Autor Tema: 2^(2n+1) - 9n^2 + 3n - 2 es divisible por 54

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21 Noviembre, 2021, 11:39 pm
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LeJoha

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Hola buenas tardes, quisiera saber como podría hacer esa demostración, pues no he podido encontrar la forma de reescribir en lo que voy como 54k. He llegado a 4(2^(k+1)) - 9k^2 + 3k - 2 - 18k - 6. Gracias de antemano.

22 Noviembre, 2021, 12:40 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Para \( n=1 \) es cierto , supuesto cierto para \( n \geq 1  \) demostremos para \( n+1 \)

\( 4 \cdot 2^{2n + 1} -9 \cdot (n+1)^2 + 3 \cdot (n+1) - 2 =  \)
\(  = (4 \cdot 2^{2n+1} - 4 \cdot 9 \cdot n^2 + 4 \cdot 9 \cdot n^2 + 4 \cdot 3 \cdot n - 4 \cdot 3 \cdot n - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2) - 9 \cdot (n+1)^2 + 3 \cdot (n+1) - 2 =  \)
\( = 4 \cdot (2^{2n+1} - 9 \cdot n^2 + 3 \cdot n - 2) + 4 \cdot (9 \cdot n^2 - 3 \cdot n+2) -9 \cdot (n^2+1+2n) + 3n +3 -2 =  \)
\( = 54 \cdot m_1 + 27 \cdot n^2 - 27 \cdot n = 54 \cdot m_1  + 27 \cdot n \cdot (n-1)  \).
Teniendo en cuenta que \( 54 = 27 \cdot 2  \)

22 Noviembre, 2021, 01:27 am
Respuesta #2

LeJoha

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