Autor Tema: Números de la forma n=2^{k-1}, con k natural compuesto

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19 Octubre, 2021, 06:46 pm
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qazadr

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Hola,
en un ejercicio de autoevaluación de matemática discreta aparece la siguiente pregunta

Dados los números de la forma \( n=2^{k}-1 \), con k natural compuesto, entonces:
a)n es primo si y sólo si k es primo
b)son siempre compuestos
c)serán primos o compuestos dependiendo de k


No sé qué hacer, no sé si hay que expresarlo con el algoritmo de la división (\( a=bq+r \))o aplicar algún teorema.

¡Un saludo! :D

19 Octubre, 2021, 07:01 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola,
en un ejercicio de autoevaluación de matemática discreta aparece la siguiente pregunta
Dados los números de la forma \( n=2^{k}-1 \), con k natural compuesto, entonces:
a)n es primo si y sólo si k es primo
b)son siempre compuestos
c)serán primos o compuestos dependiendo de k

No sé qué hacer, no sé si hay que expresarlo con el algoritmo de la división (\( a=bq+r \))o aplicar algún teorema.

¡Un saludo! :D

Hola. Son los números de Mersenne (primos de Merssene cuando son primos) si buscas tienes muchas cosas; utiliza el pequeño teorema de Fermat.

Ah, te dice k compuesto; en ese caso no son primos de Mersenne nunca

Saludos.


19 Octubre, 2021, 07:48 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Dados los números de la forma \( n=2^{k}-1 \), con k natural compuesto, entonces:
a)n es primo si y sólo si k es primo
b)son siempre compuestos
c)serán primos o compuestos dependiendo de k


No sé qué hacer, no sé si hay que expresarlo con el algoritmo de la división (\( a=bq+r \))o aplicar algún teorema.

 En realidad tal como está planteada, para responde a lo que te pregunten basta que calcules  y factorices \( 2^k- \)1 para los números \( k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.  \).

 Una idea (además de lo apuntado por feriva) que te puede ayudar a simplificar los cálculos y generalizar el asunto es tener en cuenta que \( x^{b}-1 \) es divisible por \( x-1 \), por ejemplo para \( x=2^a \).

Saludos,