Autor Tema: Intersección de clases de restos modulo n

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09 Octubre, 2021, 09:28 pm
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Julio_fmat

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Encuentre la intersección de la clase del \( 7 \) modulo \( 4 \) y la clase del \( 5 \) modulo \( 15. \)

Hola, como están. Traigo unos problemas de Teoría de Números que no he podido resolver, espero si me pueden ayudar a solucionarlos. Por ejemplo, para este problema, se tiene que:

\( [7]_{4}\cap [5]_{15}=[3]_{4}\cap [-10]_{15}=\, ? \)

No se como hallar la intersección...
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

09 Octubre, 2021, 09:40 pm
Respuesta #1

feriva

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Encuentre la intersección de la clase del \( 7 \) modulo \( 4 \) y la clase del \( 5 \) modulo \( 15. \)

Hola, como están. Traigo unos problemas de Teoría de Números que no he podido resolver, espero si me pueden ayudar a solucionarlos. Por ejemplo, para este problema, se tiene que:

\( [7]_{4}\cap [5]_{15}=[3]_{4}\cap [-10]_{15}=\, ? \)

No se como hallar la intersección...
La primera clase son los 3, 3+4, 3+4+4... etc. La segunda son los múltiplos de 5. Luego, de los primeros, son todos los que son múltiplos de 5: \( 3+4x=5y \); es una ecuación diofántica que se puede resolver. (sí es una ecuación diofántica, pero no ésa, quiero decir, que he bailado números.  Ya lo ha hecho Juan Pablo)

No sé si estoy interpretando bien, así que espera a alguien que lo sepa con seguridad.

He corregido unos sietes por unos cuatros.

Y la segunda no son todos los múltiplos de 5, son 5, 5+15...



Saludos.

09 Octubre, 2021, 09:45 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Se podría hacer sabiendo que:
\( [7]_4 = \{4 \cdot k -1 | k \in \mathbb{Z} \}  \)
\( [5]_{15} = \{15 \cdot m - 10 | m \in \mathbb{Z} \}  \)
Tenemos que ver cuando:
\( 4 \cdot k - 1 = 15 \cdot m - 10 \) que es lo mismo que \(  4 \cdot k - 15 \cdot m = -9  \) y usar ecuaciones diofánticas.
Spoiler
\( k = 9 - 15 \cdot \delta \)
\( m = 3 -4 \cdot \delta \)
[cerrar]

09 Octubre, 2021, 10:46 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Otra manera de pensarlo (equivalente a lo de Juan Pablo) es usar el teorema chino del resto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)