Autor Tema: Ejercicios teoría de la medida

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15 Abril, 2021, 07:42 pm
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mg

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Hola,

Estoy haciendo unos ejercicios básicos de teoría de la medida y tengo unas preguntas.

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida

1) Si \( E,F\in{}M \) tal que \( E\subseteq{}F \) entonces \( \mu(E)\leq{}\mu(F) \).

Para este voy a suponer directamente que \( E\subset{}F \), pues si son iguales es trivial. Para ello escribo \( F=E\cup{}C \) donde \( C \) es tal que \( F\setminus E=C \). Ahora bien como F es unión de conjuntos disjuntos tenemos que \( \mu(F)=\mu(E)+\mu(C) \) y esto lo prueba pues la medida es por definición positiva.

¿Debería comprobar que C es medible?

2) Si  \( E,F\in{}M \), entonces \( \mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)-\mu(E\cap F) \).

Aquí la idea es la misma. \( E\cup F=E\setminus E\cap F+F\setminus E\cap F+E\cap F \), se que la unión \( E\cup F  \) es medible pues E y F lo son, pero ¿y la intersección lo es? Si lo fuera ya estaría resuelto el ejercicio.

Un saludo.

15 Abril, 2021, 08:21 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Estoy haciendo unos ejercicios básicos de teoría de la medida y tengo unas preguntas.

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida

1) Si \( E,F\in{}M \) tal que \( E\subseteq{}F \) entonces \( \mu(E)\leq{}\mu(F) \).

Para este voy a suponer directamente que \( E\subset{}F \), pues si son iguales es trivial. Para ello escribo \( F=E\cup{}C \) donde \( C \) es tal que \( F\setminus E=C \). Ahora bien como F es unión de conjuntos disjuntos tenemos que \( \mu(F)=\mu(E)+\mu(C) \) y esto lo prueba pues la medida es por definición positiva.

¿Debería comprobar que C es medible?

Tienes que justificar que es medible. Es consecuencia de que por definición de espacio de medida \( M \) es una \( \sigma \)-álgebra y \( E,F \) son medibles.

Citar
2) Si  \( E,F\in{}M \), entonces \( \mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)-\mu(E\cap F) \).

Aquí la idea es la misma. \( E\cup F=E\setminus E\cap F+F\setminus E\cap F+E\cap F \), se que la unión \( E\cup F  \) es medible pues E y F lo son, pero ¿y la intersección lo es? Si lo fuera ya estaría resuelto el ejercicio.

De nuevo puedes justificar que todos los conjuntos que necesitas son medibles usando que \( M \) es una \( \sigma \)-álgebra.

Saludos.

15 Abril, 2021, 11:20 pm
Respuesta #2

mg

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Ah si, es cierto lo acabo de ver, porque \( C=F\cap{}E^c \).

En cuanto al 2) se me ocurre que \( ((E\cap F)^c)^c=E\cap F \), usando leyes de morgan eso equivale a \( (E^c\cup F^c)^c \), y pues ya estaría. En el momento no lo veía.

Gracias, y un saludo.