, \( 2\leq3 \) ya que \( 3=2+1 \).

Nada más que tú usaste un condicional solo, yo usé una coimplicación.

Saludos

[Carlos Ivorra]

¿(*) no está relacionado a la definición de orden en los conjuntos numéricos habituales? Creo que era algo como \( a\leq b \) si y sólo si existe \( c \) tal que \( b=a+c \).

Es una generalización. El hecho de que sea cierto para números naturales no implica que lo sea para ordinales infinitos, pero el caso es que se puede probar.