Hola
Pero entonces lo que obtienes es un isomorfismo $$\omega\cong g(\mathbb{N})$$. Cómo llegas entonces a $$\theta\cong \omega+(\theta-g(\mathbb{N}))$$?
\( \theta \) es la unión (disjunta) de \( g(\mathbb{N}) \) y \( \theta-g(\mathbb{N}) \):
\( \theta=g(\mathbb{N})\sqcup (\theta-g(\mathbb{N}))\cong \omega+(\theta-g(\mathbb{N})) \)
O si quieres tomar \( \tau=\theta-g(\mathbb{N}) \) y define:
\( h:\omega+\tau\to \theta \)
\( h(x)=\begin{cases}{g(x)}&\text{si}& x\in \omega\\x & \text{si}& x\in \tau\end{cases} \)
y comprueba que "funciona".
Saludos.
P.D. En ese ejercicio creo que es bueno que por un lado lo "mastiques" hasta que tengas claro que las ideas propuestas TIENEN que funcionar (la parte intuitiva); y luego que las formalices. Lo primero ayuda a entender bien las cosas; lo segundo es lo que un profesor que me dio clase durante la carrera, llamaba coger "técnica"; pero para él lo más importante era entender las ideas. Y para mi también. 
Genial, queda claro. Muchas gracias!
