[franma]

Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguinete:
Sean \( \mathcal{A}=(A,\leq_A) \) y \( \mathcal{B}=(B,\leq_B) \) conjuntos bien ordenados, deducir de (4) que si \( \mathcal{A}\preceq \mathcal{B} \) y \( \mathcal{B}\preceq \mathcal{A} \) entonces \( \mathcal{A}\simeq \mathcal{B} \)

Primero explico la notacion y que es (4):

Spoiler

Sean \( \mathcal{A}=(A,\leq_A) \) y \( \mathcal{B}=(B,\leq_B) \) conjuntos bien ordenados,  se consideran las siguientes realcones binarias sobre la clase de los conjuntos bien ordenados:

\( \mathcal{A}\sqsubseteq  \mathcal{B} \equiv \mathcal{A} \text{ segmento inicial de } \mathcal{B} \wedge (\leq_A)=(\leq_B)|_A \)

\( \mathcal{A}\preceq \mathcal{B}  \equiv  \exists f(f:\mathcal{A}\to \mathcal{B} \text{ morfismo} ) \)

\( \mathcal{A}\simeq \mathcal{B} \equiv  \exists f(f:\mathcal{A}\to \mathcal{B} \text{ isomorfismo} ) \)

Y ya he probado los siguientes resultados:
(1) \( \sqsubseteq \) es un orden sobre la clase de los conjuntos bien ordenados.
(2) \( \preceq \) es un preorden sobre la clase de los conjuntos bien ordenados que contiene el orden \( \sqsubseteq \)
(3) \( \simeq \) es una relacion de equivalencia sobre la clase de los conjuntos bien ordenados y \( \mathcal{A}\simeq \mathcal{B} \) implica \( \mathcal{A}\preceq \mathcal{B} \) y \( \mathcal{B}\preceq \mathcal{A} \)
(4) Si \( \mathcal{A}\preceq \mathcal{B} \) entonces existe un unico \( \mathcal{B}' \sqsubseteq  \mathcal{B} \) tal que \( \mathcal{A} \simeq \mathcal{B}' \)

[cerrar]

La verdad no se como deducir el resultado de (4).

Si \( \mathcal{A}\preceq \mathcal{B} \) y \( \mathcal{B}\preceq \mathcal{A} \) tenemos que existen \( S\sqsubseteq \mathcal{B} \) tal que \( \mathcal{A}\simeq S \) y \( S'\sqsubseteq \mathcal{A} \) tal que \( \mathcal{B}\simeq S' \) pero aquí ya no se que hacer.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos,
Franco.

[Eparoh]

Hola.

Observa que por (4) sabemos que existen segmentos iniciales \( A', B' \) de \( A \) y \( B \) respectivamente tales que \( A \simeq B' \) y \( B \simeq  A' \). Por tanto, existen dos isomorfismos \( f: A \longrightarrow  B' \) y \( g: B \longrightarrow  A' \).

Así, la composición \( g \circ f: A \longrightarrow A' \) es un morfismo y, de nuevo por (4), existe un segmento inicial \( A'' \) de \( A' \) (luego es segmento inicial de \( A \) al ser también \( A' \) segmento inicial) tal que \( A \simeq  A'' \).

Ahora prueba que un conjunto bien ordenado \( C \) es isomorfo a uno de sus segmentos inciales \( C' \) si, y solo si, \( C'=C \).

Con este resultado y lo anterior tenemos que \( A''=A \) y así, que \( A'=A \), con lo que \( g \) es el isomorfismo buscado.

Un saludo.

[franma]

Hola Eparoh,

Ahora prueba que un conjunto bien ordenado \( C \) es isomorfo a uno de sus segmentos inciales \( C' \) si, y solo si, \( C'=C \).

Ya había probado anteriormente que si \( S,S'\subset A \) son dos segmentos iniciales isomorfos entonces \( S=S' \). Así que con eso ya completo la prueba.

Muchas gracias.

Saludos,
Franco.