Autor Tema: Demostración por descenso infinito

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03 Octubre, 2021, 07:02 pm
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Rata Mágica

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Demostrar usando descenso infinito que \( 5^{n} - 1 \) es divisible por \( 4 \)

Cómo debería usar descenso infinito en este problema. Tienen algunas pistas para mí?

Muchas gracias.





03 Octubre, 2021, 07:26 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Demostrar usando descenso infinito que \( 5^{n} - 1 \) es divisible por \( 4 \)

Cómo debería usar descenso infinito en este problema. Tienen algunas pistas para mí?

Muchas gracias.

Supongamos que \( 5^n-1 \) no es divisible entre \( 4 \). Como \( 5^1-1= 4 \) sí que lo es, tiene que ser \( n>1 \) y \( 5^n-1>4 \), luego \( 5^n-1-4 = 5^n-5 = 5(5^{n-1}-1) \) es otro número natural que tampoco es divisible entre \( 4 \) (si lo fuera, también lo sería al sumarle 4), pero entonces \( 5^{n-1}-1 \) tampoco es divisible entre \( 4 \) y \( 5^{n-1}-<5^n-1 \), luego puedes formar una sucesión decreciente infinita de números naturales no divisibles entre \( 4 \).