Autor Tema: Demostrar que a^2+b^2 no es un cuadrado perfecto

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11 Octubre, 2021, 01:01 pm
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Julio_fmat

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Probar que si \( a \) y \( b \) son impares, entonces \( a^2+b^2 \) no puede ser un cuadrado perfecto.

Hola, como están. Muy buenos días! Tengo este problema, lo estuve resolviendo, quisiera saber si está bien.

Sean \( a=2k+1 \) y \( b=2k+1 \) números impares con \( k\in \mathbb{Z} \). Se tiene,

\( a^2+b^2=(2k+1)^2+(2k+1)^2=8k^2+8k+2\ne n^2 \). No se puede formar un cuadrado del Binomio.

Por lo tanto, \( a^2+b^2 \) no puede ser un cuadrado perfecto.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Octubre, 2021, 01:46 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No está bien. Que no se pueda formar un cuadrado del binomio no demuestra que no sea un cuadrado para ningún valor de \[ k \]...
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Octubre, 2021, 01:57 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Muchas Gracias geómetracat. Ok, entonces cual seria la conclusión para el problema?

Si \( a^2+b^2=8k^2+8k+2 \) no es posible expresarlo como un cuadrado para ningún \( k\in \mathbb{Z} \)?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Octubre, 2021, 01:58 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Yo lo probaría mirando congruencias módulo \[ 4 \]: cualquier cuadrado es congruente o bien a \[ 0 \] o bien a \[ 1 \] módulo \[ 4 \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Octubre, 2021, 02:00 pm
Respuesta #4

feriva

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Probar que si \( a \) y \( b \) son impares, entonces \( a^2+b^2 \) no puede ser un cuadrado perfecto.

Hola, como están. Muy buenos días! Tengo este problema, lo estuve resolviendo, quisiera saber si está bien.

Sean \( a=2k+1 \) y \( b=2k+1 \) números impares con \( k\in \mathbb{Z} \). Se tiene,

\( a^2+b^2=(2k+1)^2+(2k+1)^2=8k^2+8k+2\ne n^2 \). No se puede formar un cuadrado del Binomio.

Por lo tanto, \( a^2+b^2 \) no puede ser un cuadrado perfecto.

Pero tienes que tomar a y b distintos

\( a=2k+1
 ; b=2t+1
  \)

Entonces

\( a^{2}+b^{2}=4k^{2}+4k+1+4t^{2}+4t+1=
   \)

\( 4m+2
   \)

Si fuera un cuadrado, al ser par tendría que ser divisible por \( 2^{2}=4
   \); pero eso no ocurre, ya que un sumando sí es divisible por 4 y el otro oto no.

Saludos.

11 Octubre, 2021, 03:30 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Lo mismo que lo que pusieron los demás:
Sea \( n  \) entonces  \(  n = 4 \cdot p + r \) con \(  r \in \{0 , 1 , 2 , 3 \} \).
Entonces \( n^2 = 4 \cdot q + r^2 = 4 \cdot w + s \) con \( s \in \{0 , 1 \}  \).
Si \( n \) es impar entonces \( n = 4 \cdot t +r \) con \( t\in \{1,3\}  \) entonces:
\( n^2 = 4 \cdot h + r^2 = 4 \cdot l + 1  \).
Nos queda \( a^2 + b^2 = 4 \cdot k + 2  \) no es un cuadrado.