Autor Tema: Reformulación Conjetura

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29 Septiembre, 2021, 08:03 pm
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Astrakov

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Hola, soy un aficionado a las matemáticas, me gustan las conjeturas, y hace algún tiempo que le doy vueltas a una conjetura, que creo es la reformulación reducida de otra, y que ni por asomo seria capaz de escribir en lenguaje matemático, aun menos con LATEX. Me gustaría formularla en un enunciado y si alguien puede ayudar con el lenguaje matemático y LATEX, seria de agradecer.
Viene a decir lo siguiente:
            "No existe dos números naturales consecutivos, cuyas respectivas raíces, cúbica o superior sean exactas"
igual se podría decir que "no existe un numero natural n, dado que la raíz x de n y la raíz y de n+1 sean exactas, siendo tanto x como y iguales o mayores que 3".
Ruego disculpen el ignorar los lenguajes adecuados para expresar la formula, y espero puedan ayudarme con ello y también a saber si se había formulado antes de esta forma dicha conjetura.
Gracias.


29 Septiembre, 2021, 08:28 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Una forma de escribirlo es la siguiente: Sea \( m,r\in\{3,4,\dots\} \).

    \( (\nexists n\in\mathbb{N})\quad\sqrt[m]{n}\in\mathbb{N}\textcolor{blue}{\wedge}\sqrt[r]{n+1}\in\mathbb{N} \)

o, equivalentemente,

    \( (\forall n\in\mathbb{N})\quad\sqrt[m]{n}\notin\mathbb{N}\textcolor{blue}{\vee}\sqrt[r]{n+1}\notin\mathbb{N} \)


La primera proposición se lee

    No existe un número natural \( n \) tal que \( \sqrt[m]{n} \) sea un número natural y \( \sqrt[r]{n} \) sea un número natural,

y la segunda se lee

    Para todo número natural \( n \), \( \sqrt[m]{n} \) no es un número natural o \( \sqrt[r]{n} \) no es un número natural.

La primera también podrías haberla escrito como:

    \( (\nexists n\in\mathbb{N})\quad\sqrt[m]{n},\sqrt[r]{n+1}\in\mathbb{N} \)

recordando que la "coma" y el "y" son lo mismo.

Desconozco si se había formulado esta conjetura, pero sospecho que sí (la sospecha no es de mucha ayuda).



Para aprender a escribir las ecuaciones en el foro revisa el siguiente mensaje: Leer primero: comenzando a editar fórmulas con \( \LaTeX \). También puedes revisar los códigos que usé usando el click derecho del mouse sobre la expresión matemática.

29 Septiembre, 2021, 09:41 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola, soy un aficionado a las matemáticas, me gustan las conjeturas, y hace algún tiempo que le doy vueltas a una conjetura, que creo es la reformulación reducida de otra, y que ni por asomo seria capaz de escribir en lenguaje matemático, aun menos con LATEX. Me gustaría formularla en un enunciado y si alguien puede ayudar con el lenguaje matemático y LATEX, seria de agradecer.
Viene a decir lo siguiente:
            "No existe dos números naturales consecutivos, cuyas respectivas raíces, cúbica o superior sean exactas"
igual se podría decir que "no existe un numero natural n, dado que la raíz x de n y la raíz y de n+1 sean exactas, siendo tanto x como y iguales o mayores que 3".
Ruego disculpen el ignorar los lenguajes adecuados para expresar la formula, y espero puedan ayudarme con ello y también a saber si se había formulado antes de esta forma dicha conjetura.

 Es la conjetura de Catalan:

Las únicas soluciones en los naturales de la ecuación \( x^a-y^b=1 \) con \( x,y,a,b>1 \) es \( x=3,a=2, y=2,b=3 \).

 Fue demostrada en 2002. La demostración aparace publicada en el artículo:

Mihăilescu, P. "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572, 167-195, 2004

Saludos.

29 Septiembre, 2021, 10:32 pm
Respuesta #3

Astrakov

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Hola

Hola, soy un aficionado a las matemáticas, me gustan las conjeturas, y hace algún tiempo que le doy vueltas a una conjetura, que creo es la reformulación reducida de otra, y que ni por asomo seria capaz de escribir en lenguaje matemático, aun menos con LATEX. Me gustaría formularla en un enunciado y si alguien puede ayudar con el lenguaje matemático y LATEX, seria de agradecer.
Viene a decir lo siguiente:
            "No existe dos números naturales consecutivos, cuyas respectivas raíces, cúbica o superior sean exactas"
igual se podría decir que "no existe un numero natural n, dado que la raíz x de n y la raíz y de n+1 sean exactas, siendo tanto x como y iguales o mayores que 3".
Ruego disculpen el ignorar los lenguajes adecuados para expresar la formula, y espero puedan ayudarme con ello y también a saber si se había formulado antes de esta forma dicha conjetura.

 Es la conjetura de Catalan:

Las únicas soluciones en los naturales de la ecuación \( x^a-y^b=1 \) con \( x,y,a,b>1 \) es \( x=3,a=2, y=2,b=3 \).

 Fue demostrada en 2002. La demostración aparace publicada en el artículo:

Mihăilescu, P. "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572, 167-195, 2004

Saludos.
Muchisimas gracias a ambos, la formulacion me salio desde la conjetura de Beal si mal no recuerdo.
Seguire estudiando, gracias nuevamente.

30 Septiembre, 2021, 09:07 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchisimas gracias a ambos, la formulacion me salio desde la conjetura de Beal si mal no recuerdo.

Es un caso particular de la conjetura de Beal, que es más general.

Saludos.