Autor Tema: Teorema del binomio

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17 Octubre, 2021, 12:16 pm
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marek

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Demuestre que los únicos valores de \( m,n\in \mathbb{Z}^+ \) tal que \( 1<m<\frac{n-1}{2} \) y \( \sum_{k=0}^{m}{\binom{n}{k}} \) es potencia de dos es (m,n)=(3,23),(2,90).

17 Octubre, 2021, 02:12 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Demuestre que los únicos valores de \( m,n\in \mathbb{Z}^+ \) tal que \( 1<m<\frac{n-1}{2} \) y \( \sum_{k=0}^{m}{\binom{n}{k}} \) es potencia de dos es (m,n)=(3,23),(2,90).

¿En qué contexto te surge este problema?.

Por cierto, estás planteando problemas y los distintos usuarios del foro te plantean diversas soluciones o posibilidades (no siempre exitosas). Pero NO RESPONDES NADA.

Te he hecho varias veces una pregunta explícita:

Citar
P.D. En este hilo te hice una pregunta y no has respondido nada. Sería deseable algún tipo de comentario al respecto.

Este problema es de olimpiada y sospecho que la mayoría de los que propones también. Si eres consciente de ello deberías de indicarlo y colocar el problema en la sección que tenemos de problemas de olimpiada. ¿De dónde obtienes los enunciados? ¿En qué contexto te surgen?.

Me parece que este problema también es de algún tipo de certamen de matemáticas.

Por favor, por pura cortesía y educación con quienes están respondiendo a tus consultas, ¿podrías mostar algún tipo de respuesta?.

Saludos.

17 Octubre, 2021, 03:04 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 No veo por donde atacar la cuestión. Aquí:

https://mathoverflow.net/questions/283986/prefix-sums-of-pascal-triangle-powers-of-two

 lo si no entiendo mal lo sitúan como un problema abierto:

Citar
There's also \( S_{90,2}=2^{12} \), though it's known that there's no perfect binary \( [90,78,5 \)] code. The theorem of Tietäväinen and van Lint does not require a complete solution of \( S_{n,m}=2^k \) (and the corresponding equation for other prime-power values of the alphabet size \( k \)); as far as I know it is still an open question whether there are any other cases where \( S_{n,m} \) is a power of two (the \( m=2 \) case is equivalent to the celebrated Ramanujan-Nagell theorem)

Saludos.