Autor Tema: Clases de restos modulo n 1

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09 Octubre, 2021, 10:07 pm
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Julio_fmat

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Demuestre que si \( n \) es impar, en \( \mathbb{Z}_n \), entonces \( [0]+[1]+...+[n-1]=[0] \). ¿Qué sucede si \( n \) es par?

Hola, lo estuve resolviendo y llego a lo siguiente:

\( \begin{eqnarray*}
[0]+[1]+...+[n-1]&=&[0+1+\cdots +(n-1)]\\
&=&\left[\dfrac{(n-1)n}{2}\right]\\
&=&\left[\dfrac{(2k)(2k+1)}{2}\right]\\
&=&[k(2k+1)]\\
&=&[2k^2+k]
\end{eqnarray*}
 \)

No se si está bien, pero tampoco logro llegar a que la identidad es igual a la clase de \( 0 \) modulo \( n. \) Me falta analizar el caso cuando \( n \) es par.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

09 Octubre, 2021, 10:37 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Pero en este paso \( [\dfrac{n \cdot (n-1)}{2}] \) como \( m = \dfrac{n-1}{2} \) tienes que \( m \cdot n  \) es múltiplo de \( n \).

Si \( n \) es par separa el caso en que \( n = 4 \cdot k  \) y el caso en que \( n = 4 \cdot k +2 \).

09 Octubre, 2021, 10:38 pm
Respuesta #2

feriva

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Si usas como representantes los restos hasta n-1 y utilizas la progresión aritmética tienes

\( 0+1+2+...+n-1=\dfrac{n(n+1)}{2}-n=\dfrac{n^{2}+n-2n}{2}=n\dfrac{(n+1-2)}{2}
  \) que da entero si n es impar; y es múltiplo de “n”, y por tanto resto cero.

Saludos.

09 Octubre, 2021, 10:44 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Si \[ n=2k \] es par, \[ [2k^2+k]=[k] \].

Otra manera de pensarlo: en \[ \Bbb Z_n \] cada elemento tiene un opuesto, y por tanto cuando sumas todos los elementos de \[ \Bbb Z_n \] se van cancelando a pares excepto en el caso en que el opuesto sea él mismo. Esto pasa si y solo si \[ [m]=-[m] \] si y solo si \[ [2m]=0 \] si y solo si \[ [m]=[0] \] o \[ n=2m \] es par.
Por tanto, si \[ n \] es impar la suma da \[ [0] \] y si es par con \[ n=2m \] la suma da \[ [m] \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Octubre, 2021, 12:44 pm
Respuesta #4

Julio_fmat

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Muchas Gracias a todos por la ayuda!

Me ha quedado claro.

Saludos.
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